中考数学基础题型提分讲练专题09圆含解析

专题09 圆
必考点 1 圆的有关性质
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。

由圆的意义可知：
圆上各点到定点〔圆心O〕的距离等于定长的点都在圆上。

就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的会集，圆的内部可以看作是到圆。

心的距离小于半径的点的会集。

圆的外面可以看作是到圆心的距离大于半径的点的会集。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点间的局部叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。

由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。

可以重合的两个圆叫等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，可以互相重合的弧叫等弧。

垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，并且均分弦所对的两条弧。

推理1：均分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且均分弦所对两条弧。

弦的垂直均分线经过圆心，并且均分弦所对的两条弧。

均分弦所对的一条弧的直径，垂直均分弦，并且均分弦所对的另一个条弧。

推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。

圆周角定理：
推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推理2：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推理3：若是三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

由于以上的定理、推理，所以增加辅助线经常是增加能组成直径上的圆周角的辅助线。

【典例1】〔2021·山东中考真题〕如图，AB 为e O 的直径，C,D 为e O 上两点，假设BCD＝40 ，那么ABD 的大小为〔〕．
A．60°B．50°C．40°D．20°
【答案】 B
【剖析】
解：连接AD ，
∵AB 为e O 的直径，
∴ADB 90 ．
∵BCD 40 ，
∴A BCD 40 ，
∴ABD 90 40 50 ．
应选：B．
【点睛】
此题主要观察圆弧的性质，同弧的圆周角相等, 这是考试的重点，应当熟练掌握.
【贯穿交融】
1. 〔2021·黑龙江中考真题〕如图，PA. PB 分别与e O 相切于A. B 两点，点C 为e O 上一点，连接AC . BC，假设P 50 ，那么ACB 的度数为〔〕.
A．60 ；B．75 ；C．70 ；D．65 . 【答案】 D
【剖析】
解：连接OA. OB ，
∵PA. PB 分别与e O 相切于A. B 两点，∴OA PA ，OB PB，
∴OAP OBP 90 ，
∴AOB 180 P 180 50 130 ，
∴
1 1
ACB AOB 130 65 ． 2 2
应选：D．
【点睛】
此题主要观察了圆的切线性质及圆周角定理，灵便应用切线性质及圆周角定理是解题的重点. 2．〔2021·山东中考真题〕如图，AB 是e O的直径，C ，D 是e O上的两点，且BC 均分ABD ，AD 分别与BC ，OC 订交于点E ，F ，那么以下结论不用然成立的是〔〕
A．OC P BD B．AD OC C．CEF BED D．AF FD
【答案】 C
【剖析】
∵AB 是e O 的直径，BC 均分ABD，
∴ADB 90 ，OBC DBC ，
∴AD BD，
∵OB OC ，
∴OCB OBC ，
∴DBC OCB ，
∴OC P BD ，选项 A 成立；
∴AD OC，选项B 成立；
∴AF FD ，选项D成立；
∵CEF 和BED中，没有相等的边，
∴CEF 与BED不全等，选项C不成立，
应选C．
【点睛】
此题观察了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角均分线的性质，解此题的重点是熟练掌圆周角定理和垂径定理．
3．〔2021·吉林中考真题〕如图，在e O中，?AB所对的圆周角A CB ，假设P 为?AB 上一点，
50
0 AOP 55 ，
那么POB 的度数为〔〕
A．30°B．45°C．55°D．60°
【答案】 B
【剖析】
解：∵∠ACB=50°，
∴∠AOB=∠2 ACB=10°0 ，
∵∠AOP=5°5 ，
∴∠POB=4°5 ，
应选：B．
【点睛】
此题是圆的一个计算题，主要观察了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的 2 倍．
必考点 2 直线和圆的地址关系
1 、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆订交，这时直线叫圆的割线
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。

直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。

2 、假设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d，那么：
直线和圆订交d＜r ；直线和圆相切d＝r；直线和圆相离d＞r ；直线和圆订交d＜r
3 、切线的判断：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

4 、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径
推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。

推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

【典例2】〔2021·浙江中考真题〕如图，⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，那么PA的长为〔〕
A．2 B．3 C．2 D．1 2
【答案】 B
【剖析】
连接O A，
∵∠ABC=30°，∴∠AOC=6°0 ，∵PA是圆的切线，∴∠PAO=9°0 ，
∵tan ∠AOC = P A OA
,
∴PA= tan60°×1= 3 . 应选 B.。