江苏省东海县高一上学期期中考试数学试题扫描含答案

高一年级期中答案及评分标准
一、选择题：（每小题5分，共60分）
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13.12x ； 14.1(533)2a b -+； 15.(2,3)； 16.(,16]-∞ .
三、解答题：
17
．解：（1）原式＝111
111111
26332633323(32)32
323-++-⨯⨯⨯⨯=⨯=； ………………………5分 （2）原式＝2643518log (44)log log 125823132
⨯++=++=. ………………………10分 18．解：（1）当m ＝2时，B ＝｛x |1＜x ＜5｝，
所以A B ⋃ ＝｛x |－2＜x ＜
5｝； ……………………………4分
（2）若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，
当B ＝∅时，m ≤－2，满足题
意； ……………………………6分
当B ≠∅时，2,12,
214m m m >-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得－1≤m ≤
32
……………………………8分 综上所述，m ∈(－∞，－2]∪[－1，
32
] ……………………………10分 19．解（1）设甲车行驶时间为x (min)，甲车、乙车所行路程分别为f (x )(km )、g (x )(km)．
则甲车所行路程关于行驶时间的函数为
()f x =
2425
x =0.96x (025)x ≤≤； ………………………………………2分 乙车所行路程关于甲车行驶时间的函数关系式为
()g x ＝
0,02,1.2(2),222,
24,2225.x x x x ≤≤⎧⎪-<≤⎨⎪<≤⎩
……………………………………………………8分 （2）设甲、乙两车在甲车出发x (min)时途中相遇，则222x <≤．
于是0.96 1.2(2)x x =-，10x =(min)，
(10)9.6f =(km)． …………………………………………
…………11分
答：甲、乙两车在甲车出发10min 时途中相遇，相遇时距甲地9.6km ． ……………………… 12分
20．解：（1）∵()f x 是偶函数，所以()()f x f x -= 恒成立， 即
22|12||12|log log 2121
x x x x m m --+⋅+⋅=++， ………………………………………2分 ∴|12||12|2121x x x x m m --+⋅+⋅=++，∴|2||12|1221
x x x x m m ++⋅=++ ∴ EMBED Equation.DSMT4 212x x m m +=+⋅
或 ………………………………………4分
即(21)(1)0x m --=或(21)(1)0x m ++=
所以1m =或
1m =-. ………………………………………6分
当1m =时，()0f x =，x ∈R ，满足题意；
当1m =-时，2|12|()log 21
x x f x -=+，定义域为{|0}x x ≠，()()f x f x -=，满足题意. 故1m =或
1m =-. ………………………………………8分
（2）若(1)(1)0f f -+≠，则由（1）知，1m =-，∴2|12|()log 21
x x f x -=+， 由()1f x =-，得2|12|log 121
x x -=-+， ………………………………………10分 ∴|12|1212
x x -=+，∴2(12)21x x -=+或2(12)(21)x x -=-+ ∴123
x =或23x = 解得2log 3x =-或2log 3x =． ………………………………………12分
21．解：（1）当a ＞1时，a 2－a ＝2，解得a ＝2，或a ＝－1（舍去)
当0＜a ＜1时，a －a 2＝2，a 无实数解．
综上a ＝
2． …………………………………………………………2分
（2）函数(2)(2)2[()()]y f x f x m f x f x =+-+--
22222(22)x x x x m --=++-
令()22x x g x -=- ，x ∈[1，＋∞)，任取121x x >≥，
因112212()()(22)(22)x x x x g x g x ---=---
1221(22)(22)x x x x --=-+-
因12x x >，所以21x x ->-，有1222x x >，2122x x -->，所以12()()g x g x > .
则()g x 在 [1，＋∞)上单调递增，故3()g(1)2
g x ≥= . ……………………………………4分 令()g x t =，因此，t ≥32，所以问题转化为
函数h (t )＝t 2＋2mt ＋2在[32，＋∞)上有最小值－2，求实数m 的
值 ． ……………………………6分
因h(t )＝(t ＋m )2＋2－m 2，对称轴方程为t ＝－m
当m ≥－32时，y ＝h (t )在[32，＋∞)上单调递增，
故h (t )min ＝h (32)＝3m ＋174，由3m ＋174＝－2，
解得m ＝－2512与m ≥－32矛
盾， ……………………………………………9分
当m ＜－32时，h (t )min ＝h (－m )＝2－m 2，由2－m 2＝－2，解得m ＝－2或m ＝2(舍去) 综上，m ＝－
2． ……………………………………………12分
22．解：（1）f (x )＝x 2＋x －2，令f (x )＝0，
解得x 1＝－2，x 2＝1，
故A ＝｛－2，
1｝ ………………………………2分
令f (x )＝t ，则g (x )＝f (t )＝t 2＋t －2，由上面知，f (t )的零点为－2，1
当t ＝－2时，x 2＋x －2＝－2，即x 2＋x ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝0；
当t ＝1时，x 2＋x －2＝1，即x 2＋x －3＝0，解得x 3＝－1＋132，x 4＝－1＋132
故B ＝｛ －1＋132，－1，0， －1＋132
｝ ………………………………6分
（2）令f (x )＝t ，h (x )＝g (x )－c ＝ t 2＋t －(c ＋2)，令t 2＋t －(c ＋2)＝0（*）
①当△＝1＋4(c ＋2)＝4c ＋9＜0，
即c ＜－94
时，方程（*）无实数解，h (x )零点个数为0个；………………………………8分
②当c ＝－94时，解方程（*），得t ＝－12，由f (x )＝－12，得x 2＋x －32
＝0， 因为△1＝1－4×(－32
)＝7＞0， 所以该方程有两实数解，从而h (x )的零点个数为2个； ………………………………10分
③当c ＞－94时，解方程(*)得，t 1＝－1＋4c ＋92，t 2＝－1＋4c ＋92
， 由f (x )＝t 1，得x 2＋x ＋1＋4c ＋92
－2＝0（**），△1＝7－24c ＋9， 由f (x )＝t 2，得x 2＋x －(2＋－1＋4c ＋92
)＝0 （***），△2＝7＋24c ＋9， 因为△2＞0，所以方程(***)必有两实数解；
若△1＜0，即c ＞1316
时，方程(**)无实数解；从而h (x )的零点个数为2个； 若△1＝0，即c ＝1316
时，方程(**)有两个相等的实数解；从而h (x )的零点个数为3个； 若△1＞0，即－94＜c ＜1316
时，方程(**)有两个不等的实数解；从而h (x )的零点个数为4个．
综上，当c ＜－94
时，h (x )的零点个数为0个； 当c ＝－94或c ＞1316
时，h (x )的零点个数为2个； 当c ＝1316
时，h (x )的零点个数为3个；
当－94＜c ＜1316
时，h (x )的零点个数为4个． ………………………………14分
法二：（2）h (x )＝g (x )－c ＝0，即f(f(x))=c
令f (x )＝t ，则f(t)=c ，
而f(t)= t 2＋t －2=(t+12)2－94
， ①当c<－94
时，y=c 与y=f(t)的图像没有交点，所以h(x)的零点个数为0个； ②当c ＝－94时，y ＝c 与y ＝f (t )的图像只有一个交点(－12，－94)，此时t ＝－12＞－94
，y ＝t 与y ＝f (x )的图像有两个交点，所以h (x )的零点个数为2个
③当c ＞－94
时，y ＝c 与y ＝f (t )的图像有两个交点(t 1，f (t 1))，(t 2，f (t 2))， 此时t 1＝－1＋4c ＋92，t 2＝－1＋4c ＋92
， ∵t 2>－12＞－94
，∴y ＝t 与y ＝f (x )的图像有两个交点， 若t 1<－94，即c ＞1316
时，y ＝t 与y ＝f (x )的图像没有交点， 若t 1=－94，即c ＝1316
时，y ＝t 与y ＝f (x )的图像只有一个交点， 若t 1>－94，即－94＜c ＜1316
时，y ＝t 与y ＝f (x )的图像有两个交点， 综上所述，
当c ＜－94
时，h (x )的零点个数为0个； 当c ＝－94或c ＞1316
时，h (x )的零点个数为2个； 当c ＝1316
时，h (x )的零点个数为3个； 当－94＜c ＜1316
时，h (x )的零点个数为4个．。