数学归纳法

数学归纳法第一课时
教学目标
1．进一步培养学生观察、归纳、发现的能力．
2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．
3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．
教学重点与难点
重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

难点：（1）学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

教学过程
复习引入：
类比推理:由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理
类比推理的一般步骤：
⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶检验猜想(通过证明确认猜想的正确性,或举出反例否定猜想)!!!
归纳推理:这种由某类事物的部分对象具有某些特征，
推出该类事物也具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，
通常称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推是由部分到整体、由个别到一般的理．
归纳推理又分为完全归纳法(枚举法)和
完全归纳法一个数学问题（需要探索新的证明方法）
“对于数列｛an｝，已知a1＝1，an+1＝（n＝1，2，…），通过对n = 1，2, 3, 4前4项的归纳，我们已经猜想出其通项公式为an＝．”
逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．
多米诺骨牌游戏视频
要保证这个游戏成功，必须满足什么条件？
第一，必须推倒第一块，
第二,任意相邻的两块骨牌,假如前面一块倒下，要保证它倒下时会撞倒下一块.
：
（1） （归纳奠基） 证明当n 取第一个值 n0 时命题成立。

( 2 ) （归纳递推 ） 假设n = k ( k ≥ n0 ，k ∈ N* ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数
都成立。

上述证明方法叫做数学归纳法
用框图表示为：
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
若n = k ( k ≥ 1 ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。

验证n=1时命题成立。

例：用数学归纳法证明
6)12)(1(3212222++=
++++n n n n
证明：1、当n =1时,左=21
=1，右=16)12)(11(1=++ ∴n =1时，等式成立
2、假设n =k 时，等式成立，即 6)12)(1(3212222++=
++++k k k k
那么，当n =k +1时 左=12+22+…+k 2+(k +1)2=2)1(6)12)(1(++++k k k k 6)32)(2)(1(6)1(6)12)(1(2+++=++++=k k k k k k k
=右边
∴n =k +1时，原不等式成立
由1、2知当n ?N*时，原不等式都成立
证明中的几个注意问题
1） 第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步
是一个简单的验证，可有可无。

例如：用数学归纳法证明1+3+5+ …+（2n-1)= 21n -()n N ∈*
子 进行证明时采用了如下的方法，
假设当n=k 时,成立.即:
2135(23)(21)1k k k +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=- 当n=k+1时,
135(21)(21)k k +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-++221(21)(1)1k k k =-++=+-
即:n=k+1时成立
综合（1）和（2）等式对一切自然数n 均成立
2135(23)(21)1
k n n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=-≠上述证明是错误的,事实上命题
本身是错误的
当n=1时,左边=1,右边=0
左边右边
(2)在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定.
例:欲用数学归纳法证明32n n >,试问n 的第一个取值
应是多少?
答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=10.
(3)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k 命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.
例:如下证明对吗？
例1用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n －1)=n 2.
证明：①当n=1时，左边＝1，右边=1等式成立。

②假设当n=k 时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k －1)=k 2
当 n=k+1时，代入1+3+5+…+(2n －1)=n 2.
得:
2
)1(2
)1](1)1(21[]
1)1(2[)12(...........531+=+-++=-++-++++k k k k k 即n=k+1时，命题成立。

根据①②问可知，对n ∈N ＊，等式成立。

指出：第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。

证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.
(2)假设当n=k 时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k －1)=k 2
那么1+3+5+…+(2k －1)+［2(k+1)－1］=k 2+［2(k+1)－1］=k 2+2k+1=(k+1)2.
∴n=k+1时等式也成立.
由(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N*都成立
(4)在证明n=k+1命题成立用到n=k 命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清右端应增加的项.
例:用数学归纳法证:(n+1)•(n+2)•…•(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)
[][][][][][]
()
1(1)(1)(1)(1)(1)n k k k n k k k k k k k =⋯+=+⋯
⋯++-+++++当时,左边=(k+1)(k+2)(k+3)当时,
左边=(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+3 时,从“k 到k+1”左端需增乘的代数式为：
).12(21)]1()1][()1[(+=++++++k k k k k k
2:用数学归纳法证明:
第一步应验证左式是________, 右式是_______; 从k 到k+1时,左表应添加的项为
_______________. =--+⋯+-+-n n 211214131211,212111n n n +⋯++++211-1
11+221
121+-
+k k
1(1)(2)3
n n n ++(5)在用n=k 命题成立来证明n=k+1命题成立时,要进行适当的方法选取,譬如分析,添拆项,作差,因式分解等;要时刻注意所待证的式子,明确等式左端变形目标.
例2.用数学归纳法证明:*11113(2,).12224≥n n N n n n ++⋯+>∈++ 证:(1)当n =2时, 左边= 不等式成立.
(2)假设当n =k (k ≥2)时不等式成立,即有:
则当n =k +1时,我们有:
即当n =k +1时,不等式也成立.
由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.
练习、用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n ＋1) ＝
证明: [][]11,122,123 2.32),1122334...(1)(1)(2)3
1,122334...(1)(1)(2)
1(1)(2)(1)(2)3
1(1)(1)(2)3
1(1)(1)1)(1)23
1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k n k ==⨯==
⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯+++=+++⨯+⨯+⨯++++++=+++++=+++=+++++∴=+当n 时左边右边命题成立假设n=k 时命题成立即
当n=k 时时命题正*n ∈确由(1)和(2)知,当n 命题正确
小结:
1、我们学习了数学归纳法，要认同数学归纳法的科学性
2、它的两个步骤一个结论,第一步基础，第二步是关键，
3、用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
1）明确首先取值n 0并验证命题真假（必不可少）；
2）“假设n =k 时命题正确”并写出命题形式；
3）分析“n =k +1时”命题是什么，并找出与“n =k ”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；
4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等；
5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉
作业：
11111413,2122342424+=+=>++11113,12224k k k ++⋯+>++11111(1)1(1)222122111111()12221221
k k k k k k k k k k k ++⋯+++++++++=++⋯+++-+++++13
1113113().24212224(21)(22)24
k k k k >+-=+>++++*,2≥n N n ∈
1、课内作业:课本 P95 练习1.2题
2. 课外作业：平面内有n (n 2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，
问交点的个数 为多少?并证明.
皮亚诺公理
任何一个满足下列条件的非空集合叫做正整数集合,记作
(1)1
(2)若 则有且仅有一个正整数称为k 的后继数,记作k+1,这就是说,如果k=h,那么k+1=h+1;
(3)若 则k+1 1,这就是说,任何一个正整数的后继数都不是1;
(4)若 且k+1=h+1,则k=h,这就是说,对于每一个正整数,只能是某一个正整数的后继或者根本不是后继数;
(5)设M 是正整数集的一个子集,且它具有下列性质;
①1 M
②若k M,则k+1 M
那么M 是全体正整数的集合,即M=
这五条公理对正整数集合进行了刻画和约定,由它们可以推出正整数的各种性质.
皮亚诺公理中的第五条也叫做归纳公理.
)
(n f ≥。