高一数学空间中距离的求法同步练习 人教实验B版

高一数学空间中距离的求法同步练习 人教实验B 版
（答题时间：60分钟）
一、选择题
1．在ABC ∆中，9,15,120AB AC BAC ==∠=，ABC ∆所在平面外一点P 到三顶点
,,A B C 的距离都是14，则P 到平面ABC 的距离是（ ）
A 、6
B 、7
C 、9
D 、13
2．在四面体P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面,,PAB PBC PCA 的距离分别是2,3,6，则M 到P 的距离是 （ ）
A 、7
B 、8
C 、9
D 、10
3、三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=1，AB =4，BC =3，∠ABC =90°，设平面A 1BC 1与平面ABC 的交线为l ，则A 1C 1与l 的距离为（）
A 、10
B 、11
C 、2.6
D 、2.4
**4、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A ．4
3
3 B ．33 C ．43 D ．123
5、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）
A.
323π B.83
π
C. D.3
*6、长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一球面上，且AB =2，AD AA 1=1，则顶点A 、
B 间的球面距离是（）
C.
2
D.
4
二、填空题
7、棱长为a 的正四面体的对棱间的距离为_____
**8、如图，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为_________。

9、已知,,,A B C D 在同一个球面上，,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若
6,AB =AC =8AD =，则,B C 两点间的球面距离是
三、解答题
10、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =2
π
，AB =31AD =a ，∠ADC =arccos 552，PA ⊥
面ABCD 且PA =a 。

（1）求异面直线AD 与PC 间的距离；
（2）在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF 的距离为
3
6。

A
B
C
D
P
**11、如图，已知三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F ⊥CC 1于F 。

（1）求点A 到平面B 1BCC 1的距离；
（2）当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等。

*12、如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ，AD =b ，PA ⊥平面ABCD ，PA =2c ，Q 是PA 的中点。

求：（1）Q 到BD 的距离； （2）P 到平面BQD 的距离。

Q
P D
C A
【试题答案】 1、B 2、A
3、解析：交线l 过B 与AC 平行，作CD ⊥l 于D ，连C 1D ，则C 1D 为A 1C 1与l 的距离，而
CD 等于AC 上的高，即CD =
512，在Rt △C 1CD 中易求得C 1D =5
13
=2.6 答案：C 4、C 5、D 6、C 7、a 2
2
8、解析：以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分别为
AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =
2
2
a ，∴PQ ⊥AB ， 同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的长为P 、Q 两点间的最短距离，在Rt △APQ 中，
PQ =2
2)2()23(
2222=-=-a a AP AQ a 答案：
2
2a
９、
43
π 10、解：（1）∵BC ∥AD ，BC ⊂面PBC ，∴AD ∥面PBC
从而AD 与PC 间的距离就是直线AD 与平面PBC 间的距离。

过A 作AE ⊥PB ，又AE ⊥BC
∴AE ⊥平面PBC ，AE 为所求异面直线AD 与PC 间的距离。

在等腰直角三角形PAB 中，PA =AB =a ∴AE =
2
2a （2）作CM ∥AB ，由已知cos ∠ADC =55
2
∴tan ∠ADC =
21，即CM =2
1DM ∴ABCM 为正方形，AC =2a ，PC =3a
过A 作AH ⊥PC ，在Rt △PAC 中，得AH =
3
6 在AD 上找一点F ，使PC ⊥CF
取MD 中点F ，△ACM 、△FCM 均为等腰直角三角形 ∴∠ACM +∠FCM =45°+45°=90° ∴FC ⊥AC ，即FC ⊥PC
∴在线段AD 上存在满足条件的点F 。

11、解：（1）
作A 1H⊥EF 于H ，则A 1H⊥面B 1BCC 1，∴A 1H 为A 1到面B 1BCC 1的距离，在△A 1EF 中，A 1E ＝A 1F ＝2，EF ＝2，∴△A 1EF 为等腰Rt△且EF 为斜边，∴A 1H 为斜边上中线，可得A 1H ＝1/2EF ＝1
（2）设BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，则DD 1必过点H ，易证ADD 1A 1为平行四边形。

∵B 1C 1⊥D 1D ，B 1C 1⊥A 1H ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1
得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ， 若A 1M =A 1H ，又∠A 1AM =∠A 1D 1H ，∠AMA 1=∠A 1HD 1=90°
∴△AMA 1≌△A 1HD 1，∴AA 1=A 1D 1=3，即当AA 1=3时满足条件
12、解：（1）在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ，
∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ，AD =b ，
∴AE =22b a ab
+
在Rt △QAE 中，QA =
2
1
PA =c
∴QE =2
22
22
b a b a
c ++
∴Q 到BD
（2）解法一：∵平面BQD 经过线段PA 的中点，
∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足
∵BD ⊥AE ，BD ⊥QE ，∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离。

在Rt △AQE 中，∵AQ =c ，AE =22b
a ab
+
∴AH =22222)(b a c b a abc
++
∴P 到平面BQD 的距离为
2
22
2
2
)(b
a c
b a ab
c ++
解法二：设点A 到平面QBD 的距离为h ，由
V A —BQD =V Q —ABD ，得31S △BQD ·h =3
1
S △ABD ·AQ
h =22222BQD ABD b
a c )
b a (ab
c S AQ S ++=
=⋅∆∆ 。