广东省广州大学附属东江中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

广东省广州大学附属东江中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．
12
B ．5
C ．
52
D ．5
2．3
5
(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m n
x y 的系数之和为（ ）
A ．640
B ．416
C ．406
D ．236-
3．双曲线2
2
:21C x y -=的渐近线方程为( ) A ．20x y ±= B ．20x y ±= C ．20x y ±=
D ．20x y ±=
4．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点F 到该渐近线
的距离为3，则双曲线C 的实轴的长为 A ．1 B ．2 C ．4
D ．
85
5
5．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ） A ．3d =
B ．1012a =
C ．20280S =
D ．14a =-
6．若[]0,1x ∈时，|2|0x
e x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-
B ．[]2,2e e --
C ．[]2e,1-
D ．[]2ln 22,1-
7．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长
为4的正方形
内任取一点，则
的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．函数2
()ln(1)
x x
e e
f x x --=+在[3,3]-的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知斜率为k 的直线l 与抛物线2
:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取
值范围是（ ） A ．(,1)-∞
B ．(,1]-∞
C ．(1,)+∞
D ．[1,)+∞
10．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A 2
B ．2
C ．1
D 311．已知(2sin
,cos
),(3cos
,2cos
)2
2
2
2
x
x
x
x
a b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,
]3
π
上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．85[,)52
B ．75[,)42
C ．57[,)34
D ．7(,2]4
12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212
*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( ) A ．
()
12
n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （1，2），则sin （π﹣α）的值是_____． 14．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122a a -=，236a a -=，则4S =__________．
15．已知椭圆Г：22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1、F 2是椭圆Г的左、右焦点，A 为椭圆Г的上顶点，延长AF 2交椭圆Г
于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________.
16．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为1-，则输入的实数x 的值为______________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验n 次；
（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.
（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii ）若31e
p =求k 的最大值.
参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈
18．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为315
415x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
2
21sin ρθ
=+，点P
的极坐标为4π⎫⎪⎭. （1）求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；
（2）设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求PM . 19．（12分）已知函数()2
1ln 2
f x x ax bx =-
+，函数()f x 在点()()1,1f 处的切线斜率为0. （1）试用含有a 的式子表示b ，并讨论()f x 的单调性；
（2）对于函数()f x 图象上的不同两点()11,A x y ，()22,B x y ，如果在函数()f x 图象上存在点
()()()00012M x y x x x ∈,,，使得在点M 处的切线//l AB ，则称AB 存在“跟随切线”.特别地，当12
02
x x x +=
时，又称AB 存在“中值跟随切线”.试问：函数()f x 上是否存在两点,A B 使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出,A B 的坐
标，若不存在，说明理由.
20．（12分）已知数列{}n a ，{}n b ，数列{}n c 满足n n n a n c b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数
，n N *∈．
（1）若n a n =，2n
n b =，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；
（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n N *∈，1n n c c +>恒成立． ①当数列{}n b 为等差数列时，求证：数列{}n a ，{}n b 的公差相等；
②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由．
21．（12分）己知ΔABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .
设23sin 3sin 3sin sin sin sin sin B C A
C B B C
+=+（1）求tan A 的值；
（2
3sin B C =
，且ΔABC S =a 的值.
22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程
为122x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=； （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2）若直线l 与曲线C 交点分别为A ，B ，点()1,0P ，求
11
||||
PA PB +的值． 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
试题分析：由已知，－2a ＋i ＝1－bi ，根据复数相等的充要条件，有a ＝－
1
2
，b ＝－1 所以|a ＋bi|
=
，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模 2、B 【解析】
2m n +=，
有02m n =⎧⎨=⎩，11m n =⎧⎨=⎩，20
m n =⎧⎨=⎩三种情形，用33(1)(1)x x -=-+中m x 的系数乘以55(2)(2)y y -=-+中n y 的系数，然后相加可得． 【详解】
当2m n +=时，3
5
(1)(2)x y --的展开式中m n
x y 的系数为
358()55353535(1)(2)(1)22m m m n n n n n m n n m n n m n m n C x C y C C x y C C x y ---+---⋅-=⋅⋅-⋅=⋅⋅．当0m =，2n =时，系数为
3211080⨯⨯=；当1m =，1n =时，系数为4235240⨯⨯=；当2m =，0n =时，系数为523196⨯⨯=；故满足
2m n +=的m n x y 的系数之和为8024096416++=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键． 3、A 【解析】
将双曲线方程化为标准方程为22
1
1
2y x -=，其渐近线方程为22
012
y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】
双曲线22
:21C x y -=得22
11
2y x -=，则其渐近线方程为22
012
y x -=，
整理得0x ±=. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用. 4、B 【解析】
双曲线C 的渐近线方程为b
y x a =±
，由题可知tan 3
b a π== 设点(c,0)F ，则点F
到直线y =
=，解得2c =，
所以222222344c a b a a a =+=+==，解得1a =，所以双曲线C 的实轴的长为22a =，故选B ． 5、C 【解析】 由()()1101056105
402
a a S a a +⋅=
=+=，和65a =，可求得53a =，从而求得d 和1a ，再验证选项.
【详解】 因为()()1101056105
402
a a S a a +⋅=
=+=，65a =，
所以解得53a =，
所以652d a a =-=，
所以10645813a a d =+=+=，154385a a d =-=-=-，20120190100380280S a d =+=-+=， 故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题. 6、D 【解析】
由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，
x
x
f x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f x
g x 即可得a 的取值范围.
【详解】
由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，
令()()2g 2，
x
x
f x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=， ()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减， ()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，
又()g 2x
x x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==，
∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解. 7、B
【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为，即命题是错误，
则
是正确的；在边长为4的正方形
内任取一点，若的概率为
，即命题是正确
的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案 是正确的，应选答案B 。

点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算
公式的运用等知识与方法的综合运用，以及分析问题 解决问题的能力。

8、C 【解析】
先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解. 【详解】
函数2()ln(1)
x x
e e
f x x --=+，
则2
()()ln(1)x x
e e
f x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2
()ln x
e f x x
≈→+∞，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37
(1) 3.4ln(11)ln 20.69
e e e e
f -----=
=≈≈+，排除D 选项； 综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】
本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题. 9、C 【解析】
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：y kx b =+，与抛物线方程联立，由△0>得1kb <，利用韦达定理结
合已知条件得2
2k b k -=，2m k
=，代入上式即可求出k 的取值范围．
【详解】
设直线l 的方程为：y kx b =+， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
联立方程24y kx b y x
=+⎧⎨=⎩，消去y 得：222
(24)0k x kb x b +-+=，
∴△222(24)40kb k b =-->，
1kb ∴<，
且12242kb x x k -+=，2
122b x x k
=，
12124()2y y k x x b k
+=++=
， 线段AB 的中点为(1M ,)(0)m m >，
∴122422kb x x k -+=
=，12
4
2y y m k
+==， 2
2k b k -∴=，2m k
=，
0m >，
0k ∴>，
把2
2k b k
-= 代入1kb <，得221k -<， 21k ∴>，
1k ∴>，
故选：C 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题． 10、C 【解析】
利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可. 【详解】
因为(1)1i z i +⋅=-,
所以()()()
2
11111i i z i i i i --=
==-++⋅-,
由复数模的定义知,1z ==.
故选:C 【点睛】
本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题. 11、B 【解析】
先利用向量数量积和三角恒等变换求出()2sin()16
f x x π
ω=++ ，函数在区间4[0,
]3
π
上恰有3个极值点即为三个最值点，,6
2
x k k Z π
π
ωπ+=
+∈解出，,3k x k Z ππωω
=
+∈，再建立不等式求出k 的范围，进而求得ω的范围. 【详解】
解： ()22cos cos 12
x
f x x x x ωωωω=+=++ 2sin()16
x π
ω=++
令,62x k k Z π
π
ωπ+
=
+∈，解得对称轴,3k x k Z ππωω
=
+∈，(0)2f =，
又函数()f x 在区间4[0,
]3
π恰有3个极值点，只需 243333πππππωωωω+≤<+ 解得
75
42
ω≤<． 故选：B ． 【点睛】
本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成()++y A x t ωϕsin ＝或()++y A x t ωϕcos ＝ 的形式; (2)根据自变量的范围确定+x ωϕ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围. 12、C 【解析】
根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S . 【详解】
由于()()()212
*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为
212114S a a +=++=，所以公比为
4
22
=.所以12n n S +=，所以21n n S =-. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
5
【解析】
计算sinαy r ==
，再利用诱导公式计算得到答案. 【详解】
由题意可得x ＝1，y ＝2，
r =
sinαy r =
=
，∴sin （π﹣α）＝
sinα=
【点睛】
本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力. 14、40- 【解析】
由题意，设等比数列的公比为q ，根据已知条件，列出方程组，求得1,a q 的值，利用求和公式，即可求解． 【详解】
由题意，设等比数列的公比为q ， 因为12232,6a a a a -=-=，即112
112
6
a a q a q a q -=⎧⎨
-=⎩，解得3q =，11a =-， 所以(
)()4
4
1411340113
a q S q
---===---.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n 项和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 15
、
3
【解析】
由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设2BF t =，由题可得1BF 的长，在三角形1ABF 中，三角形12BF F 中由余弦定理可得1ABF ∠的值相等，可得,a c 的关系，从而求出椭圆的离心率 【详解】
如图，若1ABF ∆为等腰三角形，则|BF 1|=|AB |.设|BF 2|=t ，则|BF 1|=2a −t ，所以|AB |=a +t =|BF 1|=2a −t ，解得a =2t ，即|AB |=|BF 1|=3t ，|AF 1|=2t ，设∠BAO =θ，则∠BAF 1=2θ，所以Г的离心率e =
22||||
OF c a AF ==sin θ，结合余弦定理，易得在1ABF ∆中，21cos 212sin 3θθ=
=-，所以21sin 3θ=，即e =sin θ
故答案为：
33
.
【点睛】
此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题. 16、14
-
【解析】
根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可. 【详解】
解：程序的功能是计算()2log 21,0
2,0x x x y x ⎧+≤=⎨>⎩
，
若输出的实数y 的值为1-，
则当0x ≤时，由()2log 211x +=-得1
4x =-，
当0x >时，由21x =-，此时无解. 故答案为：14
-. 【点睛】
本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）110（2）（i ）()1
11k
p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（k *∈N ，且2k ≥）.（ii ）最大值为4.
【解析】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,利用古典概型、排列组合求解即可；
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,则可求得()21P ξ=,()21P k ξ=+,即可得到()2E ξ,进而由
()()12E E ξξ=可得到p 关于k 的函数关系式；
（ii ）由()()12E E ξξ>可得
()11k
p k
<-,推导出1ln 3k k >,设()1ln 3f x x x =-（0x >）,利用导函数判断()f x 的单调
性,由单调性可求出k 的最大值 【详解】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,
则()23
23
55
A A 1A 10P A ==, ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为1
10
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,
()()211k P p ξ∴==-,()()2111k
P k p ξ=+=--,
()()()()()2111111k k k
E p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦
,
若()()12E E ξξ=,则()11k
k k k p =+--,则()1
1k
p k
-=
, 111k p k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111k
p k ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
,
∴p 关于k 的函数关系式为()111k
p f k k ⎛⎫==- ⎪
⎝⎭
（k *∈N ,且2k ≥）
（ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得
()11k p k
<-, 311p =
-,1k
k ∴<,1ln 3k k ∴>, 设()1
ln 3
f x x x =-（0x >）, 则()113
f x x '=
-,令()0f x '=,则13x =,
∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减, 又ln 4 1.3863≈,
4
1.33333
≈, 4ln 43
∴>
, 又ln5 1.6094≈,
5
1.66673
≈,
5
ln 53
∴<,
∴k 的最大值为4 【点睛】
本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性
18、（1）2
212x y +=，()1,1（2）5541
PM =
【解析】
（1）利用互化公式把曲线C 化成直角坐标方程，把点P 的极坐标化成直角坐标；
（2）把直线l 的参数方程的标准形式代入曲线C 的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t 的几何意义可得． 【详解】
（1）由ρ2
2
21sin θ=+得ρ2+ρ2sin 2θ＝2，将ρ2＝x 2+y 2
，y ＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C 的直角坐标方程为22
x +y 2＝1，
设点P 的直角坐标为（x ，y ），因为P
，4
π
）， 所以x ＝
ρcosθ=
4
π
=1，y ＝
ρsinθ=4
π
=1，
所以点P 的直角坐标为（1，1）．
（2）将315415x t y t
⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入2
2x +y 2＝1，并整理得41t 2+110t +25＝0，
因为△＝1102﹣4×
41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t 1，t 2， 则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1+t 2110
41
=-， 依题意，点M 对应的参数为12
2
t t +， 所以|PM |＝|122t t +|55
41
=． 【点睛】
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
19、（1）1b a =-，单调性见解析；（2）不存在，理由见解析 【解析】
（1）由题意得()10f '=，即可得1b a =-；求出函数()f x 的导数()()()11ax x f x x
+-+'=
，再根据0a ≥、
10a -<<、1a =-、1a <-分类讨论，分别求出()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解；
（2）假设满足条件的A 、B 存在，不妨设()11A x y ，，()22B x y ，且120x x <<，由题意得122AB x x f k +⎛='⎫
⎪⎝⎭
可得
12112
2
21ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪
⎝⎭=+，令12x t x =（01t <<），构造函数()()21ln 1t g t t t -=-+（01t <<），求导后证明()0g t <即可得解. 【详解】
（1）由题可得函数()y f x =的定义域为()0+∞，
且()1
f x ax b x
-'=+， 由()10f '=，整理得1b a =-.
()()()1111
1ax x f x ax b ax a x x x
+-+=
-+=-+-=
'. （ⅰ）当0a ≥时，易知()01x ∈，，()0f x '>，()1x ∈+∞，
时()0f x '<. 故()y f x =在()01，上单调递增，在()1+∞，
上单调递减. （ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，解得1x =或1
x a
=-，则 ①当1
1a
-=，即1a =-时，()0f x '≥在()0+∞，
上恒成立，则()y f x =在()0+∞，上递增. ②当11a -
>，即10a -<<时，当()101x a ⎛⎫
∈⋃-+∞ ⎪⎝⎭，
，时，()0f x '>； 当11x a ⎛⎫
∈- ⎪⎝
⎭
，
时，()0f x '<. 所以()y f x =在()01，上单调递增，11a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，
单调递减，1a ，⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
单调递增.
③当11a -
<，即1a <-时，当()101x a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，时，()0f x '>；当11x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，时，()0f x '<. 所以()y f x =在10a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，
上单调递增，11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，单调递减，()1+∞，单调递增. 综上，当0a ≥时，()y f x =在()01，上单调递增，在()1+∞，
单调递减. 当10a -<<时，()y f x =在()01，及1
a
，
⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增；()y f x =在11a ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，上单调递减.
当1a =-时，()y f x =在()0+∞，
上递增. 当1a <-时，()y f x =在10a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，及()1+∞，上单调递增；
()y f x =在11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，上递减. （2）满足条件的A 、B 不存在，理由如下：
假设满足条件的A 、B 存在，不妨设()11A x y ，，()22B x y ，且120x x <<， 则()1212121212ln ln 1
12
AB y y x x k a x x a x x x x --=
=-++---， 又()1212012
2122x x x x f x f a a x x ++⎛⎫
'==-⨯+-
⎪+⎝⎭'， 由题可知()
AB
k f x 0='，整理可得：121211*********
2
21ln ln 222
ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫
- ⎪--⎝⎭=⇒==-+++，
令12x t x =
（01t <<），构造函数()()21ln 1
t g t t t -=-+（01t <<）. 则()
()()()2
22
114011t g t t t t t -'=-=>++，
所以()g t 在()01，上单调递增，从而()()10g t g <=，
所以方程112212
22ln
x x x x x x -=+无解，即()
AB k f x 0='无解. 综上，满足条件的A 、B 不存在. 【点睛】
本题考查了导数的应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.
20、（1）12244
33
n n T n +=+-（2）①见解析②数列{}n b 不能为等比数列，见解析
【解析】
（1）根据数列通项公式的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，选用分组求和的方法进行求解；
（2）①设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公差为1d ，当n 为奇数时，得出1d d ≥；当n 为偶数时，得出1d d ≤，从而可证数列{}n a ，{}n b 的公差相等；
②利用反证法，先假设{}n b 可以为等比数列，结合题意得出矛盾，进而得出数列{}n b 不能为等比数列．
【详解】
（1）因为n a n =，2n
n b =，所以22n n a a +-=，
2
4n n
b b +=且111
c a ==，224c b == 由题意可知，数列{}21n c -是以1为首项，2为公差的等差数列， 数列{}2n c 是首项和公比均为4的等比数列，
所以122(1)4(14)44
221433
n n n n n T n n +--=+⨯+=+--；
（2）①证明：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公差为1d ， 当n 为奇数时，1(1)n n c a a n d ==+-，1111n n c b b nd ++==+ 若1d d <，则当11
1a d b n d d
-->
-时，111()0n n c c d d n d a +-=-+-<，
即1n n c c +<，与题意不符，所以1d d ≥，
当n 为偶数时，11(1)n n c b b n d ==+-，111n n c a a nd ++==+， 若1d d >，则当111
1
b d a n d d -->
-时，11111()0n n c c d d n a d b +-=-++-<，
即1n n c c +<，与题意不符，所以1d d ≤， 综上，1d d =，原命题得证；
②假设{}n b 可以为等比数列，设公比为q ，
因为1n n c c +>，所以21n n n c c c ++>>，所以220n n a a d +-=>，
22
1n n
b q b +=>， 因为当2141log (1)
q
d
n b q >+-时，
1
2221(1)(1)4n n n n b b b q b q
q d -+-=-=⋅⋅->，
所以当n 为偶数，且11n n n a b a -+<<时，213(,)n n n b a a +++∉，
即当n 为偶数，且11n n n c c c -+<<时，123n n n c c c +++<<不成立，与题意矛盾， 所以数列{}n b 不能为等比数列． 【点睛】
本题主要考查数列的求和及数列的综合，数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法，数列综合题要回归基本量，充分挖掘题目已知信息，细思细算，本题综合性较强，难度较大，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
21、（1（2）【解析】
（1）由正弦定理将23sin 3sin 3sin sin sin sin sin B C A C B B C
+=+2
333b c a c b bc +=+
即222333b c a +=+，由余弦定理求得cos A ， 再由平方关系得sin A 再求解.
（23sin B C =，得
b =1
sin 2
ABC S bc A ∆==. 【详解】
（1）由正弦定理，得2
333b c a c b bc
+=+，
即2
2
2
333b c a +=+，则222cos 2b c a A bc +-==，
而22sin cos 1A A +=，又(0,)A π∈，解得1
sin 3
A =，
故sin tan cos A A A =
=
.
（23sin B C =，则
b =
因为ABC S ∆=，故
1
sin 2
bc A =
故211
23
=，
解得c = 故6b =，
则a =
==【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.
22、（Ⅰ）:10l x y +-=,曲线22:40C x y x +-=
【解析】
试题分析：（1）消去参数t 可得直线l 的直角坐标系方程，由222
cos x y x ρρθ+==，可得曲线C 的直角坐标方程； （2
）将122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）代入曲线C
的方程得：230t -=，1212121111t t PA PB t t t t -+=+=，利用
韦达定理求解即可. 试题解析：
（1）:10l x y +-=，曲线2
2
:40C x y x +-=，
（2
）将12
2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）代入曲线C
的方程得：230t -=.
所以12123t t t t +==-.
所以
12121211113
t t PA PB t t t t -+=+===.。