人教A版高中数学必修5同步 解三角形 3

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4.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角 分别为30°,60°,则塔高为______ 米.
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【解析】如图所示,
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sin 45
在△MAC中,∠AMC=45°+15°=60°, ∠MAC=180°-45°-60°=75°, 所以∠MCA=180°-∠AMC-∠MAC=45°.
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由正弦定理,得AC=AMsinAMC＝400
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【类题·通】 测量仰角(或俯角)求高度问题 (1)基本思路:构造含建筑物高度的三角形,用正、余弦 定理解答.
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(1)求BC的长. (2)若小明身高为1.70米,求这棵桃树顶端点C离地面 的高度(精确到0.01米,其中 3 ≈1.732).
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【思维·引】1.在△MAC中,三个角和AM可求,根据正 弦定理可求AC,进而可求山的高度BC; 2.根据基线AD=1 000 m,可先在△ABD中,由正弦定理 求AB,然后在Rt△ABC中求山的高度BC.
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2.视角 从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角,如图 所示,视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角 度.
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【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)俯角和仰角都是对于水平线而言的. ( ) (2)仰角与俯角所在的平面是铅垂面. ( ) (3)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β, 则α,β的关系为α+β=180°. ( )
D.560 m
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2.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°,沿倾斜 角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处,又测得山顶的 仰角为65°,求此山的高度.(精确到1 m,参考数据: sin 35°≈0.573 6, 2 ≈1.414)
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【习练·破】要航测某座山的海拔高度,如图,飞机的
航线与山顶M在同一个铅垂面内,已知飞机的飞行高度
为海拔10 000 m,速度为900 km/h,航测员先测得M山顶
的俯角为30°,经过40 s(已飞过M点)后又测得M山顶的
【思维·引】(1)要顺利求解本题,其关键是确定沿CD 测塔的仰角,其最大仰角在何处达到,该处与C点间的距 离是多少. (2)求得最大仰角处与塔底间的距离,就能在相应的直角 三角形中,求得塔高.
(2)构造三角形的方法 ①如图1所示,取经过建筑物AB底部B的基线上两点H,G, 用同样高度的两个测角仪DH和CG测量得仰角β,α,测 量两个测角仪的距离,构成△ACD.
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②如图2所示,在建筑物CD顶部的竖立物体BC,分别在 B,C两处测量俯角α,β,构成△ABC.
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2.小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物,测得 其视角为α,同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β, 则小强观测山顶的仰角为 ( ) A.α+β B.α-β C.β-α D.α
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【解析】在△ABC中,由余弦定理得
cos
∠ACB=32(2 2)2(
29)2
2.
232 2
2
因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB= 3 .
4
答案: 3
4
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【解析】(1)在△ABC中,∠CAB=45°,∠DBC=75°, 则∠ACB=75°-45°=30°,AB=4,由正弦定理得
BC 4 ， sin45 sin30
解得BC=4 2 (米).
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山的高度MN=200米,塔高为AB,CN=2 M0 0 B= 米,
3
AC=NC＝200 ＝ (米20)0.
3 33 3
所以塔高AB=200-200 ＝ 400(米).
33
答案: 4 0 0
3
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(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走 了几分钟; (2)求塔的高AB. 世纪金榜导学号
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2
3 2 ＝400
3m.
sinMCA
2
2
在Rt△ABC中,BC=ACsin ∠BAC=4030 3 =600(m).
2
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2.如图,过点D作DE∥AC交BC于E,
因为∠DAC=20°,所以∠ADE=160°, 于是∠ADB=360°-160°-65°=135°.
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类型一 测量仰角(或俯角)求高度问题
【典例】1.如图在离地面高400 m的热气球上,观测到
山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°.已知
∠BAC=60°,则山的高度BC为 ( )
A.700 m
B.640 m
C.600 m
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又∠BAD=35°-20°=15°,所以∠ABD=30°. 在△ABD中,由正弦定理,
得AB=A D s in A D B ＝ 1 0 0 0 s in 1 3 5 ＝ 1 0 0 0 2 m .
21 2 3
22 2 2
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= 1 0 0 0=0 5 000(
3 1
-13 )≈3 660(m),
M的海拔高度为10 000-3 660≈6 340(m).
答:M的海拔高度为6 340 m.
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【解析】1.选C.如图,过点M作MD⊥AB,垂足为D.
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在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400 m,
AM=MD＝400 2m.
第2课时 解三角形的实际应用举例
——高度、角度问题
1.仰角和俯角 (1)前提:在视线所在的垂直平面内. (2)仰角:视线在水平线以上时,视线 与水平线所成的角. (3)俯角:视线在水平线以下时,视线与水平线所成的角.
【思考】 为了测量某建筑物的高度通常需要构造的三角形其所 在平面与地面什么关系? 提示:构造的三角形其所在平面与地面垂直.
s in A B D s in 3 0
在Rt△ABC中,BC=ABsin 35°≈811(m). 答:此山的高度约为811 m.
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【内化·悟】 两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上,此类 测量高度问题的解题思路是什么? 提示:放在直角三角形中,根据所给的边、角的关系,求 出与所求高相关的一条边的长,然后再求高.
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答:(1)BC的长为4 2米;(2)这棵桃树顶端点C离地面的 高度为7.16米.
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类型二 测量方向角求高度问题 【典例】如图,某人在塔的正东方向上的C处,在与塔垂 直的水平面内,沿南偏西60°的方向以每小时6千米的 速度步行了1分钟以后,在点D处望见塔的底端B在东北 方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为 60°.
【解析】900 km/h=250 m/s,
AB=250×40=10 000(m),
在△ABM中,由正弦定理得 BM AB ，
sin30 sin105
BM=ABsin 30作 . MD⊥AB于点D,
sin 105
则MD=BM
sin
45°A =Bsin30sin45
10 0001 2
2 2
sin 105
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提示:(1)√.由俯角和仰角的定义可知此说法正确. (2)√.由仰角与俯角的定义可知. (3)×.画出示意图如图,由图可知α=β.
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(2)在△CBD中,∠CDB=90°,BC=4 2 ,所以DC=
4 2sin 75°,因为sin 75°=sin (45°+30°)
=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°= 则DC=2+23 ,
6 2， 4
所以CE=3.70+23 ≈3.70+3.464≈7.16(米).
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【解析】选C.如图所示,
设小强观测山顶的仰角为γ,则β-γ=α,因此 γ=β-α.
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3.如图所示为一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得 AC=3 mm,BC=2 2 mm,AB= 2 9 mm,则∠ACB=______.
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【加练·固】在社会实践中,小明观察一棵桃树.他在 点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°,往正前方走 4米后,在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.
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俯角为45°,求山顶的海拔高度.(精确到m)(可能要用
到的数据:
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2 ≈1.414,
3 ≈1.732, 6 ≈2.449)
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