高考数学 专题辅导专题五 第2讲 椭圆 双曲线 抛物线课时训练提能

专题五 第2讲 椭圆 双曲线 抛物线
课时训练提能
[限时45分钟，满分75分]
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．(2012·贵阳模拟)抛物线y ＝14x 2
的焦点坐标是
A.⎝
⎛⎭
⎪⎫116，0
B ．(1,0)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－116，0
D ．(0,1)
解析 把抛物线方程化为标准形式得x 2
＝4y ， ∴焦点坐标为(0,1)． 答案 D
2．(2012·黄岗模拟)椭圆短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，则这个椭圆的离心率是
A.1
2
B.
22 C.6
3
D.
33
解析 据题意知b a ＝33，∴e 2
＝1－b 2a 2＝23，∴e ＝63
.
答案 C
3．(2012·荆州模拟)已知点P 在抛物线y 2
＝4x 上，则点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为
A.37
16
B.
115
C ．2
D ．3
解析 易知直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2
＝4x 的准线，抛物线y 2
＝4x 的焦点为F (1,0)，据抛物线的定义知所求的距离之和的最小值为点F 到直线l 1的距离，即
d ＝
|4×1－3×0＋6|
42＋－
2
＝2. 答案 C
4．(2012·大纲全国卷)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2
－y 2
＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝
A.1
4 B.3
5 C.3
4
D.45
解析 利用双曲线的定义及余弦定理求解．
由x 2
－y 2
＝2知，a 2
＝2，b 2
＝2，c 2
＝a 2
＋b 2
＝4，∴a ＝2，c ＝2. 又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝4， ∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝2
2
＋2
2
－4
2
2×42×22
＝34
. 答案 C
5．已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2
＝4x 的焦点重合，且双曲线
的离心率等于5，则该双曲线的方程为
A ．5x 2
－4y
2
5
＝1
B.x 25－y 2
4＝1 C.y 25－x 2
4
＝1
D ．5x 2
－5y
2
4
＝1
解析 ∵抛物线y 2
＝4x 的焦点为(1,0)，∴c ＝1；
又e ＝5，a ＝1
5
，b 2
＝c 2
－a 2
＝45，所以该双曲线方程为5x 2
－5y 2
4＝1，故选D.
答案 D
6．(2012·芜湖模拟)已知P 为抛物线y 2
＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2
＋(y －4)2
＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是
A ．5
B ．8 C.5＋2
D.17－1
解析 设圆心为C ，则C (0,4)，半径r ＝1，设抛物线的焦点F (1,0)，据抛物线的定义知，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线距离之和为|PQ |＋|PF |＝|PC |－1＋|PF |＝|PC |＋|PF |≥|CF |－1＝17－1.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2012·肇庆模拟)短轴长为5，离心率e ＝2
3的椭圆的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交
椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为________．
解析 由题知⎩⎪⎨⎪⎧
2b ＝5
c a ＝2
3
即⎩⎪⎨
⎪⎧
b ＝5
2a 2
－b 2a 2
＝49
，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝3
2
b ＝52
，
由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ＝4×3
2＝6.
答案 6
8．已知双曲线kx 2
－y 2
＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________，渐近线方程为________．
解析 双曲线kx 2
－y 2＝1的渐近线方程是y ＝±kx . 又因为一条渐近线方程与直线2x ＋y ＋1＝0垂直， ∴k ＝12，k ＝1
4
，
∴双曲线的离心率为e ＝
1
k
＋1
1
k
＝52； 渐近线方程为1
2x ±y ＝0.
答案
52 1
2
x ±y ＝0 9．(2012·衡水模拟)已知x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，M ，N 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上
任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则椭圆的离心率为________．
解析 设P (x 0，y 0)，不妨设y 0＞0， 则k 1＝
y 0
x 0＋a
＞0，k 2＝
y 0x 0－a
＜0， ∴|k 1|＋|k 2|＝k 1－k 2＝
y 0
x 0＋a
－
y 0
x 0－a ＝
2ay 0
a 2－x 20
.
又∵x 20a 2＋y 20b 2＝1，∴a 2－x 2
0＝a 2b
2y 20，
∴|k 1|＋|k 2|＝2ay 0a 2b 2
y 20＝2b 2
ay 0
.
∵0＜y 0≤b ，∴当y 0＝b 时，|k 1|＋|k 2|的最小值为2b 2
ab ＝2b
a
＝1，
∴b a ＝12，e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝34，∴e ＝32
. 答案
3
2
三、解答题(每小题12分，共36分)
10．如图所示，已知直线l ：y ＝kx ＋2(k 为常数)过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b
＞0)的上顶点B 和左焦点F ，直线l 被圆x 2
＋y 2
＝4截得的弦长为d .
(1)若d ＝23，求k 的值；
(2)若d ≥45
5，求椭圆离心率e 的取值范围．
解析 (1)取圆中弦的中点M ，连接OM . 由平面几何知识，知|OM |＝2
k 2＋1
＝1，
解得k 2
＝3，k ＝± 3.
∵直线l 过点F 、B ，∴k ＞0，则k ＝ 3.
(2)设圆中弦的中点为M ，连接OM ，则|OM |2
＝41＋k
2，
d 2＝4⎝
⎛⎭⎪⎫4－
41＋k 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4552，解得k 2
≥14
. ∴e 2
＝c 2
a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2
4＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2k 2＝11＋k 2≤45
.
∴0＜e ≤25
5.
11．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线
l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．
(1)求E 的离心率；
(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． 解析 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 因为2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，
所以|AB |＝4
3
a .
l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y
2
b
2＝1，
化简得(a 2
＋b 2
)x 2
＋2a 2
cx ＋a 2
(c 2
－b 2
)＝0， 则x 1＋x 2＝－2a 2
c a 2＋b 2，x 1x 2＝
a 2
c 2
－b
2
a 2＋
b 2
.
因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1| ＝
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2].
故43a ＝4ab 2
a 2＋b
2，得a 2＝2b 2
， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝2
2
.
(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)， 由(1)知x 0＝
x 1＋x 2
2＝－a 2
c a 2＋b 2＝－23
c ， y 0＝x 0＋c ＝c
3
.
由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1
x 0
＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 2
9＝1.
12．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .
(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2
＝4y 是否相切？说明理由．
解析 (1)依题意，点P 的坐标为(0，m )．
因为MP ⊥l ，
所以0－m 2－0×1＝－1，
解得m ＝2，
即点P 的坐标为(0,2)． 从而圆的半径
r ＝|MP |＝－
2
＋
－
2
＝22，
故所求圆的方程为(x －2)2
＋y 2
＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m . 由⎩⎪⎨
⎪
⎧
y ＝－x －m ，x 2
＝4y ，
消去y ，整理得x 2
＋4x ＋4m ＝0.
Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．
当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； 当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切． 综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切； 当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切．。