(浙江专版)高中数学阶段质量检测(一)常用逻辑用语新人教A版选修2_1

阶段质量检测（一） 常用逻辑用语
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )
A ．若x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1
B ．若－1<x <1，则x 2<1
C ．若x >1，或x <－1，则x 2>1
D ．若x ≥1，或x ≤－1，则x 2≥1
解析：选D 命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”．
2．已知命题①若a >b ，则1a <1b
，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )
A ．①的逆命题为真
B ．②的逆命题为真
C ．①的逆否命题为真
D ．②的逆否命题为真
解析：选D ①的逆命题为1a <1b
则，a >b ，若a ＝－2，b ＝3，则不成立．故A 错；②的逆命题为若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x ≤0是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．
3．设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M ，或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A “x ∈M ，或x ∈P ”不能推出“x ∈M ∩P ”，反之可以．
4．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A ．原命题真，逆命题假
B ．原命题假，逆命题真
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题
解析：选A 因为原命题“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为，
“若a ，b 都小于1，则a ＋b <2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”，是假命题，反例为a ＝1.2，b ＝0.3，则a ＋b ＝1.5<2.
5．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 要区分向量平行与向量相等，相反向量等基本概念，向量平行不一定向量相等，向量相等或相反必平行．
6．下列命题中，真命题是( )
A ．命题“若|a |>b ，则a >b ”
B ．命题“若“a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题
C ．命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题
D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”
解析：选D 原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.
7．“a <0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C 方程ax 2＋1＝0至少有一个负根等价于x 2＝－1a
，故a <0，故选C. 8．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 若f (x )，g (x )均为偶函数，则h (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝f (x )＋g (x )＝h (x )，所以h (x )为偶函数；若h (x )为偶函数，则f (x )，g (x )不一定均为偶函数．可举反例说明，如f (x )＝x ，g (x )＝x 2－x ＋2，则h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2
＋2为偶函数．
二、填空题(本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每题4分，共36分)
9．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的逆否命题是________．
解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序．
答案：若b ∉B ，则a ∈A
10．在△ABC 中，“A >30°”是sin A >12的____________条件，“sin A >12
”是“A >30°”的____________条件．
解析：A >30°不一定推出sin A >12，但在△ABC 中，sin A >12
⇒30°<A <150°⇒A >30°. 答案：必要不充分 充分不必要
11．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．它的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的为________，假命题的为________．
解析：逆命题和否命题是假命题，逆否命题为真命题．
答案：逆否命题 逆命题、否命题
12．有下列命题：
①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R”的逆命题；
④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．
其中真命题是________，假命题是________．(填序号)
解析：①的逆命题为“若x >0且y >0，则x ＋y >0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；
③的逆命题为若“mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1”．
∵当m ＝0时，解集不是R ，
∴应有⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ<0， 即m >1.
∴③是假命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
答案：①④ ②③
13．已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，命题p ：a 与b 无公共点；命题q ：α∥β，则p 是q 的__________条件，q 是p 的____________条件．
解析：∵q ⇒p ，p ⇒/ q ，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件． 答案：必要不充分 充分不必要
14．命题“ax 2
－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧
a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0得－3≤a <0，∴－3≤a ≤0.
答案：[－3,0]
15．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 解析：由x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}，
得x <1或x ≥2.
∵此命题是假命题，
∴1≤x <2.
答案：[1,2)
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．
(1)能被6整除的数一定是偶数；
(2)当a －1＋|b ＋2|＝0时，a ＝1，b ＝－2；
(3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x 2
时，y ＝1，x ＝1.
解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题．
(2)若a －1＋|b ＋2|＝0，则a ＝1且b ＝－2，真命题．
(3)已知x ，y 为正整数，若y ＝x 2，则y ＝1且x ＝1，假命题．
17．(本小题满分15分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
(1)矩形的对角线相等且互相平分；
(2)正偶数不是质数．
解：(1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)． 否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)． 逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．
(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．
18．(本小题满分15分)已知命题：“所有x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题．
(1)求实数m 的取值集合B ；
(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
解：(1)命题：“所有x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2
－x －m <0成立”是真命题，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，
∴m >(x 2－x )max ，得m >2，即B ＝{m |m >2}．
(2)不等式(x －3a )(x －a －2)<0，
①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，
∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)；
②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立；
③当3a <2＋a ，即a <1时，解集A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立，
∴3a ≥2，此时a ∈23
，1. 综上①②③可得a ∈23
，＋∞. 19．(本小题满分15分)设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x
2＋2cx －b 2
＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.
证明：充分性：因为∠A ＝90°，
所以a 2＝b 2＋c 2.
于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，
所以x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0.
所以[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0.
所以该方程有两根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )， 同样另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0，即[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，
所以该方程有两根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )．
可以发现，x 1＝x 3，
所以方程有公共根．
必要性：设x 是方程的公共根，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2ax ＋b 2＝0，①x 2＋2cx －b 2＝0.②
由①＋②，得x ＝－(a ＋c )，x ＝0(舍去)．
代入①并整理，可得a 2＝b 2＋c 2
.
所以∠A ＝90°.
所以结论成立．
20．(本小题满分15分)给出两个命题：
命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，
即a >13
或a <－1. 乙命题为真时，2a 2－a >1，
即a >1或a <－12
. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
∴实数a 的取值范围为aa <－12或a >13
. (2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，13
<a ≤1， 甲假乙真时，－1≤a <－12
， ∴甲、乙中有且只有一个是真命题时，
实数a 的取值范围为a 13<a ≤1或－1≤a <－12
.。