7.实例六：人口预测问题

实例六：使用指定函数进行曲线拟合
2007年全国赛A题
一、背景知识：
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

我国人口发展经历了多个阶段，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在。

二、相关数据：
附件1 《国家人口发展战略研究报告》
附件2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明根据已有数据
表1 各年份全国总人口数（单位：千万）
三、要解决的问题：
1、试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附件2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

模型建立：
阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。

阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。

若将r 表示为x 的函数)(x r 。

则它应是减函数。

于是有：
0)0(,)(x x x x r dt
dx
==
（1）
对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即
)
0,0()(>>-=s r sx
r x r
（2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得m
x r
s =，于是（2）式为
)1()(m
x x r x r -
= （3）
将（3）代入方程（1）得：
⎪⎩⎪⎨⎧=-=0
)0()
1(x x x x rx dt
dx
m （4）
解方程（4）可得：
rt
m m
e x x
x t x --+=
)1(1)(0
（5）
其中：口增长率为r ， 自然资源和环境条件所能容纳的最大人口
数量为m x
程序一（1954）
t=0:51; %令1954年为初始年
x=[60.2 61.5 62.8 64.6 66 67.2 66.2 65.9 67.3 69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83 85.2 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95 96.259 97.5 98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756];
[c,d]=solve('c/(1+(c/60.2-1)*exp(-5*d))=67.2','c/(1+(c/60.2-1)*exp(-20*d))=90.9','c ','d') ;%求初始参数
b0=[ 241.9598, 0.02985]; %初始参数值
fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/60.2-1).*exp(-b(2).*t))','b','t');
[b1,r1,j1]=nlinfit(t,x,fun,b0)
y= 180.9871./(1+( 180.9871/60.2-1).*exp( -0.0336.*t)); %非线性拟合的方程
plot(t,x,'*',t,y) %对原始数据与曲线拟合后的值作图
R1=r1.^2;
R2=(x-mean(x)).^2;
R=1-R1/R2 %可决系数
W=sum(abs(r1)) %残差绝对值之和
M=sum(abs(y-x))
x
t
程序二（1963）
t=46:3:94
y= 180.9871./(1+( 180.9871/60.2-1).*exp( -0.0336.*t))%对总人口进行预测
t=0:42; %令1963年为初始年
x=[69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83 85.2 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95 96.259 97.5 98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756];
[c,d]=solve('c/(1+(c/69.1-1)*exp(-5*d))=78.5','c/(1+(c/69.1-1)*exp(-20*d))=103.008' ,'c','d'); %求初始参数
b0=[134.368,0.056610]; %初始参数值
fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/69.1-1).*exp(-b(2).*t))','b','t');
[b1,r1,j1]=nlinfit(t,x,fun,b0)
y=151.4513./(1+(151.4513/69.1-1).*exp( -0.0484.*t)); %非线性拟合的方程
plot(t,x,'*',t,y,'-or') %对原始数据与曲线拟合后的值作图
R1=r1.^2;
R2=(x-mean(x)).^2;
R=1-R1/R2 %可决系数
W=sum(abs(r1)) %残差绝对值之和
M=sum(abs(y-x))
clc;clear;
t=[0 4 8 40];
y=[20.09 64.52 85.83 126.75];
beta=nlinfit(t,y,@myfunc,[1 1])
a=beta(1)
b=beta(2)
tt=0:1:40
yy=a/(1+(a/69.1-1).*exp( -b*tt));
plot(t,y,'o',tt,yy)
function y1=myfunc(const,t)
a=const(1);
b=const(2);
y1=a/(1+(a/69.1-1).*exp( -b*t));
x
051015202530354045
t
t=0:42; %令1963年为初始年
x=[69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83 85.2 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95 96.259 97.5 98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756];
a=polyfit(t,x,1)
x1=a(1)*t+a(2); %非线性拟合的方程
plot(t,x,'*',t,x1,'-or') %对原始数据与曲线拟合后的值作图
M=sum(abs(x1-x))
051015202530354045
a =
1.4873 7
2.5486
M =
64.7419
程序三（1980）
t=37:3:85
y=151.4513./(1+(151.4513/69.1-1).*exp( -0.0484.*t))%对总人口进行预测
t=0:25; %令1980年为初始年
x=[98.705 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.85 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756];
[c,d]=solve('c/(1+(c/98.705-1)*exp(-5*d))=105.851','c/(1+(c/98.705-1)*exp(-8*d))=11 1.026','c','d'); %求初始参数
b0=[ 109.8216, - 0.19157]; %初始参数值
fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/98.705-1).*exp(-b(2).*t))','b','t');
[b1,r1,j1]=nlinfit(t,x,fun,b0)
y= 153.5351./(1+(153.5351/98.705-1).*exp( -0.0477.*t)); %非线性拟合的方程plot(t,x,'*',t,y,'-or') %对原始数据与曲线拟合后的值作图
R1=r1.^2;
R2=(x-mean(x)).^2;
R=1-R1/R2 %可决系数
W=sum(abs(r1)) %残差绝对值之和
0510152025
t=20:3:53
y= 153.5351./(1+(153.5351/98.705-1).*exp( -0.0477.*t))%对总人口进行预测。