2023年广东省中山市中考三模数学试题(解析版)

2023年广东省初中生学业质量监测
（万阅百校联盟检测）
数学
本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时90分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 0.5的相反数是（）
− C. 2 D. 5
A. 0.5
B. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．
−．
【详解】解：0.5的相反数是0.5
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握定义是解题关键．
2. 如图，该几何体的左视图为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图的定义，从左边看到的图形是左视图．
【详解】解：从左边看几何体，分为上下两个正方形，故C 选项符合题意；
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键是明确左视图是从几何体的左边观察得到的图形． 3. 六边形的内角和是（ ）
A. 360°
B. 540°
C. 720°
D. 900°
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式即可得出答案．
【详解】解：六边形的内角和的度数是（6-2）×180°=720°．
故选：C ．
【点睛】本题考查了多边形内角和，熟练掌握多边形内角和的公式是解题的关键．
4. 如图，AB CD ∥，25A ∠=°，65C =°∠，则F ∠=（ ）
A. 25°
B. 40°
C. 45°
D. 65°
【答案】B
【解析】 【分析】先由平行线的性质得到65BEF ∠=°，再根据三角形外角的性质即可得到40F BEF A =−∠=°∠∠．
【详解】解：∵AB CD ∥，65C
=°∠， ∴65BEF C ∠=
∠=°， ∵25A ∠=°，
∴40F BEF A =−∠=°∠∠，
故选B ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻
的两个内角的度数之和是解题的关键．
5. 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，若6AB =，8BC =，则COD △的周长为（ ）
A. 16
B. 12
C. 14
D. 11
【答案】A
【解析】 【分析】根据矩形的性质和勾股定理可以求出10AC BD ==，152
OC
OD AC ===，进而求出结果． 【详解】 四边形ABCD 是矩形， ∴90ABC ∠=°，AC BD =，6AB =，8BC =，
∴10AC BD ，
四边形ABCD 是矩形， ∴152
OC OD AC ===，6CD AB ==， ∴COD △的周长为：
55616OD OC CD ++=++=．
故选：A ．
【点睛】本题主要考查了矩形性质和勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解本题的关键．
6. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是
()2,3−，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB ，
则点B 的坐标为（ ）
的
A. ()2,3
B. ()3,2
C. ()3,2−−
D. ()2,3−
【答案】B
【解析】 【分析】作AC x ⊥轴于点C ，作BD x ⊥轴于点D ，根据旋转的性质可得90AOB ∠=°，OA OB =，根
据AAS 证明CAO △DOB ≌，推出3OD AC ==，2BD OC ==，可得 ()3,2B ．
【详解】解：如图，OB 为旋转后线段，作AC x ⊥轴于点C ，作BD x ⊥轴于点D ，
点A 的坐标是()2,3−，
∴3AC =，2OC =，
将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB ，
∴90AOB ∠=°，OA OB =，
∴90AOC DOB ∠+∠=°，
又 90AOC CAO ∠+∠=°，
∴CAO DOB ∠=∠，
在CAO △和DOB 中，
CAO DOB ACO ODB OA BO ∠=∠ ∠=
∠ =
， ∴CAO △()AAS DOB ≌，
∴3OD AC ==，2BD OC ==，
∴()3,2B ，
故选B ．
【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转问题，解题的关键是掌握旋转的性质，根据AAS 证明CAO △DOB ≌．
7. 在一个不透明口袋中有1个红球和4
个白球，它们除颜色外其他均相同．若从袋中任取一个球，取出
的
红球的概率为（ ）
A. 0.1
B. 0.2
C. 0.4
D. 0.8
【答案】B
【解析】
【分析】利用概率公式求出概率即可．
【详解】取出一个球有5中等可能情况，其中球为红色的有1中， 10.25
P ∴==取出红球 故选B ．
【点睛】本题考查随机事件中概率计算，概率为目标情况种数与总的可能情况种数的比值． 8. 下列计算正确的是（ ）
A. ()()336−×−=
B. ()()233327x x x −×−=−
C. (
(9×=
D. 3362x x x
+= 【答案】B
【解析】
【分析】按照计算规则计算判断正误即可． 【详解】选项A 中，()()339−×−=
，错误； 选项B 中，()()2
33327x x x −×−=−，正确； 选项C
中，(
(3×=
，错误； 选项D 中，
336x x x
+=，错误； 故选B ．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，二次根式的乘法，积的乘方，单项式乘以单项式，分式的加法等知识，计算中要注意符号，常数，字母的次数．同分母分式相加，分母不变，分子相加减．正确的计算是解题的关键．
9. 若关于x 的一元二次方程2230ax x ++=有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ）
A. 2−
B. 1
C. 2
D. 3 【答案】A
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式0∆>，可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值的
范围，注意二次项系数不等于0，对照四个选项即可得出结论．
【详解】∵关于x 的一元二次方程2230ax x ++=有两个不相等的实数根
∴22434120a a ∆=−××=−>,且0a ≠ 解得：13
a <且0a ≠ 故选：A ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”．
10. 设线段MN 长为600m ，甲、乙两质点同时从M 点出发朝N 点做匀速直线运动，到达N 点后即停止．已知甲质点运动速度比乙质点运动速度快，且甲运动一段时间后停止一会儿又继续按原速度运动，直至到达N 点．如图，该图表示甲、乙之间的距离y （单位：m ）与时间x （单位：min ）之间的函数关系，A 点横坐标为12，B 点坐标为()20,0，C 点横坐标为128．下列说法：①当60x =时，120y =；②OAB 的面积为200；③D 点的横坐标为200；④y 的最大值为216．其中正确的有（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ③④
【答案】D
【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据逐项判断即可．
【详解】解：当20x 时，0y =，则()()122012v v v −=−甲乙乙，即53
v v =
甲乙， 当128x =时，y 达到最大值，说明甲到达N 点， 甲运动时间为()n 1m 212820i 120+−=
， 甲的速度是()n 6005120
m/mi =， 乙的速度是()n 3535
m/mi ×=，
当60x =时，()()60205340280y =−×−=×=，故①错误；
∵()125324A y =×−=，∴OAB 的面积为
120242402××=，故②错误； 当128x =时，乙走了3128384m ×=，
还余600384216m −=，需要时间n 216723
mi =， ∴D 点的横坐标为12872200+=，故③正确；
当128x =时，y 达到最大值，()()1282053216y
=−×−=，故④正确；
综上，③④正确；
故选：D ． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用数形结合的思想解答．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 分解因式：2312x x −=
__________． 【答案】3(4)x x −
【解析】
【分析】直接用提取公因式法分解即可．
【详解】解：23123(4)x x x x −=−，
故答案为：3(4)x x −．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，准确提取公因式是关键．
12. 若正比例函数图象经过点()3,6，则该函数的解析式为___________．
【答案】2y x =
【解析】
【分析】设该正比例函数的解析式为y kx =，然后将点()3,6代入到该解析式并列出关于系数k 的方程，通过解方程即可求出k 值，从而求出这个函数解析式．
【详解】设该正比例函数的解析式为y kx =，
这个正比例函数的图象经过点()3,6，
∴63k =，
的
∴2k =．
故答案为：2y x =．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标的特征，待定系数法确定正比例函数的解析式，灵活运用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键．
13. 不等式组17312x x −< +≥−
的解集为___________． 【答案】18x −≤<
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再找到公共部分即可得．
【详解】解：17312x x −< +≥−
解不等式17x −<得，8x <，
解不等式312x +≥−得，1x ≥−，
所以，不等式组的解集为：18x −≤<．
故答案为：18x −≤<．
【点睛】此题主要考查了求一元一次不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键． 14. 如图，以点A 为圆心，适当长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ．若8AB =，10AC =，4BD =，则CD =___________．
【答案】5
【解析】
【分析】过点D 作DE AB ∥交AC 于E ，根据平行线的性质可得CED CAB ∠=∠，
CDE CBA ∠=∠，ADE DBA ∠=∠，根据角平分线的性质和等角对等边可得ADE EAD ∠=∠，
AE DE =，根据相似三角形的判定和性质可得
DE CE AB AC =，即可求得409
DE =，根据相似比求得5CD =． 【详解】过点D 作DE AB ∥交AC 于E
∵DE AB ∥
∴CED CAB ∠=∠，CDE CBA ∠=∠，ADE DBA ∠=∠
∴CED CAB △∽△ ∴DE
CE CD AB AC BC
== 又∵AD 平分CAB ∠，且ADE DBA ∠=∠
∴ADE EAD ∠=∠
∴AE DE = 即
10810
DE DE −= 解得409
DE = 故相似比为40
5989
= 故594CD CD BC CD ==+ 解得5CD =
故答案为：5
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求得DE 的值，得到相似比．
15. 如图，在菱形ABCD 中，10cm AB =，60A ∠=°．点E 、F 同时从A 、C 两点出发，分别沿AB ，
CB 方向向点B 匀速移动（到点B 即停止）
．点E 的速度为2cm /s ，点F 的速度为4cm /s ，经过s t 后DEF 恰为等边三角形，则此时t 的值为___________．
【答案】53##213 【解析】
【分析】利用等边三角形边长相等得到三角形全等，得到点运动路程线段关系，再列式计算即可．
【详解】DEF 为等边三角形，
DE DF ∴=，
又2AE t =，4CF t =，
AE CF ∴≠，连接BD ，
由菱形ABCD 中，60A ∠=°，
得ABD △、CBD △为等边三角形，
易证AED BFD ≌ ，
AE BF ∴=，
2104t t ∴=−，
53
t ∴=， 故答案为53
． 【点睛】本题考查动点中全等的构造，题干图形主体为含有一个60°角的菱形，通常看成两个等边三角形进行使用．动点问题计算中通常找到路程线段之间的关系进行计算求出时间．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16. 解方程组：()()225132x y y x y y +−=− −+=
【答案】47x y =−
=− 【解析】
【分析】利用代入消元法求解即可．
【详解】解：()(
)225132x y y x y y +−=− −+= 整理得21322x y x y −=− −=
①②， 由①得21y x =
+③， 把③代入②得()32212x x −+=
，解得4x =−． 将4x =−代入③得()212417y x =
+=×−+=−．
∴方程组的解为47x y =− =− ． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知代入消元法是解题的关键．
17. 先化简，再求值：21122m m m m m − ÷+ −−
，其中m 是方程210x x −−=的根． 【答案】化简结果为
21m m
−，原式值为1． 【解析】 【分析】先根据分式化简规则进行化简计算，再根据方程解的性质求解式子的值．
【详解】解：原式()()211222m m m m m m m −−=÷+ −−−
()212122
m m m m m m −−+÷−− ()2
122(1)m m m m m −−×−− ()
11m m =−
21m m
=−． m 是方程210x x −−=的根，
210m m ∴−−=．
21m m ∴−=．
∴原式21111
m m ===−． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分式化简过程需要先因式分解后上下约分，注意最后形式中不保留括号（除因式分解外任何计算结果都不保留括号）．正确的计算是解题的关键．
18. 某市有5个“网红”景点A ，B ，C ，D ，E 及其他景点．2023年“五一”期间，该市旅游局对本市游客的旅游去向进行了随机抽查，依据调查数据制作成如图所示的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中A 景点所对应的圆心角度数为___________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若2023年“五一”期间有120万游客来该市旅游，试估计有多少万人去E 景点旅游．
【答案】（1）108°
（2）见解析 （3）14.4万人
【解析】
【分析】（1）根据A 景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；求得A 景点所对应的圆心角的度数；
（2）求得B 景点接待游客数补全条形统计图；
（3）根据D 景点接待游客数所占的百分比，即可估计2023年“五一”期间选择去E 景点旅游的人数．
【小问1详解】
A 景点所对应的圆心角的度数是：30%360108×°=°，
故答案为：108°；
【小问2详解】
该市共接待游客数为：1530%50÷=
（万人）， B 景点接待游客数为：5024%12×=（万人）
， 补全条形统计图如下：
【小问3详解】
612014.450
×=（万人）， 答：2023年“五一”期间选择去E 景点旅游的人数约为14.4万人．
【点睛】本题考查的是条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识，读懂统计图、从中获取正确的信息是解题的关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x
=的图象交于点()2,1A −和点()1,B n ． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式m kx b x
+>的解集．
【答案】（1）2y x
=−
，=1y x −−；（2）01x <<或<2x −． 【解析】
【分析】（1）将点A 的坐标代入反比例函数的解析式可求得m 的值，从而得到反比例函数的解析式，然后将点B 的坐标代入可求得n 的值，接下来，利用待定系数法求得直线AB 的解析式即可；
（2）不等式m kx b x +>
的解集为直线y=kx+b 位于反比例函数m y x
=上方部分时，自变量x 的取值范围； 【详解】解：（1）∵点()2,1A −在反比例函数m y x =上， ∴212m xy ==−×=−， ∴反比例函数解析式为：2y x =−
． ∵点()1,B n 在2y x
=−上， ∴221
n =−=−． ∴(1,2)B −．
将点()2,1A −，()1,2B −代入y kx b =+，得212k b k b −+= +=−
． 解得 11k b =− =−
． 直线AB 的解析式为：=1y x −−．
（2）直线y=kx+b 位于反比例函数m y x =
上方部分时， x 取值范围是01x <<或<2x −． ∴不等式m kx b x
+>的解集为01x <<或<2x −． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的综合应用，数形结合是解答问题（2）的关键
20. 某高铁站入口的双翼闸机如图所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为
10cm ．双翼的边缘54cm AC BD ==，且与闸机侧立面夹角30ACP BDQ ∠=
∠=°．一名旅客携带一件长方体行李箱进站，行帮箱规格为6080100××（长×宽×高，单位：cm ）
．当双翼收回进闸机箱内时，该旅客的行书箱是否可以通过闸机？请说明理由．
的
【答案】可以通过，见解析
【解析】
【分析】过点A 作AE 垂直PC 于点E ，过点B 作BF 垂直QD 于点F ，则可得AE 和BF 的长，依据端点A 与B 之间的距离为10cm ，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】解：如图1，过点A 作AE 垂直PC 于点E ，过点B 作BF 垂直QD 于点F ．
∵30ACE ∠=°，30BDF ∠=
°， ∴127cm 2AE AC ==，127cm 2
BF BD ==． 当双翼收回进闸机箱内时，闸机入口宽度()27102764cm PQ AE AB BF =++=++=．
∵长方体行李箱长为60cm ，且60cm 64cm <，
∴当双翼收回进闸机箱内时，该旅客的行李箱可以通过闸机．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
21. 某文具店规定：凡一次购买练习本250本以上（含250本），可以按批发价付款；购买250本以下，只能按零售价付款．李老师来该店购买练习本，如果给学校八年级学生每人购买1本，则只能按零售价付款，需用240元；如果多购买60本，则可以按批发价付款，需用260元．
（1）求该校八年级学生人数的范围；
（2）若按批发价购买288本与按零售价购买240本所需金额相同，求该校八年级学生的人数．
【答案】（1）190250x ≤<
（2）200人
【解析】
【分析】（1）设该校八年级学生人数为x ，根据题意列不等式组求解即可；
（2）设学生有x 人，表示出零售价和批发价，再根据按批发价购买288本与按零售价购买240本所需金额相同列出方程求解即可．
【小问1详解】
设该校八年级学生人数为x ．
由题意得250,60250.
x x < +≥ 解得190250x ≤<．
【小问2详解】
设学生有x 人，则零售价为每本240x 元，批发价为每本26060
x +元，根据题意得： 24026024028860
x x ×=×+， 解得：200x =，
经检验200x =是原方程的解且符合题意，
答：该校八年级学生有200人．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组和分式方程组的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系列出不等式组和方程．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 如图，已知AB 是O 的直径，2AB =，C 为圆上任意一点，过点C 作圆的切线，分别与过A ，B 两点的切线交于P ，Q 两点．
（1）求CP CQ ⋅的值；
（2）如图，连接PB ，AQ 交于点M ，证明直线MC AB ⊥．
【答案】（1）1 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据切线长定理可证明OP ，OQ 分别是AOC ∠，BOC ∠的平分线，结合平角定义可证明
90POQ ∠=°，利用余角的性质可证明OPC COQ ∠=
∠，证明OCP QCO ∽△△，可得出2
2112CP CQ OC AB ⋅ ； （2）先证明MBQ MPA ∽△△，得出MP PA MB BQ
=，由切线长定理得出PC PA =，QC QB =，再证明PMC PBQ ∽△△，得出PMC PBQ ∠=∠，则可证MC BQ ∥，结合BQ AB ⊥，即可得证．
【小问1详解】
解∶如图，连接OP ，OQ ，OC ．
∵AP ，BQ ，PQ 是O 的切线，
∴OP ，OQ 分别是AOC ∠，BOC ∠的平分线．
∵180AOC BOC ∠+∠=°，
∴22180POC QOC ∠+∠=
°．
∴90POQ ∠=°
，即POQ △是直角三角形． ∴90POC COQ
∠+∠=°， ∵PQ 是O 的切线，
∴OC PQ ⊥，
∴90POC OPC ∠+∠=°，
∴OPC COQ ∠=
∠， 又90PCO OCQ ∠=
∠=°， ∴OCP QCO ∽△△． ∴OC CQ PC OC
=． 即2C C C O P Q =⋅． ∴2
2112CP CQ OC AB ⋅ ． 【小问2详解】
证明：∵AP ，BQ ，PQ 是O 的切线，
∴AP AB ⊥，BQ AB ⊥，PC PA ，QC QB =，
∴AP BQ ∥，
∴MBQ MPA ∽△△． ∴MP PA MB BQ
=． 又∵PC PA =，QC QB =， ∴MP PC MB QC
=． 又MPC BPQ ∠=
∠， ∴PMC PBQ ∽△△．
∴PMC PBQ ∠=
∠． ∴MC BQ ∥．
又BQ AB ⊥，
∴MC AB ⊥．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()2
60y ax bx a ++<的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且3OC OB OA ==．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设Q 为线段BC 上的动点，过点Q 作QP BC ⊥交线段BC 上方的抛物线于点P ，求3CQ PQ +的最大值．
【答案】（1）2
1262y x x =
−++
（2）【解析】
【分析】（1）根据题意可知6OC =，根据3OC OB OA ==，得到()2,0A −，()6,0B ，待定系数法求二次函数解析式即可； （2）待定系数法求得直线BC 解析式为6y x =
−+过点P 作x 轴垂线交直线BC 于点N ，设点P 坐标为21,262t t t −++
，则点N 坐标为(),6t t −+，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得
BC =，CN =，根据相似三角形的判定和性质可得PQ
NQ PN BO CO BC
==，求得
PQ PN =，CQ PN =−，即可得到，33CQ PQ PN PN +=+，根据二次函数的性质即可求得．
【小问1详解】
由题意得6OC =，
∵3OC OB OA ==，
∴点A 的坐标为()2,0−，点B 的坐标为()6,0． 将A ，B 两点坐标代入26y ax bx ++ 得042603666a b a b =−+ ++
解得122
a b =− = ∴二次函数的解析式为2
1262y x x =
−++． 【小问2详解】
设直线BC 解析式为y kx b =+ 代入()6,0B ，()0,6C 求得直线BC 解析式为6y x =
−+ 过点P 作x 轴垂线交直线BC 于点N ，如图
设点P 坐标为21,262t t t
−++
，则点N 坐标为(),6t t −+ ∵6OB OC ==，90COB ∠=°
∴BC =
，CN = ∵45CBO ∠=°
∴9045PNB ∠=°+°
∴45QPN ∠=
° ∴PQN BOC ∽△△ ∴PQ
NQ PN BO CO BC
==
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∵PQ
NQ ==，
∴CQ CN NQ =−−
．
∴33CQ PQ
PN PN +=+
+
()212662t t t =+−++−−+
2+
)24t −+． ∴当4t =时，3CQ PQ +
有最大值，最大值为
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等，解题的关键是借助相似三角形的性质求得CQ 和PQ 的值．
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