贵州省遵义市山盆镇中心学校2018-2019学年高一数学理下学期期末试卷含解析

贵州省遵义市山盆镇中心学校2018-2019学年高一数学
理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知a=30.4，b=0.43，c=log0.43，则（）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
参考答案：
C
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解．
【解答】解：∵a=30.4＞30=1，
b=0.43=0.064，
c=log0.43＜log0.41=0，
∴c＜b＜a．
故选：C．
2. （5分）向量=（1，2），=（1，1），且与a+λ的夹角为锐角，则实数λ满足（）
A．λ＜﹣B．λ＞﹣C．λ＞﹣且λ≠0D．
λ＜﹣且λ≠﹣5
参考答案：
C
考点：数量积表示两个向量的夹角．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意可得?（a+λ）=1+λ+2（2+λ）＞0，解不等式去掉向量同向的情形即可．
解答：∵=（1，2），=（1，1），
∴a+λ=（1+λ，2+λ），
∵与a+λ的夹角为锐角，
∴?（a+λ）=1+λ+2（2+λ）＞0，
解得λ＞﹣，
但当λ=0时，与a+λ的夹角为0°，不是锐角，应舍去，
故选：C
点评：本题考查数量积表示两向量的夹角，去掉同向是夹角问题的关键，属基础题．3. 下面四个命题正确的是（）
A．10以内的质数集合是{0，2，3，5，7}
B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}
C．方程x2﹣2x+1=0的解集是{1，1}
D．0与{0}表示同一个集合
参考答案：
B
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】阅读型；集合．
【分析】A．质数指能被1和本身整除的正整数，举出10以内的所有质数；
B．由集合中元素的无序性，可判断；
C．由集合中元素的互异性，即可判断；
D．由元素和集合的关系，可知0属于集合{0}．
【解答】解：A.10以内的质数集合是{2，3，5，7}，故A错；
B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}，它们都相等，故B对；C．方程x2﹣2x+1=0的解集应为{1}，故C错；
D.0表示元素，{0}表示一个集合，只有一个元素，故D错．
故选B．
【点评】本题考查集合的概念，集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性，属于基础题．
4. 已知函数⑴y = arcsin ( 2 x )，⑵y= sin ( π x) + cos ( π x )，⑶y = log 2x + log( 1 + x )，其中，在区间[，1 ]上单调的函数是（）
（A）⑴⑵⑶（B）⑵⑶（C）⑴⑵（D）⑴⑶
参考答案：
B
5. 下列函数中值域为的是( )
A．B．C．
D．
参考答案：
C
略
6. 已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，正确的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
对于D：l1:y=ax+b,l2:y=bx-a.由l1可知a<0,b<0,对应l2也符合,
7. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C.
D.
参考答案：
B
8. 对于函数的图象及性质的下列表述，正确的是（）
A．图像上的纵坐标不可能为1 B．图象关于点（1,1）成中心对称
C．图像与轴无交点D．图像与垂直于轴的直线可能有两个交点
参考答案：
A
函数因为所以图像上的纵坐标不可能为1，故A 对；图像关于（-1,1）中心对称，故B错；当x=-2时，则图像与轴有交点，故C
错；是函数，所以对于任意一个值有唯一一个值对应，故D错，不可能一个x对应两个y值；
故选A
9. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D 为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．
（1）求这条抛物线对应的函数关系式；
（2）连结BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；
（3）连结BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
（1）根据△ABE与△ABC的面积之比为3∶2及E（2，6），
可得C（0，4）
.∴D（0，2）. …………………………………（2分）
由D（0，2）、E（2，6）可得直线AD所对应的函数关系式为y＝2x＋2. ………（3分）
当y＝0时，2x＋2＝0，
解得x＝－1.
∴A（－1，0）. …………………………………（4分）
由A（－1，0）、C（0，4）、E（2，6）
求得抛物线对应的函数关系式为y＝－x2＋3x＋4. …………………………………（6分）
（2）BD⊥AD……………………………………………………………………（7分）
求得B（4，0），…………………………………（8分）
通过相似或勾股定理逆定理证得∠BDA＝90°，即BD⊥AD.……………（10分）
10. f（x）=﹣+log2x的一个零点落在下列哪个区间（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
参考答案：
B
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题．
【分析】根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果．
【解答】解：根据函数的实根存在定理得到
f（1）?f（2）＜0．
故选B．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列的前n项和是，且则．参考答案：
-2n+4
略
12. 设向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算；二倍角的余弦．
【分析】利用向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，得出1×（﹣1）
+cosθ×2cosθ=0，化简整理即得．
【解答】解：∵=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，∴=0，
即1×（﹣1）+cosθ×2cosθ=0，
化简整理得2cos2θ﹣1=0，
即cos2θ=0
故答案为：0．
13. 在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间
内，则下一步可判定该根所在的区间是_______________。

参考答案：
略
14. 已知函数，则函数的最小值为．
参考答案：
15. 函数的定义域为 .
参考答案：
16. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线与直线所成的角为▲．
参考答案：
17. 函数的值域为．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （14分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E 在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．
参考答案：
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．
分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．
解答：（1）∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P
∴BD⊥平面PAC
（2）设AC与BD交点为O，连OE
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥平面BOE
∴PC⊥BE
∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角
∵BD⊥平面PAC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3
∴OC=
在△PAC∽△OEC中，
又BD⊥OE，
∴
∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3
点评：本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握
19. 设的内角所对边的长分别是，且，的面积为
，求与的值.
参考答案：
（1）由三角形面积公式，得，故.
∵，∴. （6分）
（2）当时，由余弦定理得，
，所以；（10分）
当时，由余弦定理得，
，所以
.
（14分）
20. 已知点在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值．
参考答案：
（1）；（2）
试题分析：（1）设出圆的标准方程，把三个点代入，联立方程组求得．
（2）设出点的坐标，联立直线与圆的方程，消去，确定关于的一元二次方程，已知的垂直关系，确定，利用韦达定理求得a．
试题解析：(1) 设，由题意可设圆C的圆心为(3,t),则有32+(t-
1)2=(2)2+t2,解得t=1.
则圆C的圆心为(3,1),半径长为=3，所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)由消去y,
得2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0,
此时判别式Δ=56-16a-4a2.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有①
由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0,②
由①②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程．解题时把圆的代数问题与圆的平面性质有机结合是解题的关键．
21. 已知函数（m为常函数）是奇函数.
（1）判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；
（2）若对于区间[2,5]上的任意x值，使得不等式恒成立，求实数n的取值范围.
参考答案：
解：（1）由条件可得，即
化简得，从而得：由题意舍去，所以
即
在上为单调减函数
证明如下:设，则
因为，所以，，；所以可得
，所以，即；所以函数在上为单调减函数
（2）设，由(1)得在上单调减函数，
所以在上单调递减；所以在上的最大值为由题意知在上的最大值为，所以
22. 对于函数
（1）探究函数的单调性，并给予证明；
（2）是否存在实数a使函数为奇函数？
参考答案：
解： (1) 的定义域为R, ,
则=,
, ,
即,所以不论为何实数总为增函数．
(2) 为奇函数, ,即,
解得:。