条件平差原理

条件平差原理
§9.1 条件平差原理
在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1
n L 作为未知数，列出v 个未知数的条件式，
在min =PV V T 情况下，⽤条件极值的⽅法求出⼀组v 值，进⽽求出平差值。

9.1.1基础⽅程和它的解
设某平差问题，有n 个带有相互独⽴的正态随机误差的观测值，其相应的权阵为，它是对⾓阵，改正数为，平差值为。

当有r 个多余观测时，则平差值应满⾜r 个平差值条件⽅程为：
=++++=++++=++++0?0?0?221122112211οο
ο
r L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （9-1）
式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件⽅程的系数；
0a 、0b 、…0r ——为条件⽅程的常项数
以i
i
i
v L L
+=?（i =1、2、…n ）代⼊(9-1)得条件⽅程（9-2）
式中a w 、b w 、……r w 为条件⽅程的闭合差，或称为条件⽅程的不符值，即
（9-3）
令
=n n n n r r r r b b b a a a A
2
1
21
21
++++=++++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a
=++++=++++=++++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a
=n n L L L L 2
1
1
=n n L L L L
211
1
n L n n P 1n V 1
n L 1?
n L
则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式为
0?0
=+A L A （9-4） 0=+W AV （9-5）
上改正数条件⽅程式中V 的解不是唯⼀的解，根据最⼩⼆乘原理，在V 的⽆穷多组解中，取PV V T = 最⼩的⼀组解是唯⼀的，V 的这⼀组解，可⽤拉格朗⽇乘数法解出。

为此，设，K 称为联系数向量，它的唯数与条件⽅程个数相等，按拉格朗⽇乘数法解条件极值问题时，要组成新的函数：
)(2W AV K PV V T T +-=Φ
将Φ对V 求⼀阶导数，并令其为零得：
A K P V T T =
K
A PV T
=
K A V V T 1-= （9-6）上式称为改正数⽅程，其纯量形式为
)
(1r i b i a i i
i k r k b k a p v +++=
（i =1、2、…n ）（9-7）
代 K A P V T 1-=⼊0=+W AV 得
01=+-W K A AP T
=+W NK （9-8）
上式称为联系数法⽅程，简称法⽅程。

式中N 法⽅程系数距阵，为
=P rr P br P
ar P br P bb P ab P ar P ab p aa N
（9-9）
因N A AP A P A A AP N T T T T T T T ====---111)()(
故，N 是r 阶的对称⽅阵。

=r b a r w
w w W 1
=n n v v v V 2
1
1
=οο
οr b a A o r 1r n T
n n n r r
r A P A N ??-??=1()r b a r
T k k k K =?1A
K P V V
T
T
22-=?Φ
=n n n p p p P
0000021
法⽅程的纯量形式为
=++++=+??
++??+??=+???
+++000r r b a b r b a a r
b a w k p rr k p br k p ar w k p br k p bb k p ab w k p ar k p ab k p aa （9-10）
从法⽅程解出联系数K 后，将K 值代⼊改正数⽅程，求出改正数V 值，再求平差值
V L L
+=?，这样就完成了按条件平差求平差值的⼯作。

9.1.2 精度评定
当各被观测量的平差值求出后，下⼀步就是对观测精度及平差值或平差值函数的精度进⾏评定，下⾯来讨论这个问题。

1.单位权中误差条件平差中单位权中误差
t
n PV
V
T
-±=0?σ
（9-11）
或
（9-12）
从中误差计算公式可知，为了计算0?σ，关键是计算PV V T ()Pvv 。

下⾯将讨论
PV V T
()Pvv 的计算⽅法。

（1）、由i V 直接计算
[]2222211n n v P v P v P Pvv +++= （9-13）（2）、由联系数K 及常数项W 计算因 0=+W AV
K A P V T 1-=
故()K A PP V K A P P V PV V T T T T T 11--==
K A V T
T =
()K W K AV T
T -== （9-14）（3）、直接在⾼斯——杜⼒特表格中解算将（9-4）的矩阵⽅程写为纯量形式则有
r r b b a a T k W k W k W PV V ++++=- 0
令 0=w W
[]
r
Pvv ±=0?σ
则 r r b b a a w T k W k W k W W PV V ++++=-
[]
[]()[]
()()[]111111-
-?-?-
-
-
-
=-r W r p rr r W W p bb W W p aa W W PV V r r b b a a w T [])()(0w w r W w ?+=?= （9-15）
（2）平差值函数的权倒数
设有平差值函数为()n
L L L f ?,,?,?21 =? （9-16）
它的权函数式为：
n
n L d f L d f L d f 2211+++=
（9-17）
令()n T f f f f ,,21= ()T
n
L d L d L d L d ?,?,??21 = 则
L
d f d T ?=? （9-18）
（9-19）
这就是⾼斯约化表中的计算公式，其规律与[]r W w ?计算规律完全相同。

条件平差的数学模型为
1
,1
,,=-?r n n r W A
(3-1-1) n
n n
n n
n P
Q D ,12
0,2
0,-==σσ
(3-1-2)
条件⽅程个数等于多余观测数r ，n 为观测值总个数，t 为必要观测数，存在关系：
r = n – t
(3-1-3)
n
n
L d L L d L L d L d ?)?(?)?(?)?(
2211??++??+??=???? ??
=
r P ff ()()()??
-??
-
-?----=1111111r P rf r P rr r P rf P bf P bb P bf P af P aa P af P ff P ??
P 1
由于r < n ，从（3-1-1）式不能计算出?的唯⼀解，但可按最⼩⼆乘原理(V T
PV = min)，
求出?的最或然值V ，从⽽进⼀步计算观测量L ~
的最或然值L
（⼜称平差值）。

V L L
+=? (3-1-4)
将（3-1-1）式中的?改写成其估值（最或然值）V ，条件⽅程变为
0=-W AV
(3-1-5)
条件平差就是在满⾜r 个条件⽅程条件下，求解满⾜最⼩⼆乘法（V T PV = min ）的V 值，在数学中就是求函数的条件极值问题。

0 条件平差原理
设在某个测量作业中，有n 个观测值
1
,n L
，均含有相互独⽴的偶然误差，相应的权阵为
n
n P
,，改正数为1,n V
，平差值为
1
,?n L
，表⽰为
=n n L L L L 211,, ??
=n n v v v V 2
11,,
=n n n p p p P
2
1
,,
=n n L L L L ????21
1,
其中
n
,为对⾓阵；
1,?n L =1,n L +1,n V ，即
+++=??n n n v L v L v L L L L
2
21121
（3-1-6）
在这n 个观测值中，有t 个必要观测数，多余观测数为r 。

可以列出r 个平差值线性条件⽅程
=++++=++++=++++000022110
22110
2211r L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n
(3-1-7)
式中，a i 、b i 、…、r i （I = 1,2,……n ）为各平差值条件⽅程式中的系数，a 0、b 0、…、r 0为各平差值条件⽅程式中的常数项。

将（3-1-6）式代⼊(3-1-7)式，得相应的改正数条件⽅程式
=-+++=-+++=-+++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a （3-1-8）
式中w a 、w b 、…、w r 称为改正数条件⽅程的闭合差（或不符值），即
++++-=++++-=++++-=)()()(022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n r n n b n n a (3-1-9)
=n n n n r r r r b b b a a a A
2
1
2121
,,
=0001
,0r b a A r , =
r b
a r w w w W 1, (3-1-7)、（3-1-8）和（3-1-9）式可分别表达成矩阵形式如下0?0=+A L A
(3-1-10) 0=-W AV
(3-1-11)
)(0A AL W +-=
(3-1-12)
按求函数极值的拉格朗⽇乘数法，引⼊乘系数T
r b
a r k k k K ]
[1
,
=（⼜称为联系
数向量），构成函数：
)(2W AV K PV V T
T --=Φ
(3-1-13)
为引⼊最⼩⼆乘法，将Φ对V 求⼀阶导数，并令其为零
22)
(2
)
(=-=??-??=ΦA K
P V
V
AV K
V
PV V
d T
T
T
T
得
A K P V T
T
=
上式两端转置，得
K A V P T
T
=
由于P 是主对⾓线阵，则 P = P T ，得
K A PV T
=
将上式两边左乘权逆阵P – 1，得
K A P
V T
1
-=
(3-1-14)
此式称为改正数⽅程，其纯量形式为
)
(1r i b i a i i
i k r k b k a p v +++=
，（I = 1，2，…，n ） (3-1-15)
将（3-1-14）式代⼊（3-1-11）式，得
01
=--W K A AP
T
(3-1-16)
此式称为联系数法⽅程（简称法⽅程），其纯量形式为
=-+++=-
++??+??=-???
+++000r r b a b r b a a r b a w k p rr k p br k p ar w k p br k p bb k p ab w k p ar k p ab k p
aa (3-1-17)
取法⽅程的系数阵 AP -1A T = N ，由上式易知N 阵关于主对⾓线对称，得法⽅程表达式
0=-W NK
(3-1-18)
法⽅程数阵N 的秩
r A AP
R N R T
==-)()(1
即，N 是⼀个r 阶的满秩⽅阵，且可逆。

将（3-1-18）式移项，得
W NK =
上式两边左乘法⽅程系数阵N 的逆阵N – 1，得联系数K 的唯⼀解：
W N K 1
-=
(3-1-19)
将（3-1-19）式代⼊（3-1-14）或（3-1-15）式，可计算出V ，再将V 代⼊（3-1-6）,即可计算出所求的观测值的最或然值V L L
+=?。

通过观测值的平差值L
，可以进⼀步计算⼀些未知量（如待定点的⾼程、纵横坐标以及边的长度、某⼀⽅向的⽅位⾓等）的最或然值。

由上述推导可看出，K 、V 及L
都是由（3-1-11）和（3-1-14）式解算出的，因此我们把（3-1-11）和(3-1-14)式合称为条件平差的基础⽅程。

⼆、精度评定
在第⼀个问题中已经阐述了计算未知量最或然值的原理和公式，下⾯来论述测量平差的第⼆个任务，即评定测量成果的精度。

精度评定包括单位权⽅差2
0?σ和单位权中误差0
σ的计算、平差值函数()?(L f F =)的协因数Q FF 及其中误差F σ
的计算等。

在第⼆章中已经介绍过，当已知单位权⽅差20
的⽅差为
F F
p 1
20
2
=σ
σ。

在实际⼯作中，由于观测值的个数n 是有限值，因此，只能求
出2
0σ的估值2
0?σ和2F
σ
的估值2
F σ。

则有 F F p 1
2
02
=σσ
(3-1-20)
估值形式为
F F p 1
2
02
=σσ
(3-1-21)
根据协因数的定义，有了单位权⽅差2
0?σ和某平差值函数的验后协因数阵Q FF ，也可按下式计算该平差值向量的协⽅差阵。

FF FF Q D 20?σ= (3-1-22)
例如，已知观测值的平差值L
的协因数阵L L Q ?
，则L
下⾯，我们分别讨论单位权中误差0?
σ和平差值函数协因数阵Q FF 的计算⽅法。

0 计算单位权⽅差和中误差的估值
根据第⼆章中对中误差的定义，单位权中误差的计算公式为
r
p ][?0??±=σ
在⼀般情况下，观测值的真误差△是不知道的，也就不可能利⽤上式计算单位权中误差。

但在条件平差中，可以通过观测值的改正数V 来计算单位权⽅差和中误差：
r
PV V T
=
20
σ
(3-1-23)
r
PV V T
±=0?σ
(3-1-24)
式中r 为多余观测值个数，r = n – t 。

在（3-1-24）中，须先算出V T PV 的值，才能计算单位权中误差。

V T PV 可⽤下列⼏种⽅法计算：
0 直接利⽤定义式（3-1-23）计算。

纯量形式为
n n T
v p v p v p pvv PV V +++== 2211][ (3-1-25)
（2）由（3-1-14）和（3-1-11）式导出
K W K AV K A V
K A P
P V PV V T
T T T
T T
T
====-)()(1
即
K W PV V T
(3-1-26)
其纯量形式为
r r b b a a T
k w k w k w PV V +++=
(3-1-27)
2、协因数阵
条件平差的基本向量L 、W 、K 、V 、L ?都可以表达成随机向量L 的函数 L L = 0A AL W --= 0
1
1
01
1
)(A N
AL N
A AL N
W N
K ------=+-==
01
1
1
1
01
1
1
1
)(A N
A P
AL N
A P
A N
AL N
A P
K A P
1
1
1
01
1
1
1)()(?A N
A P L A N A P
E A N
A P
AL N A P L V L L
T T
T T ----------=--+=+=将向量L 、K 、V 、L 组成列向量，并以Z 表⽰之
----+????
----=
=----------01
101
10
10
1
1111
0?A N
A P A N A P A N A L A N A P E A N A P A N A
E
L
V K W L
Z T
T
式中等号右端第⼆项是与观测值⽆关的常数项阵，按协因数传播律，得Z 的协因数阵为
=L L V
L K
L W
L L L
L V VV VK VW VL L K KV KK KW KL
L W WV WK WW WL L L LV LK LW LL ZZ
Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
=
+-+----------------------------1
1
1
1
1
1
111
11
111111111
1
N
AQA N
A P
N
EQA
AQA N A P
AQA N A P
AQA N A P
AQE N A P N
AQA
N AQA
N AQE N N
AQA
AQA AQE N
EQA EQA EQE T
T
T
T
T
T
T
T T T
T
T
T
T
T T
T
T
T
T
T
T
T
T
--+-+-+-+--------------------------------------T T T T T
T
T T T T T T
T
T
T
A N A P E Q A N A P E AP
N AQA N
A P AP N
EQA AP N AQA N A P AQE N A P AP N AQA N
A P
AP
N AQA N AQE N AP
N
AQA N AP N AQA AQE AP
N AQA AP
N
EQA EQE
AP
N EQA )()(11111
1
1
1
1
1
1
11111111111111
111
111
11
1
1
---------=----------------------AQ N A P
Q AQ N A P Q AP
N
A P
N A P
A
P
AQ N A P AP
N
N
E AQ N AP E N AQ AP
N
QA Q AP
N
QA N
QA QA Q T
T T
T
T
T T
T T T
1
1
111
1
1
1
1
1
1
11
111
11
11
00
0 整理后得
L L V
L K
L W
L L L
L V VV VK VW VL L K KV KK KW KL L W WV WK WW WL L L LV LK LW LL Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
---------=-----------AQ N QA Q AQ N QA Q AQ
N QA
N QA
QA AQ N QA AQ
N
N E AQ N AQ E N AQ AQ N
QA
Q AQ N
QA
N
QA QA Q
T T T
T
T
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
00
(3-1-29)
由上式可见，平差值L
与闭合差W 、联系数K 、改正数V 是不相关的统计量，⼜由于它们都是服从正态分布的向量，所以L
与W 、K 、V 也是相互独⽴的向量。

3．平差值函数的协因数
在条件平差中，平差计算后，⾸先得到的是各个观测量的平差值。

例如，⽔准⽹中的⾼差观测值的平差值，测⾓⽹中的观测⾓度的平差值，导线⽹中的⾓度观测值和各导线边长观测值的平差值等。

⽽我们进⾏测量的⽬的，往往是要得到待定⽔准点的⾼程值、未知点的坐标值、三⾓⽹的边长值及⽅位⾓值等，并且评定其精度。

这些值都是关于观测值平差值的函数。

设有平差值函数
)?,,?,?(?21n L L L f F =
(3-1-30)
对上式全微分得
n
L L n L L L L L d L f L d L f L d L f F
d 2
21
1
===
++?
+ =
(3-1-31)
取全微分式的系数阵为
()T
L L
n L L L L T
n
L f L f
L f f f f f
?
=====??2?121?,,?,?,,, (3-1-32)由协因数传播律得
f
Q f
Q L L T
FF ??= (3-1-33)
根据（3-1-29）式，知
AQ
N
QA
Q Q T
L L 1
--=
代⼊（3-1-33）式得
f
AQ N
QA
Q f
f Q f
Q T
T
L L T
FF )(1
--==
即
AQf
N
QA f
Qf f
Q T T
T
FF 1
--= (3-1-34)
此式即为平差值函数式（3-1-30）的协因数表达式。

将（3-1-34）式代⼊（3-1-22）式，可求得该平差值函数的⽅差
FF FF Q D 20?σ=
(3-1-35)
三、条件平差的计算步骤
综合以上所述，按条件平差的计算步骤可归结为以下⼏步：
0 根据实际问题，确定出总观测值的个数n 、必要观测值的个数t 及多余观
测个数r = n – t ，进⼀步列出最或是值条件⽅程(3-1-10)或改正数条件⽅程（3-1-11）；
（2）根据（3-1-16）式，组成法⽅程式；
（3）依据（3-1-19）式计算出联系数K ；
（4）由（3-1-14）式计算出观测值改正数V ；并依据（3-1-6）式计算出观测值的平差
值L
；（5）根据（3-1-23）和（3-1-24）计算单位权⽅差2
0?σ和单位权中误差0?σ；
（6）列出平差值函数关系式（3-1-30），并对其全微分，求出其线性函数的系数阵f ，利⽤（3-1-34）式计算出平差值函数的协因数Q FF ，代⼊（3-1-22）计算出平差值函数的协⽅差D FF 。

为了检查平差计算的正确性，可以将平差值L
代⼊平差值条件⽅程式（3-1-10），看是否满⾜⽅程关系。

例[3-1] 如图3-1所⽰，A 和P 点为等级三⾓点，PA ⽅向的⽅位⾓已知，在测站P 上等精度测得的各⽅向的夹⾓观测值如下：T
PA
= 48°24′
36″
L 1 = 57°32′16″ L 2 = 73°03′08″ L 3 = 126°51′
28″
L 4 = 104°33′20″
试⽤条件平差法，计算各观测值的平差值、PC ⽅向的⽅位⾓T PC ，及T PC 的精度
pc
T σ。

解：本题中n = 4，t = 3，则条件⽅程个数为 r = n – t =1 。

因为是等精度观测，取观测值权阵
=
=11
1
143
2
1,p p p p P n n
由0?
0=+A L A ，列出平差值条件⽅程的纯量形式
03604
321=-+++
L L L L
其矩阵形式为
[]0
360
11114321
=-
L L L
L
由)(0A AL W +-=，计算闭合差
21)36002331048215126803073612357]1111([)(0''-=-
''''''''''''-=+-=
A AL W
由0=-W AV ，写出改正数条件⽅程式
[]021********=''+
v v v v
其纯量形式为
0214321=''++++v v v v
根据01
=--W K A AP
T
，写出法⽅程
[4][ k a ] – [ - 12″] = 0
纯量形式为
4 k a + 12″= 0
由W N K 1
-=，计算联系数
k a =- 0.25× 12 = - 3″
其纯量形式为
k a = - 3″
由K A P
V T
1-=，计算各改正数
[][]''-
''-''-''-
=-?
==-33333111111111K A P V T
由
1
,?n L
=
1
,n L
+
1
,n V
，计算观测值平差值
''''''''''''=++++=? 713310452151265030733323574433221143 21
v L v L v L v L L L L L
由(3-1-24)式，计算单位权中误差
[]36333
311113333=
----
----=PV V T
61
36?0'
'±=±
=±=r
PV V T
σ
PC 边的⽅位⾓
=++=21??L L T T PA PC 48?24′36″+57?32′13″+ 73?03′05″= 178?59′54″其矩阵式为
634248]00
11
[4321'
''+=
L L L L T PC
其中系数阵为 []T
f 0011= 计算PC 边的协因数 AQf N
QA f Qf f Q T
T
T
T PC 1
--=。