考研数学：利用拉格朗日定理求极限

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考研数学：利用拉格朗日定理求极限
【前言】拉格朗日中值定理在微分中值定理中占据非常重要的地位，在考研证明题中也是重要考点，但考研学子们容易忽略一个问题是该定理不仅在证明题中可以用到，在一些极限计算的题目中也可以应用，使极限计算变得简单。

【定理】拉格朗日中值定理：()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，有()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立。

【应用】拉格朗日中值定理在极限计算中的应用，一般处理同一个函数在两点处的差，根据该定理的结论将其进行变形再进算。

使用过程中需要检查该函数是否满足拉格朗日中值定理的条件。

【例题】
【例1】2
lim [ln arctan(1)ln arctan ]x x x x →+∞+-【解析】设函数()ln arctan f x x =，且0x >，易知()f x 在[,1]x x +满足拉格朗日中值定理的条件，且2
11()arctan 1f x x x '=⋅+，故有，222112lim [ln arctan(1)ln arctan ]lim
(1)arctan 1x x x x x x x x ξξπ→+∞→+∞+-=⋅⋅+-⋅=+，其中(,1)x x ξ∈+，当x →+∞，自然也有ξ→+∞，所以极限可求，下面的例题也是一样的，如ξ介于a 与x 之间，若x a →，则有a ξ→，因此下面不再赘述。

【注】这种形式是同一函数()f x 相减的形式求极限，如lim[()()]x a
f x f a →-，设函数()f x 在a 与x 区间内使用拉格朗日中值定理得，()()()(),f x f a f x a ξξ'-=-介于,a x 间。

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【例2】2lim [arctan arctan ]1
n a a n n n →∞-+【解析】数列极限同样也可以处理，设()arctan
a f x x =，则0x >，()f x 在[,1]n n +上满足拉格朗日中值定理的条件，且22221
()1a a f x x x a a x ⎛⎫'=⋅-=- ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故有，2222222lim [arctan arctan ]lim (1)lim 1n n n a a a a n n n n n a n n a n a ξ→∞→∞→∞⎛⎫-=-+-=-⋅= ⎪+++⎝⎭。

【例3】()lim x a f x b A x a →-=-，其中()f x 为连续函数，求极限sin ()sin lim x a f x b x a
→--。

【解析】抽象函数也可以应用，由极限sin ()sin lim
x a f x b x a →--可设函数()sin g x x =，在b 与()f x 之间满足拉格朗日中值定理的条件，且()cos g x x '=，故有，
sin ()sin 1()lim limcos [()]cos lim cos x a x a x a f x b f x b f x b a A a x a x a x a
ξ→→→--=⋅-⋅==---。

以上是我们为考研学子在“利用拉格朗日定理求极限”方面总结出的知识点和适应我们考研的相关例题及求解方法。