等比数列复习

等比数列
一、等比数列基本概念： 1. 等比数列的定义：()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式：
()11110,0n n
n n a a a q q A B a q A B q
-==
=⋅⋅≠⋅≠， 首项：1a ；公比：q 注：当1q ≠时等比数列通项公式()1110n n n
n a a a q q A B A B q
-===⋅⋅≠是关于n 的带有
系数的指数类函数，底数为公比q ，若11,n q a na ==则. 3. 等比中项
(1) 如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
A ab =或A ab =±
注: 同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数
(2) 数列
{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅ (11n n a a +-≠0)
4. 等比数列求和
前n 项和公式：),1(1)
1(111≠--=--=q q
q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =
二、等比数列的性质：
（1）对任何,m n ∈*
N ,在等比数列{}n a 中,有n m n
m a a q -=,特别的,当1m =时,便得到等比
数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

例1. 在等比数列{}n a 中,320,2a q ==, 求6,n a a
例2. 等比数列{}n a ,121a a +=3,a +4a =9
则45a a += .
(2) 若m n s t
+=+*(,,,)m n s t N ∈,则
n m s t a a a a ⋅=⋅ 如：
12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅
特别的,2n m k +=时,得2n m k a a a ⋅= 如：228
5a a a =，211n n n a a a -+=⋅ 例3.等比数列{}n a 中,9101112
64a a a a ⋅⋅⋅=
则813
a a ⋅= .
例4. 在等比数列{}n a 中,
0n a >, 24a a +
3546236a a a a +=, 则35a a +=
(3) 数列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n
k
a ,{}n k a ⋅,{}k n a ,{}n n k a
b ⋅⋅{}n n a b (k 为非零常
数) 均为等比数列
例5. 如果数列{}n a 是等比数列, 那么( )
A. 数列2
{}n a 是等比数列
B. 数列{2
}n
a 是等比数列
C. 数列{lg }n a 是等比数列
D. 数列{}n na 是等比数列
(4) 数列{}n a 为等比数列,每隔k *()k N ∈项取出一项构成的新数列
23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅仍为等比数列
例6.等比数列{}n a 中, 154510,90,a a ==
则60a = .
(5) 若{}n a 为等比数列,相邻k 项的和组成的数列仍成等比数列,即：数列
12k a a a ++⋅⋅⋅+,122k k k a a a ++++⋅⋅⋅+, 21223k k k a a a ++++⋅⋅⋅⋅+成等比数列
例7.在等比数列{}n a 中, 12330a a a ++=
789+120a a a +=,131415a a a ++=
(6) 若{}n a 为等比数列, 则相邻k 项的积组成的数列仍成等比数列,即：数列
12k a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 122k k k a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 21223k k k a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列
例8. 在等比数列{}n a 中,
3453a a a ⋅⋅=
67824a a a ⋅⋅=,则91011a a a ⋅⋅=
例. 已知四个实数中, 前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 中间两数之积为16, 收尾两数之积为128-, 求这四个数.
例. 已知{}n a 的前n 项和为n S , 且满足120(2)n
n n a S S n -+⋅=≥, 112
a =
(1) 求证1
{}n
S 是等差数列 (2) 求{}n a 的通项公式.
(二)重难点突破
题型一:等比数列中的基本元素 例1. 等比数列
{}n a 中,n S 为前n 项和,若3692S S S +=,求q 的值
变式训练: 等比数列
{}n a 中,267,91,S S ==求4S
题型二:等比数列定义的应用 例2.
设数列
{}n a 中111,1,42,2n n n n n a S a b a a ++==+=-
(1) 求证:数列{}n b 为等比数列 (2) 求数列{}n b 的前n 项和n T
变式训练: 数列
{}n a 的前n 项和为n S ,已知()12
1,2,3,n n n a S n n
++=
=.证明:
(1) 数列n s n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列 (2) 14n n S a +=
题型三:等比数列的综合应用 例3
例3. 已知
{}n a 是各项为不同的正数的等差数列,124lg ,lg ,lg a a a 成等差数列.又
21
,1,2,3n
n b n a =
=
(1) 证明数列{}n b 为等比数列
(2) 如果数列{}n b 的前3项的和等于7
24,求数列{}n a 的首项1a 和公差d
跟踪训练
1. (B 级) 在等比数列
{}n a 中,设前n 项和为n S ,()22223,n n n n n x S S y S S S =+=+的大小关
系是_____
A x>y
B x=y
C x<y
D 不能确定
2. (B 级)已知等比数列
{}n a 中,n a >0,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +=______
A 5
B 10
C 15
D 20
3. (B 级)设数列{}n a 是公比为a ()1a ≠,首项为b 的等比数列, n S 是前n 项和,对任意的n N *∈,
点
()1,n n S S +在( )
A 直线y=ax-b 上
B 直线y=bx+a 上
C 直线y=bx-a 上
D 直线y=ax+b 上
4. (A 级)在等比数列
{}n a 中,()5615160,,a a a a a a b +=≠+=则2526a a +=( )
A b a
B 22b a
C 2
b a
D 2b a
5. 若数列
{}n x 满足1lg 1lg n n x x +=+()n N *∈,且12100100x x x ++
+=,则
()101102200lg x x x +++=_____________________
1. (B 级)设正项等比数列{}n a 的首项11
2a =,n S 是前n 项和,()10103020102210S S S -++=
(1) 求
{}n a 的通项
(2) 求n S
等差数列与等比数列综合训练：
一．选择题：
1、等差数列{a n }中，前三项依次为
11+x , x 65 , x
1 则a 93等于 （ ）
A ．50
B ．13
C ．24
D ．8
2、{a n }是等比数列,S n =3 n + k, 则k 等于 （ ）
A ． －1
B ．1
C ．0
D ．以上都不对
3、已知数列{a n }的通项公式是a n =2n －49,则S n 达到最小值时,n 的值是
（ ）
A ．23
B ．24
C ．25
D ．26 4、数列{}n a 的前n 项之和为223n
S n n =-，则n a = （ ）
A ．45n -
B ．43n -
C ．41n -
D ．23n -+
5、设{a n }是公差为-2的等差数列,若a 1 +a 4 +a 7 +…+a 97 =50, 则a 3 +a 6 +a 9 +…+a 99= ( ）
A ．182
B ．－80
C ．－82
D ．－84
6、等差数列{a n }的公差为
2
1
，且S 100 =145 ,则a 1 +a 3 +a 5+…+a 99等于（ ） A ． 60 B ．1452 C ．1952 D ．50
7、等差数列共有21n -项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为121，则n ＝ （ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
8、等差数列{a n }中,S 15 =90, a 8等于（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．12 9、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且3
457++=
n n B A n n ，则使得n n b a
为整数的正整数n 的个数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
10．设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若a 1>0，S 4＝S 8，则当S n 取得最大值时，n （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
11、数列{a n }中,已知S 1 =1, S 2=2 ,且S n+1－3S n +2S n －1 = 0 (n ∈N*且n ≥2)，则此数列为
（ ） A ．等差数列 B ．等比数列
C ．从第二项起为等差数列
D ．从第二项起为等比数列
12、等比数列}{n a 中,21
a a +=162, 1843=+a a 则=+87a a ( )
.A 6 B .3 C .23 D .29
13、各项均为正数的等比数列{}n a 中，若39100=a a ，则1211lg lg lg a a a ++
+=（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
14、北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出
租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底应更新的车辆数占现有总车辆数的（ ）(参考数据1.14＝1.46，1.15＝1.61) ( )
A ．10%
B ．16．5%
C ．16．8%
D ．20%
15．已知数列{ a n }满足1
1n n n a a a +-=- （n ≥2），12,a a a b == 设
12n n S a a a =+++，则下列结论正确的是（ ） A ．100100,2a a S b a =-=- B ．100100,2a b S b a =-=- C ．100100,a b S b a =-=- D ．100100,a a S b a =-=-
二、填空题：
16、设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若9S 、8S 、10S 成等差数列，则q 的值为 .
17、已知数列{a n }为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，则前80项的和为 .
18、数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，13n n a S +=，n N *∈，则{a n }的通项公式为 .
19、数列{}n a 中，已知1a =2，3123n n a a +=-，则通项公式n a = .
20、数列{a n }的前ｎ项的和S n =3n 2+ n+1,则此数列的通项公式n a = .
21、已知{a n }为首项a 1≠0，公差为d ≠0的等差数列，则
12231
111 .n n a a a a a a +++⋯+= 22、等差数列{}n a 中，3
121312,0,0a S S =><,则公差d ∈ ，n S 中最大
为 .
23、在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有 个.
三、解答题：
24、已知
23123()++ n n f x a x a x a x a x =++，且123,,,,n a a a a 成等差数列，n 为正
偶数，又2
(1),(-1) f n f n ==,试比较1()2
f 与3的大小.
25、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且624-=S ，756-=S ，
（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）求数列}{n a 的前n 项和为n S ；
（3）已知n T =
1a +2a +3a +…+n a ，求n T .。