深圳翠园中学选修三第一单元《计数原理》测试(有答案解析)

一、选择题
1．从5名志愿者中选出4人分别到A 、B 、C 、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A 、B 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ） A ．120种 B ．24种
C ．18种
D ．36种
2．两名老师和3名学生站成两排照相，要求学生站在前排，老师站在后排，则不同的站法
有（ ） A ．120种
B ．60种
C ．12种
D ．6种
3．某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是（ ）
A ．8
B ．12
C ．16
D ．24
4．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，
()()
!!24642n n n n =--⨯⨯；当n 为奇数时，()()
!!24531n n n n =--⨯⨯．现有
四个命题：①()()2009!!2008!!2009!=；②2008!!21004!=⨯；③2008!!个位数为0；④2009!!个位数为5．其中正确的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．在10
3
2x x 的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．105
32
B ．5
6638x -
C ．531058
x
D ．
5
215x -
6．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．
320
B ．
720
C ．
316
D ．
25
7．动点M 位于数轴上的原点处，M 每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M 在数轴上可能位置的个数为（ ） A ．7
B ．9
C ．11
D ．13
8．26
2()x x
-的展开式中常数项为( )
A ．-240
B ．-160
C ．240
D ．160
9．已知二项式(n
x
的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为 A ．－20
B ．－15
C ．15
D ．20
10．已知21n
x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．40
11．设4
cos2t xdx π
=
⎰
,若2018
2012(1)
x a a x a x t
-=++20182018a x ++,则
1232018a a a a +++
=( )
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．256
12．在6
22x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中，常数项为（ ） A ．15-
B ．15
C ．60-
D ．60
二、填空题
13．()()6
122x x --的展开式中5x 的系数为________．
14．某老师安排甲、乙、丙、丁4名同学从周一至周五值班，每天安排1人，每人至少1天，若甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为______.（请用数字作答）
15．有2个不同的红球和3个不同的黄球，将这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，则不同的放置方法有________种.（用数字作答）
16．方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.
17．数列{}n a 共有13项，10a =，134a =，且11k k a a +-=，1,2,,12k =⋯，满足这种条件不同的数列个数为______
18．若投掷一枚质地均匀的骰子，第一次投掷的点数为a ，第二次投掷的点数为b ，则
b a >的概率为______.
19．高三年级毕业成人礼活动中，要求A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为__. 20．()()6
11ax x -+的展开式中，3x 项的系数为10-，则实数a =___________.
三、解答题
21．在二项式12
312x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中．
（1）求该二项展开式中所有项的系数和的值； （2）求该二项展开式中含4x 项的系数； （3）求该二项展开式中系数最大的项． 22．三个女生和五个男生排成一排.
（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法；
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法.
23．计算：（1）24
90n n A A =；
（2）383321n
n n
n C C -++.
24．（1）3个人坐在有八个座位的一排椅子上，若每个人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？
（2）某高校现有10个保送上大学的名额分配给7所高中学校，若每所高中学校至少有1个名额，则名额分配的方法共有多少种？
25．在二项2n
x ⎫⎪⎭的展开式中，前三项的系数和为73．
（1）求正整数n 的值；
（2）求出展开式中所有x 的有理项．
26．（1）已知()7
27012712x a a x a x a x -=++++.
求：①127a a a +++；
②0127a a a a +++
+；
（2）在5
22x ⎫⎪⎭的展开式中，求： ①展示式中的第3项；
②展开式中二项式系数最大的项.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，根据分类计数原理可得 【详解】
解：根据题意，分两种情况讨论：
①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到C ，D 中的一个部门，其
他三人到剩余的部门，有113223·
·24C C A =种选派方案． ②、甲、乙两人都被选中，安排到C ，D 部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部
门，有2
223·
12A A =种选派方案， 综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案，
故选D．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中档题．
2．C
解析：C
【分析】
根据题意，分2步讨论老师、学生的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①将两名老师全排列，安排在后排，有2
22
A=种安排方法，
②将三名学生全排列，安排在前排，有3
36
A=种安排方法，
则一共有2612
⨯=种安排方法；
故选：C
【点睛】
本题考查排列组合的应用，涉及分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
3．B
解析：B
【分析】
四个人工小岛记为ABCD，用“-”表示桥，对A分有一座桥相连和两座桥相连，一一列举，得到答案.
【详解】
四个人工小岛记为ABCD，对A分有一座桥相连和两座桥相连，用“-”表示桥
(1) A 只有一座桥相连时，有A-B-D-C，A-B-D-C，A-C-B-D，A-C-D-B，
A-D-B-C，A-D-C-B共6种；
(2) A有两座桥相连时，有C-A-B-D，D-A-B-C，D-A-C-B，B-A-C-D，
B-A-D-C，C-A-D-B共6种；
故共有12种.
故选：B
【点睛】
本题考查了分类计数原理的应用，考查了学生分析理解，逻辑推理的能力，属于中档题. 4．C
解析：C
【分析】
利用双阶乘的定义以及阶乘的定义可判断①的正误；化简2008!!可判断②的正误；由2008!!能被10整除可判断③的正误；由2009!!能被5整除且为奇数可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，由双阶乘的定义得2009!!1352009
=⨯⨯⨯⨯，
2008!!2462008=⨯⨯⨯
⨯，
所以，()()2009!!2008!!1234200820092009!=⨯⨯⨯⨯
⨯⨯=，命题①正确；
对于命题②，
()()()()2008!!246200821222321004=⨯⨯⨯
⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯100421004!=⨯，
命题②错误；
对于命题③，2008!!2468102008=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则2008!!能被10整除，则2008!!的
个位数为0，命题③正确； 对于命题④，2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯能被5整除，则2009!!的个位数为0或5，
由于2009!!为奇数，所以，2009!!的个位数为5，命题④正确.
故选：C. 【点睛】
本题考查双阶乘的新定义，考查计算能力，属于中等题.
5．D
解析：D 【分析】
根据最大的系数绝对值大于等于其前一个系数绝对值；同时大于等于其后一个系数绝对值；列出不等式求出系数绝对值最大的项； 【详解】
10
∴二项式展开式为：(10)
11
3
211012k
k k k T C x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
设系数绝对值最大的项是第1k +项，
可得1
1
10101
1101011221122k k k k k k k k C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩ 可得111
12101
112k k k k -⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⋅⎪+⎩，解得811
33k ≤≤
*k N ∈ ∴3k =
在10
的展开式中，
系数的绝对值最大的项为：
3
71
1
3
10
5
2
3
2
4
1
2
15
x x T C x-
⎛⎫
⎛⎫
=-=
⎪
⎭
-
⎪
⎝⎭⎝
故选：D.
【点睛】
本题考查二项展开式中绝对值系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题．
6．B
解析：B
【分析】
由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案．
【详解】
解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；
如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，
再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236
⨯=种选择；
如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有
236
⨯=种选择，
得到第5球独占一盒的选择有4(66)48
⨯+=种，
第二类，第5球不独占一盒，先放14
-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436
⨯=，
根据分类计数原理得，不同的方法有364884
+=种．
而将五球放到4盒共有24
54240
C A
⨯=种不同的办法，
故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率
847
24020 P==
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．
7．D
解析：D
【分析】
根据题意，分为动点M①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四种情况进行讨论，得到相应的位置，从而得到答案.
【详解】
根据题意，分4种情况讨论：
①，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，
②，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2
个单位，故有6，5，4，3，
③，动点M 向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2， ④，动点M 向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，
故M 在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个， 故选：D. 【点睛】
本题考查分类计数原理，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
8．C
解析：C 【分析】
求得二项式的通项12316(2)r r r
r T C x -+=-，令4r =，代入即可求解展开式的常数项，即可
求解. 【详解】
由题意，二项式26
2()x x
-展开式的通项为261231662()
()(2)r r
r r r r r T C x C x x
--+=-=-， 当4r =时，44
56(2)240T C =-=，即展开式的常数项为240，故选C.
【点睛】
本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
9．C
解析：C 【分析】
利用二项式系数之和为64解得6n =，再利用二项式定理得到常数项. 【详解】 二项式(n
x
的展开式中二项式系数之和为642646n n ⇒=⇒= 36662
166(((1)r r r r r
r r x T C x C x --+-⇒=⋅=-
当3
6042r r -
=⇒=时，系数为15 故答案选C 【点睛】
本题考查了二项式定理，先计算出6n =是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
10．B
解析：B 【分析】
首先根据二项展开式的各项系数和012
232n n n n n n C C C C +++==，求得5n =，再根
据二项展开式的通项为211()()r r
n r
r n T C x x
-+=，求得2r
，再求二项展开式中x 的系数.
【详解】
因为二项展开式的各项系数和012
232n n n n n n C C C C +++==，所以5n =，
又二项展开式的通项为211()()
r r
n r
r n T C x x
-+==3r r n n C x -，351r -=，2r
所以二项展开式中x 的系数为2
510C =．答案选择B ．
【点睛】
本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题．
11．B
解析：B 【解析】
分析：先求定积分，再求()()()()12320181,010f f a a a a f f +++
=-，
详解：4
400
111cos22|02222t xdx sin x sin π
π
π===-=⎰，故设()(f x =1-2x 2018)，所以
()()11,01f f ==，()()1232018100a a a a f f +++
=-=，故选B
点睛：求复合函数的定积分要注意系数能够还原，二项式定理求系数和的问题，采用赋值
法．
12．D
解析：D 【分析】
根据二项展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】
631216C (1)2r
r r r r T x --+=-，
令3120r -=，即4r =， ∴常数项为60， 故选：D 【点睛】
本题主要考查了二项式定理，二项展开式的通项公式，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】本题首先可确定二项式展开式的通项然后分别对第一个因式取1以及第一个因式取两种情况进行讨论即可得出结果【详解】二项式展开式的通项为当第一个因式取1时第二个因式应取含的项则对应系数为：；当第一个
解析：132-
【分析】
本题首先可确定二项式()6
2x -展开式的通项，然后分别对第一个因式取1以及第一个因式取2x -两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】
二项式()6
2x -展开式的通项为6
1
62k
k k
k
T C x ，
当第一个因式取1时，第二个因式应取含5x 的项，则对应系数为：
()5
5
612112C ⨯⨯⨯-=-；
当第一个因式取2x -时，第二个因式应取含4x 的项，则对应系数为：
()()42622120C -⨯⨯=-；
则()()6
121x x -+的展开式中5x 的系数为12120132--=-， 故答案为：132-. 【点睛】
本题考查展开式中特定项的系数，考查二项式展开式的通项的应用，二项式()n
a b +展开
式的通项为1C k n k k
k n T a b -+=，考查推理能力与计算能力，是中档题.
14．24【分析】首先在周一到周五任选连续的两天安排甲值班即有种方式其它三天安排乙丙丁值班有种方式由分步计数原理即有总方法有种即可求得所有安排方法数【详解】从周一至周五值班甲连续两天值班乙丙丁每人值班一天
解析：24 【分析】
首先在周一到周五任选连续的两天安排甲值班，即有1
4C 种方式，其它三天安排乙、丙、丁值班，有33A 种方式，由分步计数原理，即有总方法有14C 3
3A 种，即可求得所有安排方法数 【详解】
从周一至周五值班，甲连续两天值班，乙、丙、丁每人值班一天，可知 周一到周五任选连续的两天安排给甲值班，则有：1
4C 种安排方法 甲值班两天除外，其它三天安排乙、丙、丁值班，则有：3
3A 种安排方法 以上两步是分步计数方法：故总的不同的安排方法为14C 3
3A = 24种 故答案为：24 【点睛】
本题考查了排列组合，应用分步计数原理求总计数，注意其中“对甲连续两天的值班安排”应用了捆绑法
15．【分析】由题意可得一个盒子里有2个球一定为1红1黄其余盒子每个盒子放一个根据分步计数原理可得【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中
要求每个盒子至少放一个球且同色球不能放在同一个盒子中则一个盒子里有 解析：144
【分析】
由题意可得一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，根据分步计数原理可得． 【详解】
解：这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球， 且同色球不能放在同一个盒子中，
则一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，
故有1113
4233144C C C A =种，
故答案为：144. 【点睛】
本题考查了分步计数原理，运用组合数的运算，理解题目意思是关键..
16．【分析】本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里有多少种方法利用隔板法即可求得答案【详解】问题中的看作是三个盒子问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里有多少种方法将个球排一排后中间插入两块隔板将它们 解析：36
【分析】
本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案. 【详解】
问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．
将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球． 隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．
∴共有2936C =种．
故答案为：36 【点睛】
本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.
17．495【分析】根据题意先确定数列中的个数再利用组合知识即可得到结论【详解】或设上式中有个则有个解得：这样的数列个数有故答案为：495【点睛】本题以数列递推关系为背景本质考查组合知识的运用考查函数与方
解析：495 【分析】
根据题意，先确定数列中11k k a a +-=的个数，再利用组合知识，即可得到结论． 【详解】
1||1k k a a +-=，
11k k a a +∴-=或11k k a a +-=-，
13113121211111021()()()()a a a a a a a a a a -=-+-+-+⋯+-，
设上式中有x 个11k k a a +-=，则有12x -个11k k a a +-=-，
4(12)(1)x x ∴=+-⋅-，解得：8x =，
∴这样的数列个数有8
12495C =.
故答案为：495 【点睛】
本题以数列递推关系为背景，本质考查组合知识的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意确定数列中11k k a a +-=的个数是关键.
18．【分析】将两次点数表示成有序数对分别求出基本事件总数和包含的基本事件个数即可求解概率【详解】将两次点数表示成有序数对根据基本计数原理得：基本事件总数为包含的基本事件个数为所以的概率故答案为：【点睛】 解析：
5
12
【分析】
将两次点数表示成有序数对(),a b ，分别求出基本事件总数和b a >包含的基本事件个数即可求解概率. 【详解】
将两次点数表示成有序数对(),a b ，根据基本计数原理得： 基本事件总数为6636⨯=，
b a >包含的基本事件个数为5432115++++=，
所以b a >的概率1553612
P ==. 故答案为：512
【点睛】
此题考查古典概型，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.
19．【分析】根据题意由排列组合数公式计算三个班级各出三人组成小方阵和来自同一班级的同学既不在同一行也不在同一列的排法由古典概型公式计算可得答案【详解】根据题意三个班级各出三人组成小方阵有种安排方法若来自 解析：
1140
【分析】
根据题意，由排列、组合数公式计算“三个班级各出三人，组成33⨯小方阵”和“来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列”的排法，由古典概型公式计算可得答案.
【详解】
根据题意，A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，有9
9A 种安排方法，
若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有3
36A =种，
第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；
第一行的每个位置的人员安排方法有33327⨯⨯=种，第二行的每个位置的人员安排有
2228⨯⨯=种，第三行的每个位置的人员安排有1111⨯⨯=种，
则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率9
9622781
140
P A ⨯⨯⨯==； 故答案为：1
140
. 【点睛】
本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
20．【分析】由分别写出和的展开式通项分别令的指数为求出对应的参数值代入通项可得出关于的等式进而可求得实数的值【详解】的展开式通项为所以的展开式通项为令可得由题意可得解得故答案为：【点睛】方法点睛：对于求 解析：2
【分析】
由()()()()6
6
6
1111ax x x ax x -+=+-+，分别写出()6
1x +和()6
1ax x +的展开式通项，分别令x 的指数为3，求出对应的参数值，代入通项可得出关于a 的等式，进而可求得实数a 的值. 【详解】
()()()()6
66
1111ax x x ax x -+=+-+，
()
6
1x +的展开式通项为16k
k
k T C x +=⋅，所以，()6
1ax x +的展开式通项为
1166r r r r r A axC x aC x ++=⋅=⋅，
令313k r =⎧⎨+=⎩，可得32k r =⎧⎨=⎩
，
由题意可得3
2
66201510C aC a -=-=-，解得2a =. 故答案为：2. 【点睛】
方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．
三、解答题
21．（1）123（2）7920（3）20126720x 【分析】
（1）令1x =，即可得该二项展开式中所有项的系数和的值；
（2）在通项公式中，令x 的幂指数等于4，求得r 的值，可得含4x 项的系数；
（3）根据12113121212111121222
2
2r r r r r r r r
C C C C ----+-⎧⎨⎩，求得r 的值，可得结论； 【详解】
（1）令1x =，可得该二项展开式中所有项的系数和的值为123；
（2）二项展开式中，通项公式为123641122r r
r r T C x --+=，令3644r -=，求得8r =， 故含4x 项的系数为84
1227920C =．
（3）第1r +项的系数为12122r r
C -，由121131212121111212
2222r r r r r r r r
C C C C ----+-⎧⎨⎩，求得4r =， 故该二项展开式中系数最大的项为 38
420
1421(2)()126720C x x x
=． 【点睛】
本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题． 22．（1）4320；（2）14400 【分析】
（1）利用捆绑法，先将女生捆绑，再和男生一起排列，计算即得解； （2）利用插空法，先排男生，再将女生插入男生空隙，即得解. 【详解】
（1）由题意，女生必须全排在一起，利用捆绑法
有36
364320A A =种不同的排法；
（2）女生必须全分开，利用插空法
有53
5614400A A =种不同的排法
【点睛】
本题考查了排列组合的实际应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题
23．（1）12；（2）466. 【分析】
（1）由排列数公式化简后再解方程可得；
（2）由组合数性质求得n 的范围，求得n ，再利用组合性质变形后计算． 【详解】
（1）由24
90n n A A =，得90(1)(1)(2)(3)n n n n n n -=---，且4n ≥，解得12n =；
（2）由题意383321n n
n n -≤⎧⎨≤+⎩
，*n N ∈，解得10n =．
∴383321n n n n C C -++283021303130313029
314662
C C C C ⨯=+=+=
+=. 【点睛】
本题考查排列数公式和组合数公式，掌握排列数和组合数性质是解题关键．在组合数中一定要注意上标不大于下标． 24．（1）24；（2）84 【分析】
（1）根据题意，使用插空法，把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由组合知识，分析可得答案；
（2）分析题意，可将原问题转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空，使用插空法，相当于用6块档板插在9个间隔中，计算可得答案． 【详解】
解：（1）由题意知有5个座位都是空的，
我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插， 由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，
共有3
424A =（种)．
（2）根据题意，将10个名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额， 可以转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空； 相当于用6块档板插在9个间隔中，
共有6
984C =种不同方法．
所以名额分配的方法共有84种． 【点睛】
本题考查排列、组合的综合运用，要求学生会一些特殊方法的使用，如插空法、倍分法等；但首先应该会转化为对应问题的模型． 25．（1）6；（2）3
36
24064
,60,,x x x 【分析】
（1）根据二项式定理通项公式列式解得n 的值； （2）根据二项式定理通项公式确定有理项，即可得结果. 【详解】
（1）3212()2n r
r n r
r r r
r n
n T C C x x --+==⋅ 所以前三项的系数和为
0011222(1)
222124217362
n n n n n C C C n n n -⋅+⋅+⋅=++⨯
=+=∴=； （2）632
16
2,0,1,2,3,4,5,6r
r r r T C x
r -+=⋅=
所以展开式中所有x 的有理项为
003322044366666663624064
2,260,2,2C x x C x C x C x x x
--⋅=⋅=⋅=
⋅= 【点睛】
本题考查二项式定理及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 26．（1）①2-；②2187；（2）①5
240x -；②5
240x -或580x -. 【分析】
（1）①运用赋值法，令0x =，求得01a =，令1x =，求得
012345671a a a a a a a a +++++++=-，由此可求得答案.
②由二项式的展开式判断0a 、2a 、4a 、6a 都大于零，而1a 、3a 、5a 、7a 都小于零，令
1x =-，可求得答案；
（2）先求出展开式的通项公式，①令2r 时，求展示式中的第3项；
②令2r 或3时，求得二项式系数最大项．
【详解】
解：（1）令0x =，则01a =，
令1x =，则()7
012345671211a a a a a a a a +++++++=-⨯=-. ①∴12372a a a a +++
+=-.
②∵()7
12x -展开式中，0a 、2a 、4a 、6a 都大于零，而1a 、3a 、5a 、7a 都小于零， ∴()()012702461357a a a a a a a a a a a a +++
+=+++-+++，
令1x =-，则7
012345673a a a a a a a a -+-+-+-=.
所以01272187a a a a +++
+=.
（2）5
22x ⎫⎪⎭的展开式中第1r +项为()
()5512
2
5215522r
r
r
r
r r r T C x x C x
---+==⋅⋅，
①当2r 时，所以展示式中的第3项为5
5
222235240T C x x --
=⋅⋅=.
②2r
或3时，二项式系数5r
C 最大，
2r
时，由（1）知5
2340T x -
=，
3r =时，4455
45280T C x x --==．
【点睛】
方法点睛：求最大二项式系数时：如果n 是奇数，最大的就是最中间一个，如果n 是偶数,最大的就是最中间两个；
求系数的最大项时：设第r +1项为系数最大项，需列出不等式组+1+2
+1r r r r
T T T T ≥⎧⎨≥⎩，解之求得r .。