2022版高考数学人教A版：课时作业十六导数与函数的零点

与 y＝sin x 都是奇函数，则函数 y＝f(x)与 y＝sin x 存在交点－π2，－1 .综合 可得，函数 y＝f(x)与 y＝sin x 有 3 个交点，则函数 g(x)＝f(x)－sin x 有 3 个零
点．
6．(2021·石嘴山模拟)若函数 f(x)＝x2ex－a 恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范
4．已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f12 ＝12 ，f′x ＋4x＞0，其中 f′(x)为 f(x) 的导函数，则不等式 f(sin x)－cos 2x≥0 的解集为( )
A．－π3＋2kπ，π3＋2kπ ，k∈Z B．－π6＋2kπ，π6＋2kπ ，k∈Z C．π3＋2kπ，23π＋2kπ ，k∈Z D．π6＋2kπ，56π＋2kπ ，k∈Z
3．若函数 f(x)＝x ln x－a 有两个零点，则实数 a 的取值范围为( )
A．－1e，1 C．－1e，0
B．1e，1 D．－1e，＋∞
【解析】选 C.函数的定义域为(0，＋∞)，由 f(x)＝0 得 a＝x ln x，
记 g(x)＝x ln x.
则 g′(x)＝ln x＋1，由 g′(x)＞0 得 x＞1e ， 由 g′(x)＜0 得 0＜x＜1e . 所以 g(x)在0，1e 上单调递减，在1e，＋∞ 上单调递增， 且 g(x)min＝g(1e )＝－1e ，由图可知－1e ＜a＜0.
7．已知函数 f(x)＝x2＋ex－12 (x＜0)与 g(x)＝x2＋ln (x＋a)的图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是( )
A．－∞，
1
e
B．(－∞， e )
C．－
1， e
e
D．－
e，
1
e
【解析】选B.设点P(x0，y0)(x0＜0)在函数f(x)上，
由题意可知，点P关于y轴的对称点
sin x 的交点，设 h(x)＝sin x，函数 f(x)为 R 上的奇函数，则 f(0)＝0，又由 h(0)
＝sin 0＝0.则函数 y＝f(x)与 y＝sin x 存在交点(0，0)，当 x＞0 时，f(x)＝2π x
－ln x＋ln
π 2
，其导数 f′(x)＝2π
－1x
，分析可得在区间0，π2
上，f′(x)＜0，
f(x)为减函数，在区间π2，＋∞ 上，f′(x)＞0，f(x)为增函数，则 f(x)在区间
(0，＋∞)上存在最小值，且其最小值为 fπ2
＝2π
π ×2
－ln
π 2
＋ln
π 2
＝1，又由
hπ2
＝sin
π 2
＝1，则函数 y＝f(x)与 y＝sin x 存在交点π2，1
，又由 y＝f(x)
1 sin x≥2
，所以π6
＋2kx≤x≤56π
＋2kπ，k∈Z.
5．(2020·吉安模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 x＞0 时，f(x)＝2π x－ln
x＋ln
π 2
，则函数 g(x)＝f(x)－sin x(e 为自然对数的底数)的零点个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．5
【解析】选 C.根据题意，函数 g(x)＝f(x)－sin x 的零点即函数 y＝f(x)与 y＝
2．(2021·郑州模拟)设函数 f′ x
是函数 f x
x∈R
的导函数，当 x≠0 时，f′x
＋3fxx ＜0，则函数 g x ＝f x －x13 的零点个数为(
)
A．3
B．2
C．1
D．0
【解析】选 D.设 F x ＝x3fx －1， 则 F′ x ＝x3f′x ＋3x2fx ＝x3f′x＋3fxx . 当 x≠0 时，f′x ＋3fxx ＜0， 当 x＞0 时，x3＞0，故 F′ x ＜0，所以，函数 y＝Fx 在0，＋∞ 上单调递减； 当 x＜0 时，x3＜0，故 F′ x ＞0，所以，函数 y＝Fx 在－∞，0 上单调递增． 所以 F x max＝F(0)＝－1＜0，所以，函数 y＝Fx 没有零点， 故 g x ＝f x －x13 ＝Fxx3 也没有零点．
P′(－x0，y0)在函数g(x)上，
所以
y0
=x
+e
x
0
-
1 2
y0 =(-x0 )2ln (-x0 +a)
Байду номын сангаас
消y0可得x20 ＋ex0 －12 ＝(－x0)2＋ln (－x0＋a)，
即ex0 －ln (a－x0)－12 ＝0(x0＜0)，所以ex0 －12 ＝ln (a－x0)(x0＜0).
【解析】选 A.因为 g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)，g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0，所以 g(x)在 (0，＋∞)上单调递增，因为 g(0)＝1，y＝f(x)为 R 上的连续可导函数，所以 g(x) 为(0，＋∞)上的连续可导函数，g(x)＞g(0)＝1，所以 g(x)在(0，＋∞)上无零点．
围是( )
A．e42，＋∞ C．(0，4e2)
B．0，e42 D．(0，＋∞)
【解析】选 B.函数 f(x)＝x2ex－a 的导数为 f′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)， 令 f′(x)＝0，则 x＝0 或－2， 函数在(－2，0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增， 所以 0 或－2 是函数 f(x)的极值点，函数的极值为：f(0)＝0－a＝－a， f(－2)＝4e－2－a＝e42 －a， 函数 f(x)＝x2ex－a 恰有三个零点，则实数 a 的取值范围是0，e42 .
【解析】选 D.设 g(x)＝f(x)＋2x2－1，
所以 g′(x)＝f′(x)＋4x＞0 在 R 上恒成立，
所以 g(x)在 R 上单调递增，不等式 f(sin x)－cos 2x＝f(sin x)＋2sin2x－1，
且 g21 ＝0，
不等式 f(sinx)－cos 2x≥0，所以 g(sin x)≥g12 ，
令 m(x)＝ex－21 (x＜0)，n(x)＝ln (a－x)(x＜0)， 它们的图象如图， 当 n(x)＝ln (a－x)过点0，12 时， 解得 a＝ e ，由图可知，当 a＜ e 时，
十六 导数与函数的零点
【基础落实练】（30 分钟 50 分）
一、选择题(每小题 5 分，共 35 分)
1．(2021·台州模拟)已知 y＝f(x)为 R 上的连续可导函数，且 xf′(x)＋f(x)＞0，
则函数 g(x)＝xf(x)＋1(x＞0)的零点个数为( )
A．0
B．1
C．0 或 1
D．无数个