《解直角三角形的应用》word优秀获奖教案(省优)

按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。

2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。

从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。

本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。

解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角问题 一．教学三维目标 (一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． (二)、能力目标
逐步培养分析问题、解决问题的能力． 二、教学重点、难点和疑点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 三、教学过程 （一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系：
tanA=的邻边的对边
A A ∠∠
（二）新授概念 1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例1：如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度 AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′， 求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米)
解：在Rt △ABC 中sinB=AB
AC
斜边
的邻边A A ∠=
cos 斜边
的对边A A ∠=
sin
∴AB=B AC sin =2843.01200
=4221(米)
答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．
例2：2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。

当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。

如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。

将问题放到直角三角形FOQ 中解决。

例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=
斜边的对边A ∠ 来解决的两个实际问题即已知α∠和斜边， 求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．
（三）．巩固练习
1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为600
，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m ）
2．如图6-17，某海岛上的观察所A 发现海上某船只B 并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A 的标高(当水位为0m 时的高度)为43.74m ，当时水位为+2.63m ，求观察所A 到船只B 的水平距离BC(精确到1m)
四、布置作业
[教学反思]
学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。

本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。

教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。

由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。

学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。

通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。

一元二次方程根的判别式
教学目标
【知识与技能】
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证. 【过程与方法】
经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 【情感态度】
积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲. 【教学重点】
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证. 【教学难点】
从具体题目来推出一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）的b 2
-4ac 的情况与根的情况的关系. 教学过程
一、情景导入，初步认知
同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我.
【教学说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态.
二、思考探究，获取新知
1.问题：什么是求根公式？它有什么作用？
2.观察求根公式2b x a
±=－ 回答下列问题：
（1）当b 2
-4ac>0时，一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）有几个根？ （2）当b 2
-4ac=0时，一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）有几个根？ （3）当b 2
-4ac<0时，一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）有几个根？
3.综上所知，一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）的根的情况是由b 2
-4ac 来判断的. 【归纳结论】我们把b 2
-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.
即：Δ=b 2
-4ac
⑴当Δ=b 2
-4ac>0时，一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等实数根即
12b x a =
－，22b x a
=－. ⑵当Δ=b 2
-4ac=0时，一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根. ⑶当Δ=b 2
-4ac<0时，一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）没有实数根. 4.不解方程判定下列方程的根的情况. (1)3x 2
+4x-3=0 (2)4x 2=12x-9 (3)7y=5(y 2
+1)
解：(1)因为Δ=b 2
-4ac=42
-4×3×（-3）
=52>0
所以，原方程有两个不相等的实数根. （2）将原方程化为一般形式，得 4x 2
-12x+9=0
因为Δ=b 2
-4ac=(-12)2-4×4×9
=0
所以，原方程有两个相等的实数根. （3）将原方程化为一般形式，得 5y 2
-7y+5=0
因为Δ=b 2
-4ac=(-7)2
-4×5×5
=-51<0
所以，原方程没有实数根.
【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣.
三、运用新知，深化理解
1.已知方程x 2
+px+q=0有两个相等的实根，则p 与q 的关系是． 【答案】 p 2-4q=0
2.若方程x 2+px+q=0的两个根是-2和3，则p ，q 的值分别为. 【答案】 -1，-6
3.判断下列方程是否有解：
（1）5x2-2=6x（2）3x2+2x+1=0
解析：演算或口算出b2－4ac，从而判断是否有根
解：（1）有（2）没有
4.不解方程，判定方程根的情况.
（1）16x2+8x=-3（2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
解：（1）化为16x2+8x+3=0
这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0
所以，方程没有实数根．
（2）a=9，b=6，c=1，
b2-4ac=36-36=0，
∴方程有两个相等的实数根．
（3）a=2，b=-9，c=8
b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0
∴方程有两个不相等的实根．
（4）a=1，b=-7，c=-18
b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0
∴方程有两个不相等的实根．
5.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0
∴a<-2
∵ax+3>0即ax>-3,∴x<-3/a
∴所求不等式的解集为x<-3/a
6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=-3时，求方程的根．
分析：（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式Δ=b2－4ac的值的符号即可判断：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根.
（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可.
解：（1）∵当m=3时，Δ=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，
∴原方程无实数根.
（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，
∵（x-1）（x+3）=0，∴x-1=0，x+3=0.
∴x1=1，x2=-3.
7.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
(1)求q关于p的关系式；
(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
分析：（1）根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入已知方程即可求得q关于p的关系式；
（2）由关于x的方程x2+px+q=0的根的判别式的符号来证明抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
解：（1）∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，
∴4+2p+q+1=0，
即q=-2p-5；
（2）证明：令x2+px+q=0．则Δ=p2-4q=p2-4（-2p-5）=（p+4）2+4＞0，即Δ＞0，
所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根．即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
【教学说明】使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题2.3”中第1、2、3题.。