2020—2021年北师大版初中数学九年级下册弧长及扇形的面积同步检测题及答案解析.docx

北师大版数学九年级下册
弧长及扇形的面积同步检测
一、选择题
1.在半径为6的⊙O 中，60°圆心角所对的弧长是（ ）
A ．π
B ．2π
C ．4π
D ．6π
答案：B 解析：解答： 606180180
n r l ππ´=
==2π． 故选：B ．
分析：根据弧长的计算公式 180n r l π=计算即可． 2.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，
∠B=135°，则AC
̂的长（ ） A ．2π B ．π C ．2π
D ．3
π
答案：B
解析：解答：连接OA 、OC ，
∵∠B=135°，
∴∠D=180°-135°=45°，
∴∠AOC=90°，
则 AC 的长=
902180
π´=π． 故选B ．
分析：连接OA 、OC ，然后根据圆周角定理求得∠AOC 的度数，最后根据弧长公式求解．
3.如图，已知□ABCD 的对角线BD=4cm ，将▱ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为（ ）
A ．4π cm
B ．3π cm
C ．2π cm
D ．π cm
答案：C
解析：解答： 将▱ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，点D 所转过的路径为以BD 为直径的半圆，
∴其长度为
2422
r ππ´==2πcm ． 故选：C ．
分析：将平行四边形旋转180°后，点D 所转过的路径是以线段BD 为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可．
4.如图1，水平地面上有一面积为30π平方厘米的灰色扇形OAB ，其中OA 的长度为6厘米，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB 垂直地面为止，如图2所示，
则O点移动（）厘米．
A．20 B．24 C．10πD．30π
答案：C
解析：解答：点O移动的距离为扇形的弧长，
根据面积公式求出弧长，
即30π=1
2
×l×6，
解得l=10π．
故选C．
分析：点O移动的距离为扇形的弧长，根据弧长公式计算即可．5.如图，点A、B、C都在⊙O上，⊙O的半径为2，∠ACB=30°，则AB
̂的长是（）
A．2πB．πC．2
3πD．1
3
π
答案：C
解析：解答：∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°，
∵OA=2，
∴»60221801803n r AB πππ´=== 故选：C ．
分析： 根据圆周角定理可得出∠AOB=60°，再根据弧长公式的计算即可．
6、如图，等边三角形ABC 中，将边AC 逐渐变成以BA 为半径的»AB ，其他两边的长度不变，则∠ABC 的度数大小由60变为（ ）
A.180
π B. 120
π C. 90
π D. 60
π
答案：A
解析：解答： 设∠ABC 的度数大小由60变为n ，
则AC=180n AB π´,由AC=AB ，
解得，n=180π
， 故选：A ．
分析： 设∠ABC 的度数为n ，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可．
7.如图，△ABC 是等边三角形，AC=6，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧DE ，若∠1=∠2，则弧DE 的长为（ ）
A ．1π
B ．1.5π
C ．2π
D ．3π
答案：C 解析：解答： ∵△ABC 是等边三角形，AC=6，
∴AB=AC=6，∠CAB=60°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD ，
∴∠CAB=∠DAE=60°，
∴弧DE 的长为6062180ππ´
=， 故选C ．
分析：先由等边三角形的性质得出AB=AC=6，∠CAB=60°．再由∠1=∠2得到∠CAB=∠DAE=60°，然后根据弧长公式解答即可．
8.在一个直径为6cm 的圆中，小明画了一个圆心角为120°的扇形，则这个扇形的面积为（ ）
A ．πcm 2
B ．2πcm 2
C ．3πcm 2
D ．6πcm 2
答案：C
解析：解答：由题意得，n=120°，r=3，
故S =221203
360360n r ππ´= =3πcm 2
． 故选C ．
分析： 根据扇形公式S =2360n r
π ，代入数据运算即可得出答案．
9.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以A 为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是（ ）
A ．π
B ．3π
C ．2√3π
D ．4π
答案：D
解析：解答：过点A 向BC 作垂线，垂足为E ，
∵AD=CE=4，BC=6，所以BE=2，
∴∠EAB=30°，∠DAB=120°，
根据勾股定理可知AE 2=16-4=12，
∴扇形面积为
12012360
π´=4π． 故选：D ．
分析： 扇形面积公式：S =2360n r π，梯形的计算问题一般要转换成平行四边形和三角形的问题来解决．
10.如图，四边形OCBA 是菱形，点A 、B 在以点O 为圆心的圆弧DE 上，若AO=3，∠COE=∠DOA ，则扇形ODE 的面积为（ ）
A ．23
π B ．2π C ．2.5 π D ．3π
答案：D 解析：解答： 连接OB ．
∵OA=OB=OC=AB=BC ，
∴∠AOB=∠COB=60°，
∴∠AOB+∠BOC=120°．
又∵∠COE=∠DOA ，
∴∠DOE=120°．
∴扇形ODE 的面积为
1209360
´=3π． 故选D ．
分析：连接OB ．根据等边三角形的性质可以求得∠AOC=120°，再结合∠COE=∠DOA ，即可求得扇形所在的圆心角的度数，从而根据扇形的面积公式进行求解．
11.已知一个半径为6的扇形面积是4π，则这个扇形的圆心角是（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．45°
D ．60°
答案：B 解析：解答：∵r=6，S 扇形=4π，
∴2
360n S r π=扇形＝4π， 解得n=40；
∴这个扇形的圆心角为40°．
故选B
分析： 根据扇形的面积根据进行计算即可．
12.如图，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为90°，连接AB ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．π-2
B ．π-4
C ．4π-2
D ．4π-4
答案：A
解析：解答： S 阴影部分=S 扇形OAB -S △OAB
=904
13602
π´-×2×2 =π-2
故选：A ．
分析： 由∠AOB 为90°，得到△OAB 为等腰直角三角形，于是
OA=OB，而S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB．然后根据扇形和直角三角形的面积公式计算即可．
13.若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（）A．3 B．9 C．23D．32
答案：D
解析：解答：扇形的面积=
2
60
360
rπ=3π．
解得：r=32．
故选D．
分析：已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．
14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2√3，则阴影部分图形的面积为（）
A．4πB．2πC．πD．2
3
π
答案：D
解析：解答：连接OD．
∵CD ⊥AB ，
∴CE=DE=12CD= √3 （垂径定理）， 故S △OCE =S △ODE ，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°（圆周角定理），
∴OC=2，
故60423603OBD S ππ´=
=扇形 ，即阴影部分的面积为23
π． 故选：D ．
分析： 连接OD ，则根据垂径定理可得出CE=DE ，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD 的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
15.如图，在边长为2的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．2
B ．2π
C ．12
D ．1
解析：解答： 如图所示，
S 阴影=S △AOB =14S 正方形=14
×2×2=1．
故选D ．
分析：作正方形的对角线，由图可知阴影部分的面积等于正方形面积的14，由此可得出结论．
二、填空题
16.一个扇形的半径为3cm ，面积为π cm 2，则此扇形的圆心角为 度
答案：40
解析：解答：设扇形的圆心角是n °，
根据题意可知：S=
9360n ´ =π， 解得n=40°，
故答案为40．
分析：设扇形的圆心角是n °，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n 的方程，解方程即可求解．
17.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为
解析：解答：∵l=180n R π ， ∴R=1802120ππ´=3． 分析：根据弧长公式代入求解即可．
18、如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为1，则»AB 的长为
答案：3π
解析：解答：∵ABCDEF 为正六边形，
∴∠AOB=360°÷ 6 =60°，
»AB 的长为601803
ππ´=． 故答案为：3
π．
分析： 求出圆心角∠AOB 的度数，再利用弧长公式解答即可．
19.如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且它们的半径都是2，图中三个阴影部分的面积之和是
解析：解答： S 阴影=1804360
´=2π． 故答案是：2π． 分析：由于三角形的内角和为180度，所以三个阴影扇形的圆心角的和为180°，由于它们的半径都为2，因此可根据扇形的面积公式直接求出三个扇形的面积和．
20.如图，⊙O 的半径为4，PC 切⊙O 于点C ，交直径AB 延长线于点P ，若CP 长为4，则阴影部分的面积为
答案：8-2π．
解析：解答： 连接CO ，
∵PC 切⊙O 于点C ，
∴OC ⊥PC ，
∵⊙O 的半径为4，CP 长为4，
∴CO=CP ，
∴∠COP=∠CPO=45°，
∴阴影部分的面积为：S△COP-S扇形COB=1
2×4×4-
2
454
360
´=8-2π．
故答案为：8-2π．
分析：利用切线的性质结合等腰直角三角形的性质得出∠COP=∠CPO=45°，进而利用阴影部分的面积为：S△COP-S扇形COB求出即可．
三、计算题
21.如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？
答案：155π
解析：解答：狗能活动的范围面积=3
4π×142+1
2
π×42=147π+8π
=155π．
答：在狗窝外面狗能活动的范围面积是155π．
分析：根据题干可知，狗能活动的范围面积是以半径为14的圆
面积的3
4和以半径为4的圆的面积的1
2
，据此求解．
22.一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2km，弯道所对圆心角
为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20s ，弯道有一块限速警示牌，限速为40km/h ，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？（π取3）
答案：超速
解析：解答： l=1809n r ππ=km ． ∴汽车的速度： 2093600
π
¸ =60（km/h ）， ∵60km/h ＞40km/h ，
∴这辆汽车经过弯道时超速．
分析：先根据弧长公式计算出弯道的长度，再根据所用时间得出汽车的速度，再判断这辆汽车经过弯道时有没有超速．
23.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠CDB=30°，CD=23
，求图中阴影部分的面积．
答案：23
π
解析：解答： ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，
∴CE= DE ．
∵∠CDB=30°，
∴∠COE=60°，
在Rt △OEC 中，OC=60°sin OE =2， ∵CE=DE ，
∠COE=∠DBE=60°
∴Rt △COE ≌Rt △DBE ，
∴S 阴影=S 扇形OBC =16π×OC 2=16π×4=23 分析：根据AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，由垂径定理得CE=DE ，再根据三角函数的定义即可得出OC ，可证明Rt △COE ≌Rt △DBE ，即可得出S 阴影=S 扇形OBC ．
24.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，∠BAD=120°，AB=AD ．
（1）求证：四边形ABCD 是等腰梯形；
（2）已知AC=6，求阴影部分的面积．
答案：(1)略；(2)4π-33
解析：解答： （1）证明：∵∠BAD=120°，AB=AD ， ∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴弧AB 和弧AD 的度数都等于60°，
又∵BC 是直径，
∴弧CD 的度数也是60°，
∴AB=CD 且∠CAD=∠ACB=30°，
∴BC ∥AD ，
∴四边形ABCD 是等腰梯形；
（2）解：∵BC 是直径，
∴∠BAC=90°
∵∠ACB=30°，AC=6，
∴BC=30°cos AC =4√3 ，故R=2√3 ， ∵弧AB 和弧AD 的度数都等于60°，
∴∠BOD=120°，
连接OA 交BD 于点E ，则OA ⊥BD ，
在Rt △BOE 中：OE=OBsin30°= √3 ，BE=OB •cos30°=3，BD=2BE=6，
故S 阴影=S 扇形BOD -S △BOD =2
1202313602 创-()×6×3=4π-33． 分析：（1）根据题意得出AB=CD 且∠CAD=∠ACB=30°，进而得出BC ∥AD ，即可得出答案；（2）利用S
阴影=S 扇形BOD -S △BOD ，
进而求出即可．
25.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与
对角线AC 交于点E ．
（1）求弧BE 所对的圆心角的度数．
答案：解答：连接OE ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠EAB=45°，
∴∠EOB=2∠EAB=90°；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
答案：由（1）∠EOB=90°，
且AB=4，则OA=2，
∴S 扇形AOE =904360 ´ =π，S △AOE =12
OA 2=2， ∴S 弓形=S 扇形AOE -S △AOE =π-2，
又∵S △ACD =1
2AD •CD=12
×4×4=8，
∴S阴影=8-（π-2）=10-π．
解析：分析：（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓形的面积可求得阴影部分的面积．。