2021年河北省中考数学试卷及答案解析

中考数学试卷
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图所示，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
2．（3分）墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（）A．+B．﹣C．×D．÷
3．（3分）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
4．（3分）如图所示的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）
A．仅主视图不同
B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
5．（3分）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
6．（3分）如图1所示，已知∠ABC ，用尺规作它的角平分线． 如图2所示，步骤如下，
第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ； 第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在∠ABC 内部交于点P ； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求． 下列正确的是（ ）
A ．a ，b 均无限制
B ．a ＞0，b ＞1
2
DE 的长 C ．a 有最小限制，b 无限制
D ．a ≥0，b ＜12D
E 的长
7．（3分）若a ≠b ，则下列分式化简正确的是（ ） A ．
a+2b+2
=a
b
B ．
a−2b−2
=a
b
C ．
a 2
b 2
=a
b
D ．1
2a 1
2
b =a
b
8．（3分）在如图的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）
A ．四边形NPMQ
B ．四边形NPMR
C ．四边形NHMQ
D ．四边形NHMR
9．（3分）若(92−1)(112−1)
k
=8×10×12，则k ＝（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
10．（3分）如图，将△ABC 绕边AC 的中点O 顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△
CDA 与△ABC 构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证嘉洪的推理更严谨，想在方框中“∵CB ＝AD ，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是 （ ）
A ．嘉淇推理严谨，不必补充
B ．应补充：且AB ＝CD
C ．应补充：且AB ∥C
D D ．应补充：且OA ＝OC
11．（2分）若k 为正整数，则(k +k +⋯+k)k ︸
k 个k
=（ ）
A ．k 2k
B ．k 2k +1
C ．2k k
D ．k 2+k
12．（2分）如图，从笔直的公路l 旁一点P 出发，向西走6km 到达l ；从P 出发向北走6km 也到达l ．下列说法错误的是（ ）
A ．从点P 向北偏西45°走3km 到达l
B ．公路l 的走向是南偏西45°
C ．公路l 的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
13．（2分）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为（）
A．5B．6C．5或6D．5或6或7 14．（2分）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
15．（2分）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（）
A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对16．（2分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有
五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）
A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4
二、填空题（本大题有3个小题，共12分．17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）
17．（3分）已知：√18−√2=a√2−√2=b√2，则ab＝．
18．（3分）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝．
19．（6分）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角
的顶点记作T m（m为1～8的整数）．函数y=k
x（x＜0）的图象为曲线L．
（1）若L过点T1，则k＝；
（2）若L过点T4，则它必定还过另一点T m，则m＝；
（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有个．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）已知两个有理数：﹣9和5．
（1）计算：
(−9)+52
；
（2）若再添一个负整数m ，且﹣9，5与m 这三个数的平均数仍小于m ，求m 的值． 21．（8分）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上a 2，同时B 区就会自动减去3a ，且均显示化简后的结果．已知A ，B 两区初始显示的分别是25和﹣16，如图． 如，第一次按键后，A ，B 两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A ，B 两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A ，B 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
22．（9分）如图所示，点O 为AB 中点，分别延长OA 到点C ，OB 到点D ，使OC ＝OD ．以点O 为圆心，分别以OA ，OC 为半径在CD 上方作两个半圆．点P 为小半圆上任一点（不与点A ，B 重合），连接OP 并延长交大半圆于点E ，连接AE ，CP ． （1）①求证：△AOE ≌△POC ；
②写出∠l ，∠2和∠C 三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若OC ＝2OA ＝2，当∠C 最大时，直接指出CP 与小半圆的位置关系，并求此时S
扇形EOD
（答案保留π）．
23．（9分）用承重指数w 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W 与木板厚度x （厘米）的平方成正比，当x ＝3时，W ＝3． （1）求W 与x 的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．
①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]
24．（10分）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．
x﹣10
y﹣21
（1）求直线l的解析式；
（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（3）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．
25．（10分）系统找不到该试题
26．（12分）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C=3
4．点K在AC边上，
点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．
（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；
（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；
（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器
随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK=9
4，请直接写出点K被扫描到的总时长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【解答】解：在平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，
所以作已知直线的垂线，可作无数条．
故选：D．
2．（3分）墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（）A．+B．﹣C．×D．÷
【解答】解：∵x3x＝x2（x≠0），
∴覆盖的是：÷．
故选：D．
3．（3分）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
【解答】解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；
②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
所以①是因式分解，②是乘法运算．
故选：C．
4．（3分）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）
A．仅主视图不同
B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
【解答】解：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；
从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；
从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．
故选：D．
5．（3分）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（）
A．9B．8C．7D．6
【解答】解：由统计图可知，前三次的中位数是8，
∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，
∴a＝8，
故选：B．
6．（3分）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP．射线BP即为所求．
下列正确的是（）
A ．a ，b 均无限制
B ．a ＞0，b ＞12
DE 的长 C ．a 有最小限制，b 无限制
D ．a ≥0，b ＜12D
E 的长
【解答】解：以B 为圆心画弧时，半径a 必须大于0，分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧时，b 必须大于1
2DE ，否则没有交点，
故选：B ．
7．（3分）若a ≠b ，则下列分式化简正确的是（ ） A ．
a+2b+2
=a
b
B ．
a−2b−2
=a
b
C ．
a 2
b 2
=a
b
D ．1
2a 1
2
b =a
b
【解答】解：∵a ≠b ， ∴
a+2b+2
≠a
b ，故选项A 错误；
a−2b−2≠a b
，故选项B 错误；
a 2
b 2
≠a b
，故选项C 错误； 12a 12
b =a
b ，故选项D 正确；
故选：D ．
8．（3分）在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）
A ．四边形NPMQ
B ．四边形NPMR
C ．四边形NHMQ
D ．四边形NHMR
【解答】解：∵以点O 为位似中心，
∴点C 对应点M ，
设网格中每个小方格的边长为1，
则OC =√22+12=√5，OM =√42+22=2√5，OD =√2，OB =√32+12=√10，OA =√32+22=√13，OR =√22+12=√5，OQ ＝2√2，OP =√62+22=2√10，OH =√62+32=3√5，ON =√62+42=2√13， ∵
OM OC
=
√5
√5
=2， ∴点D 对应点Q ，点B 对应点P ，点A 对应点N ，
∴以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是四边形NPMQ ， 故选：A ． 9．（3分）若(92−1)(112−1)
k
=8×10×12，则k ＝（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
【解答】解：方程两边都乘以k ，得 （92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k ，
∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k ， ∴80×120＝8×10×12k ， ∴k ＝10． 故选：B ．
10．（3分）如图所示，将△ABC 绕边AC 的中点O 顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后
的△CDA 与△ABC 构成平行四边形，并推理如下：
小明为保证嘉洪的推理更严谨，想在方框中“∵CB ＝AD ，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是 （ ）
A ．嘉淇推理严谨，不必补充
B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD
D．应补充：且OA＝OC
【解答】解：∵CB＝AD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：B．
=（）
11．（2分）若k为正整数，则(k+k+⋯+k)k
︸
k个k
A．k2k B．k2k+1C．2k k D．k2+k
=（（k•k）k＝（k2）k＝k2k，
【解答】解：(k+k+⋯+k)k
︸
k个k
故选：A．
12．（2分）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km 也到达l．下列说法错误的是（）
A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
【解答】解：如图，
由题意可得△P AB是腰长6km的等腰直角三角形，
则AB＝6√2km，
则PC＝3√2km，
则从点P向北偏西45°走3√2km到达l，选项A错误；
则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；
则从点P向北走3km后，再向西走3km到达l，选项D正确．
故选：A．
13．（2分）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为（）
A．5B．6C．5或6D．5或6或7
【解答】解：当t＝1时，光传播的距离为1×300000＝300000＝3×105（千米），则n＝5；
当t＝10时，光传播的距离为10×300000＝3000000＝3×106（千米），则n＝6．因为1≤t≤10，所以n可能为5或6，
故选：C．
14．（2分）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（）
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°﹣65°＝115°．
故选：A．
15．（2分）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝5，则点P的个数为0；
乙：若b＝4，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（）
A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对【解答】解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4），
∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，
∴甲、乙的说法正确；
若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，
∴丙的说法不正确；
故选：C．
16．（2分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）
A ．1，4，5
B ．2，3，5
C ．3，4，5
D ．2，2，4
【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是
√1×√42=√4
2
， 当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是
√2×√32=√6
2
； 当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形； 当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是√2×√22=√4
2
， ∵
√62＞√4
2
， ∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5， 故选：B ．
二、填空题（本大题有3个小题，共12分．17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）
17．（3分）已知：√18−√2=a √2−√2=b √2，则ab ＝ 6 ． 【解答】解：原式＝3√2−√2=a √2−√2=b √2， 故a ＝3，b ＝2， 则ab ＝6． 故答案为：6．
18．（3分）正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍，则n ＝ 12 ． 【解答】解：正六边形的一个内角为：
(6−2)×180°
6
=120°，
∵正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍， ∴正n 边形一个外角为：120°÷4＝30°， ∴n ＝360°÷30°＝12． 故答案为：12．
19．（6分）如图所示是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出
的角的顶点记作T m（m为1～8的整数）．函数y=k
x（x＜0）的图象为曲线L．
（1）若L过点T1，则k＝﹣16；
（2）若L过点T4，则它必定还过另一点T m，则m＝5；
（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有7个．
【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8），
∵L过点T1，
∴k＝﹣16×1＝﹣16，
故答案为：﹣16；
（2）∵L过点T4，
∴k＝﹣10×4＝﹣40，
∴反比例函数解析式为：y=−40 x，
当x＝﹣8时，y＝5，
∴T5在反比例函数图象上，
∴m＝5，
故答案为：5；
（3）若曲线L过点T1（﹣16，1），T8（﹣2，8）时，k＝﹣16，
若曲线L过点T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28，若曲线L过点T3（﹣12，3），T5（﹣8，5）时，k＝﹣12×3＝﹣36，
若曲线L 过点T 4（﹣10，4），T 5（﹣8，5）时，k ＝﹣40， ∵曲线L 使得T 1～T 8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ∴﹣36＜k ＜﹣28，
∴整数k ＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7个， ∴答案为：7．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（8分）已知两个有理数：﹣9和5． （1）计算：
(−9)+52
；
（2）若再添一个负整数m ，且﹣9，5与m 这三个数的平均数仍小于m ，求m 的值． 【解答】解：（1）
(−9)+52
=
−42
=−2；
（2）根据题意得，
−9+5+m
3
＜m ，
∴﹣4+m ＜3m ， ∴m ﹣3m ＜4， ∴﹣2m ＜4， ∴m ＞﹣2， ∵m 是负整数， ∴m ＝﹣1．
21．（8分）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A 区就会自动加上a 2，同时B 区就会自动减去3a ，且均显示化简后的结果．已知A ，B 两区初始显示的分别是25和﹣16，如图． 如，第一次按键后，A ，B 两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求A ，B 两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A ，B 两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【解答】解：（1）A 区显示的结果为：25+2a 2，B 区显示的结果为：﹣16﹣6a ； （2）这个和不能为负数，
理由：根据题意得，25+4a 2+（﹣16﹣12a ）＝25+4a 2﹣16﹣12a ＝4a 2﹣12a +9； ∵（2a ﹣3）2≥0， ∴这个和不能为负数．
22．（9分）如图，点O 为AB 中点，分别延长OA 到点C ，OB 到点D ，使OC ＝OD ．以点O 为圆心，分别以OA ，OC 为半径在CD 上方作两个半圆．点P 为小半圆上任一点（不与点A ，B 重合），连接OP 并延长交大半圆于点E ，连接AE ，CP ． （1）①求证：△AOE ≌△POC ；
②写出∠l ，∠2和∠C 三者间的数量关系，并说明理由．
（2）若OC ＝2OA ＝2，当∠C 最大时，直接指出CP 与小半圆的位置关系，并求此时S
扇形EOD
（答案保留π）．
【解答】解：（1）①在△AOE 和△POC 中， {OA =OP
∠AOE =∠POC OE =OC
， ∴△AOE ≌△POC （SAS ）； ②∵△AOE ≌△POC ， ∴∠E ＝∠C ， ∵∠1+∠E ＝∠2， ∴∠1+∠C ＝∠2；
（2）当∠C 最大时，直接指出CP 与小半圆相切， 如图所示，
∵OC＝2OA＝2，
∴OC＝2OP，
∵CP与小半圆相切，
∴∠OPC＝90°，
∴∠OCP＝30°，
∴∠DOE＝∠OPC+∠OCP＝120°，
∴S
扇形ODE =120π×2
2
360
=43π．
23．（9分）用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．
（1）求W与x的函数关系式．
（2）如图所示，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．
①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]
【解答】解：（1）设W＝kx2（k≠0）．
∵当x＝3时，W＝3，
∴3＝9k，解得k=1 3，
∴W与x的函数关系式为W=1
3x 2；
（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，
∴Q＝W厚﹣W薄=1
3（6﹣x）
2−1
3x
2＝﹣4x+12，
即Q与x的函数关系式为Q＝﹣4x+12；
②∵Q是W薄的3倍，
∴﹣4x+12＝3×1
3x 2，
整理得，x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝2，x2＝﹣6（不合题意舍去），
故x为2时，Q是W薄的3倍．
24．（10分）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．
x﹣10
y﹣21
（1）求直线l的解析式；
（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；
（3）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．
【解答】解：（1）∵直线l ：y ＝kx +b 中，当x ＝﹣1时，y ＝﹣2；当x ＝0时，y ＝1，
∴{−k +b =−2b =1，解得{k =3b =1
， ∴直线l 的解析式为y ＝3x +1；
∴直线l ′的解析式为y ＝x +3；
（2）如图，解{y =x +3y =3x +1得{x =1y =4
， ∴两直线的交点为（1，4），
∵直线l ′：y ＝x +3与y 轴的交点为（0，3），
∴直线l '被直线l 和y 轴所截线段的长为：√12+(4−3)2=√2；
（3）把y ＝a 代入y ＝3x +1得，a ＝3x +1，解得x =
a−13； 把y ＝a 代入y ＝x +3得，a ＝x +3，解得x ＝a ﹣3；
当a ﹣3+a−13=0时，a =52，
当12
（a ﹣3+0）=a−13时，a ＝7， 当12（a−13
+0）＝a ﹣3时，a =175， ∴直线y ＝a 与直线l ，l ′及y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a 的值为52或7或175．
25．（10分）系统找不到该试题
26．（12分）如图1和图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，tan C =34．点K 在AC 边上，
点M ，N 分别在AB ，BC 上，且AM ＝CN ＝2．点P 从点M 出发沿折线MB ﹣BN 匀速移
动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持∠APQ ＝∠B ．
（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；
（2）若点P 在MB 上，且PQ 将△ABC 的面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长；
（3）设点P 移动的路程为x ，当0≤x ≤3及3≤x ≤9时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；
（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ 扫描△APQ 区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若AK =94，请直接写出点K 被扫描到的总时长．
【解答】解：（1）如图1所示中，过点A 作AH ⊥BC 于H ．
∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，
∴BH ＝CH ＝4，∠B ＝∠C ，
∴tan ∠B ＝tan ∠C =AH BH =34，
∴AH ＝3，AB ＝AC =√AH 2+BH 2=√32+42=5．
∴当点P 在BC 上时，点P 到A 的最短距离为3．
（2）如图1中，∵∠APQ ＝∠B ，
∴PQ ∥BC ，
∴△APQ ∽△ABC ，
∵PQ 将△ABC 的面积分成上下4：5，
∴S △APQ
S △ABC =（AP AB ）2=49，
∴AP AB =23
， ∴AP =103
， ∴PM ＝AP ＝AM =103−2=43．
（3）当0≤x ≤3时，如图1﹣1中，过点P 作PJ ⊥CA 交CA 的延长线于J ．
∵PQ ∥BC ，
∴
AP AB =PQ BC ，∠AQP ＝∠C ， ∴x+25=
PQ 8， ∴PQ =85（x +2），
∵sin ∠AQP ＝sin ∠C =35，
∴PJ ＝PQ •sin ∠AQP =2425（x +2）．
当3＜x ≤9时，如图2中，过点P 作PJ ⊥AC 于J ．
同法可得PJ ＝PC •sin ∠C =35
（11﹣x ）．
（4）由题意点P 的运动速度=936=14单位长度/秒．
当3＜x ≤9时，设CQ ＝y ．
∵∠APC ＝∠B +∠BAP ＝∠APQ +∠CPQ ，∠APQ ＝∠B ， ∴∠BAP ＝∠CPQ ，
∵∠B ＝∠C ，
∴△ABP ∽△PCQ ，
∴
AB CP =BP CQ ， ∴511−x =x−3y ，
∴y =−15（x ﹣7）2+
165， ∵−15＜0， ∴x ＝7时，y 有最大值，最大值=165，
∵AK =94，
∴CK ＝5−94=
114＜165 当y =114时，114=−15
（x ﹣7）2+165， 解得x ＝7±32， ∴点K 被扫描到的总时长＝（
114+6﹣3）÷14=23秒．。