2019北京市东城区高三上学期数学期末考试卷

东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学（理科）
本试卷共4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
(1)已知集合A={x _2<xM0}, B={—2,—1,0,1,2},则A「B =
(A) { -2, -1} (B){-2,0}
(C){-1,0} (D){-2,-1,0}
(2)卜列复数为纯虚数的是
(A) 1 +i2(B) i + i2
一」1_ 〃 2
(C) 1-7 (D) (1-i)
(3)下列函数中，是奇函数且存在零点的是
(A)y=x3+x (B) y = log2x
c n 2 G 2
(C) y =2x -3 (D) y =—
x (4)执行如图所示的程序框图，若输入的n=5,m=3,则输出的p 值为
(A) 360 (B) 60
(C) 36 (D) 12
(开的
/人忖，用的值/ 二T ；
k=[,p=]
~~ -----------
p-p(n-iu+k) .
-- ；--- K-k
/输;刖/
Jr
如束)
要求的一项。

(5)“ m =9冗”是“函数f (x)=cos(2x+3的图象关于直线x=m对称”的12 6
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(6)某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的
长度为
(A) 2 (B) 5
(C) 2.2 (D) 3
(7)在极坐标系中，下列方程为圆P=2sin 0的切线方程的是
(A) : COS 1-2 (B) 。

= 2cos 二
(C) Pcos 日=一1 ( D) Psin@=-1
(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E (单位：焦耳)与地震里氏震
级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M .已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级, 若它们释放的能量分别为E1和E2,则目的值所在的区间为
E2
(A) (1,2) (B) (5,6)
(C) (7,8) (D) (15,16)
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

fx<2,
(9)若x, y满足<y & 2x, 则x +2y的最小值为 .
x + y > 3,
2
(X)
(10)已知双曲线一 - m
(11)若等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝满足a 1 = —1,匕=2 , a 3 + b 2
= —1,试写出一组满足
条件的数列｛a n ｝和｛b n ｝的通项公式：a n =, b n =
^
L T T
(12)在菱形ABCD 中，若BD= J 3 ,则CB ，DB 的值为.
2 .
(13)函数
f(x)=s
in (x ) *
cos(x
—)在区间［
—，一n ］上的最大值为
^
6
3
6 3
-------
(14)已知函数 f(x)定义域为 R,设 F f (x) J f(X)，
I f(X
) -1,
' 'I 1,
|f(x)〉1.
2
①若 f (x) ,则 F f (1)= ________ ;
1 x 2
f
②若f(x)=e a 4—1,且对任意x w R F f (x)=f(x),则实数a 的取值范围为
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15)(本小题13分)
在
△ABC
中，72csin AcosB = asin C.
(I )求N B 的大小；
(n)若4ABC 的面积为a 2
,求cosA 的值.
3m
=1的一个焦点为(273,0),则m =
某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据(单位：小时)，将数据分为5组：[10,12) , [12,14),
[14,16) , [16,18) , [18,20],整理得到如图所示的频率分布直方图.
(I )求频率分布直方图中的x的值；
(n)试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；
(出)已知课外阅读时间在[10,12)的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10,12)的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E(X ).
如图1,在四边形ABCD中，AD=；BC, BC =2AD , E, F分别为AD,BC的中点，
AE =EF , AF =J2AE.将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE _L平面EFCD(如图2) , G是BF 的中点.
(I)证明：AC_L EG；
BH ...... (n )在线段BC上是否存在一点H ,使得DH "平面ABFE ?若存在，求一的值；若一' BC
不存在，说明理由；
E D
ffll 图2
(18)(本小题13分)
已知函数f (x) =axe x— x2— 2x.
(i)当a=1时，求曲线y = f(x)在点(0, f (0))处的切线方程；
(n)当x>0时，若曲线y=f(x)在直线y = -x的上方，求实数a的取值范围.
2 2
已知椭圆C:与+匕=1过点P(2,1). a 2
(I)求椭圆C的方程，并求其离心率；
(n)过点P作x轴的垂线l ,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上)，点A关于l的对称点为A',直线AP与C交于另一点B .设O为原点，判断直线AB与直线OP 的位置关系，并说明理由.
对给定的d W N :记由数列构成的集合a(d)={{4}| a i =1, a n+=同+d| ,n w N冲}.
(I )若数列{4} w Q(2),写出a3的所有可能取值；
(n)对于集合Q(d),若d^2.求证：存在整数k ,使得对Q(d)中的任意数列{ a n},整数k不是数列{a n}中的项；
(出)已知数列{a n},{b n} EQ(d),记{a n}, {b n}的前n项和分别为入，B n.若|不』,以』，求证：A n< B n .
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学(理科)参考答案及评分标准
2019.1
-、选择题(共 8小题，每小题5分，共40分)
(1) C (2) D (3) A (4) B (5) A
(6) D
(7) C
(8) B
二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)
(9) 4
(11) -n 2 (答案不唯一) (13) 33
三、解答题(共6小题，共80分)
(15)(共 13 分)
(I)在 4ABC 中，由正弦定理得 csinA = asinC,所以 cosB = asnC =二.
csin A 2
又0 <Z B <兀，
〜 一二 (5)
所以• B =一.
4
分
(n )因为△ ABC 的面积 S= 2 acsin 4 = a2,所以 c = 2 J 2a.
........... c c c 2 —
由余弦 JE 理,b =a +8a -2 a 2\Z2a —，所以 b =J 5a.
(12)
/ 、 1 , ，… (14) 一 (-« , l n
2 ] 2
2
（16）（共 13 分） 解：（I ）由 0.05 M2+0.08 M2+0.10 M2 +0.12 M2+2x = 1 ,
可得 x =0.15 .
即课外阅读时间不小于 16个小时的学生样本的频率为 0.30 .
500 M0.30 =150 ,
所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于 16个小时的学生人数为 150.
.............. 6分
（出）课外阅读时间在 [10,12）的学生样本的频率为 0.08X2=0.16 ,
50X0.16 =8,即阅读时间在[10,12）的学生样本人数为 8,
8名学生为3名女生，5名男生，
随机变量X 的所有可能取值为
0, 1 , 2, 3,
C 3 5 P （X =0）=^=云;
C 8 28
所以X 的分布列为:
所以cosA 二
5a 2 8a 2 -a 2 3 10
13分
2、5a 2,2a 10
（n ）
0.10 M2 +0.05 M2 =0.30 c 3c 2
P （X =1）=k C 8
15
28'
-2 一1
P （X =2）=篝=15
C 8 56
P
（X =3啜
C 8 56
X 0 1 2 3
P 5 15 15 1
28 28 56 56
...... 5 15 15 19
故X 的期望E(X) =0黑一+1 黑一+ 2父一+ 3<—=— (13)
28 28 56 56 8.
(17)(共14 分)
解：(I )在图1 中，AE =EF, AF =J2AE,
可得△ AEF为等腰直角三角形，AE _L EF .
因为AD［： BC，所以EF ±BF,EF ±FC.
因为平面ABFE _L平面EFCD,且两平面交于EF, CF u平面CDEF ,
所以CF _L平面ABFE .
又EG U 平面ABFE 故CF _L EG ；
由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF _LEG ；
又AF。

FC = F ,所以EG _L 平面AFC.
又AC U平面AFC ,所以AC_LEG. .............. 4 分
(II)由(I )知：FE , FC, FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F-xyz, 设FE=1,则F(0,0,0), C(0,2,0), B(0,0,2), D(1,1,0).
设H是线段BC上一点，
T 则存在九『0,1］使得BH =7U BC.
D
因此点 H (0,2 儿2 —2儿)-DH = (—1,2九一1,2
—2人).
由(I)知FC 为平面ABFE 的法向量，FC = (0,2,0).
因为DH 辽平面ABFE,
所以DH U 平面ABFE 当且仅当DH .FC=0,
即(-12-1,22 ) (0,2,0) = 0.
- 1 斛小于■=—.
2
所以在线段BC 上存在点H 使得DH J ；平面ABFE,此时
设A(1,0,1), E(1,0,0) , G(0,0,1).
T
T
由(I)可得，EG 是平面AFC 的法向量，EG = (—1,0,1).
T T
AD =(0,1,-1),CD =(1,-1,0),
设平面ACD 的法向量为n = (x,y,z)
令x = 1，则y =1,z =1.于是 n = (1,1,1).
所以 cos ：：：EG,n
・=
n
=0.
EG n
所以二面角D - AC - F 的大小为90.
14
..9分
BH
BC
(III) r T
,n AD =0,
由 一।
, n CD =0,
即
y
-z =0
，
X - y = 0.
解：(I )当 a =1 时，f (x)= xe — X — 2x 所以 f '(x)= e (x + 1A X- 2
f (0) = .1.
又因为f(0) =0, 所以曲线y = f(x)在点(0, f (0))处的切线方程为y = —x 4分
(n )当x >0 时，“曲线y = f (x)在直线y = —x 的上方”等价于
“axe x -x 2 - 2x a -x 恒成立”,即 x >0时 ae x -x-1 > 0恒成立，
，一 x x 1 由于e >0,所以等价于当XA 0时，a >一丁恒成立. e
人
x 1 一. .
-x
令 g(x)=^^,x) 0,则 g(x)=F . e e
当 x> 0 时，有 g'(x)w0.
所以g(x)在区间［0,收)单调递减. ..
—
.、
.. ................. x 1
..
故
g(0) =1是g(x)在区间［0,y )上的最大值，从而对任意x>0,一1<1恒成立.
e
综 上， 实 数 a 的 取 值 范 围 为
［1,~) . ............. 13 分
(19)(共13 分)
2 2
为二 L 二i
8 2
6 % 3
e = =—.
2.2 2
（n ）直线AB 与直线OP 平彳T .证明如下:
设直线 PA:y —1 = k(x —2), PB:y —1 = —k(x —2),
设点A 的坐标为（x A , y A ），点B 的坐标为（x B ,y B ）.
-2 2
土上1 由«
8
2
1
得(4k 2 十 1)x 2 十 8k(1—2k)x+16k
2
—16k —4 =
0.
y -kx -2k 1
则2 X A 二-典当, X A t-理亨-2
4k 2 1
4k 2 1
―2
8k , 8k —2 16k
同理 X B
= -------- z ---- ,所以 X A - X B =-2 -----
B
4k 2 1 4k 2 1
由y A =kx A _2k +1 , V B = —kx B +2k + 1 ,
…
. . _8k
有V A — V B =k(X A +X B ) —4k =—T-,
4k 1 因为A 在第四象P 所以 k#0,且A 不在直线OP 上.
V A -yB 」 x A —X B 2
解：（I ）由椭圆方程
2
y- =1 过点(21)
2
,可得a =8.
的方程 一 2
一 一
8k -8k -2
2
4k 2 1
（20）（共 14 分）
又 k op =一，故 k AB =k oP .
2
所以直线AB 与直线OP 平行.
13分
解：（I ）由于数列{a n } W Q （2）,即 d =2, a 1 =1.
由已知有 |a 2| =同 +d| =|1 +2 =3 ,所以 a 2 =±3 ,
将
a 2 = ±3 代入得
a 3 的所有可能取值为
(n)先应用数学归纳法证明数列 ：
若数列{a n } WC (d),则a n 具有md ±1(m 亡Z )的形式. ①当n =1时，a 1 =0 d +1 ,因此n =1时结论成立.
②假设当n=k(k N N 5时结论成立，即存在整数
m0 ,使得a k=m o do±1成立.
当 n =k
+1 时，忖卜」=m °d o ±1 +d o| =|（m o M ）d ° ±i | ,
ak+ =(mo+1)d±1 ,或 ak +=—(m0+1)d±1.
所以当n=k+1时结论也成立.
由①②可知，若数列 {a n }WQ(d),对任意n W N * a n 具有md ±1(m W Z )的形式.
由于a 。

具有md ±1(m €Z )的形式，以及d >2 ,可得a 「不是d 的整数倍. 故取整数k=d ,则整数k 均不是数列{a n }中的项.
............... 9分
(出)由 a n1[a n ，d| 可得：a 2n 1 =a 2
n ,
2a n
d
d.
所以有 a 2
n 1 =a 2
n - 2a n d - d 2
,
-5, -1,1, 5.
............... 4分
（20）（共14 分）
2 2 2
a n[=a nz 2an^d d ,
2 2
=a i，2a i d，d .
以上各式相加可得a2n十—1 =d2n +2S n d ,
2 2 _ 9 _
即A n = j 一也n.同理B n =5 .S1
2d 2d 2d 2d
当(,bn]时，有a2+i&b；+i,
2 h2 由于d N；所以亘+lw b_l,于是
2d 2d 即A。

«B n成立.
2 2 2 2
a n 1 nd 11
b n 1 nd 1
2d 2d 2d 2d
14分
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