高考数学复习微难点11 空间几何体的外接球和内切球问题

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若直三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有棱长均为 2 3，则此三棱柱的外接球的表 面积为( C )
A. 12π
B. 16π
C. 28π
D. 36π
【解析】 由直三棱柱的底面边长为 2 3，得底面外接圆的半径 r＝12·2 π3＝2，又由 sin3
直三棱柱的侧棱长为 2 3，得 h＝2 3，所以外接球的半径 R＝ 接球的表面积为 S＝4πR2＝28π.
EC＝BE, 所以四边形 ADCE，四边形 ABED 均为平行四边形，所以 AE＝DC，AB＝DE.
又 DC＝1BC，所以 AE＝1BC＝AB，所以 AE＝DE＝BE＝EC，所以 E 为四边形 AB球心，由球的性质可知 OE⊥平面 ABCD，作 OF⊥PA，
垂足为 F，所以四边形 AEOF 为矩形，OF＝AE＝2.设 AF＝x，OP＝OA＝R，则 4＋
16π 3
4π C. 3
32 3π D. 27
【解析】 因为 AB＝AC＝1，BC＝ 3，由余弦定理可求得∠BAC＝23π，由正弦定理
可求得△ABC 的外接圆的半径 r＝2sBinC23π＝1.因为 PA＝PB＝PC＝2，所以 P 在底面上的
射影为△ABC 的外心 D，且 PD＝ 3.设三棱锥外接球的半径为 R，则 R2＝12＋( 3－R)2，
(例 2(1))
(2) (2021·福州二模)已知 P，A，B，C，D 是球 O 的球面上的五个点，四边形 ABCD
为梯形，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝PA＝4，PA⊥平面 ABCD，那么球 O 的体积
为( A )
64 2π A. 3
16 2π B. 3
C. 16 2π
D. 16π
【解析】 如图，取 BC 的中点 E，连接 AE，DE，BD.因为 AD∥BC 且 AD＝1BC＝ 2
三角形，且∠ABC＝π2，所以 BC＝ AC2－ AB2＝2 3.又 PA⊥平面 ABC，且△PAC 是直
角三角形，所以球 O 的直径为 PC＝2R＝ PA2＋AB2＋BC2＝ 20＝2 5，所以 R＝ 5，
故球 O 的表面积为 S＝4πR2＝20π.
(例 1(3))
一般锥体的外接球
(1) 已知正四棱锥 P－ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，PA＝AB＝2，
主题三 几何与代数 第七章 立体几何
微难点11 空间几何体的外接球和内切球问题
能还原成长方体的锥体的外接球
(1) 在三棱锥 A－BCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，若△ABC，△ACD，
236 △ADB 的面积分别为 2 ， 2 ， 2 ，则三棱锥 A－BCD 的外接球的体积为( A )
方法：第一步，确定球心 O 的位置，O1 是△ABC 的外心，则 OO1⊥平面 ABC； 第二步，算出小圆 O1 的半径 AO1＝r，OO1＝12AA1＝12h(AA1＝h 也是圆柱的高)； 第三步，利用勾股定理，求得 OA2＝O1A2＋O1O2⇒R2＝r2＋h22⇒R＝ r2＋h22，解出 R.
3. “垂面模型”(一条直线垂直于一个平面) [例]如图，PA⊥平面 ABC，求外接球的半径．
(例 1(2))
(3) 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥
P－ABC 为鳖臑，PA⊥平面 ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥 P－ABC 的四个顶点都
在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为( C )
A. 8π
B. 12π
C. 20π
D. 24π
【解析】 如图，由于三棱锥 P－ABC 的四个面都为直角三角形，则△ABC 是直角
(2) 如图，在四面体 ABCD 中，若 AB＝CD＝5，AC＝BD＝ 34，AD＝BC＝ 41， 则 四面体 ABCD 外接球的表面积为( A )
A. 50π C. 150π
(例 1(2)) B. 100π D. 200π
【解析】 如图，将四面体 ABCD“补形”为一个长方体，从而可得到一个长、宽、 高分别为 a，b，c 的长方体，并且 a2＋b2＝25，b2＋c2＝34，a2＋c2＝41.设球的半径为 R， 则(2R)2＝a2＋b2＋c2＝50，所以 4R2＝50，所以外接球的表面积为 S＝4R2π＝50π.
A. 6π C. 3 6π
B. 2 6π D. 4 6π
ab＝ 2， 【解析】 设 AB，AC，AD 的长度分别为 a，b，c，由题意得bc＝ 3，
ca＝ 6，
a＝ 2， 解得b＝1，
c＝ 3.
因为三条侧棱两两垂直，所以以 a，b，c 为边长的长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球
的直径长，所以 R＝12 2＋1＋3＝ 26，故所求外接球的体积为43π· 263＝ 6π.
D. 16π
【解析】 如图，由已知可得，底面四边形 BCDE 为等腰梯形，设底面外接圆的圆
心为 G，连接 BG，则 2BG＝sin230°＝4，所以 BG＝2.又 AB＝2，设四棱锥外接球的球心
为 O，则 OA＝ 5，即四棱锥外接球的半径为 5，所以此球的表面积为 4π×( 5)2＝20π.
(变式(2))
方法：第一步，将△ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD，连接 PD，则 PD 必过球心 O；
第二步，O1 为△ABC 的外心，所以 OO1⊥平面 ABC，算出小圆 O1 的半径 O1D＝r； 第三步，利用勾股定理求三棱锥外接球的半径： ①(2R)2＝PA2＋(2r)2⇔2R＝ PA2＋2r2；②R2＝r2＋OO21⇔R＝ r2＋OO21.
空间几何体的内切球问题(以三棱锥 P－ABC 为例) 第一步，先求出四个表面的面积和整个锥体的体积； 第二步，设内切球的半径为 r，建立等式：VP － ABC＝VO － ABC＋VO － PAB＋VO － PAC ＋VO － PBC⇒VP － ABC＝13S△ABC·r＋13S△PAB·r＋13S△PAC·r＋13S△PBC·r＝13(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋ S△PBC)·r； 第三步，解出 r＝S△ABC＋S△3PVAPB＋－SA△BPCAC＋S△PBC.
r2＋h22＝ 7，所以外
空间几何体的内切球 在三棱锥 A－BCD 中，若 AB＝CD＝6，其余各棱长均为 5，则此三棱锥内
63π 切球的表面积为_____1_6______.
(例 4)
【解析】 由题意可知三棱锥的四个面全等，且每一个面的面积均为12×6×4＝12. 设三棱锥内切球的半径为 r，则三棱锥的体积 V＝13S△ABC·r·4＝16r.如图，取 CD 的中点 O， 连接 AO，BO，则 CD⊥平面 AOB，所以 AO＝BO＝4，S△AOB＝12×6× 7＝3 7，所以 VA－BCD＝2VC－AOB＝2×13×3 7×3＝6 7，所以 16r＝6 7，解得 r＝387，所以内切球的 表面积为 S＝4πr2＝6136π.
解得 R＝233，所以其表面积为 S＝4πR2＝4π×43＝163π.
(2) (2021·邯郸二模)已知四棱锥 A－BCDE 的各顶点都在同一球面上，AB⊥底面
BCDE，底面 BCDE 为梯形，∠BCD＝60°，且 AB＝CB＝BE＝ED＝2，那么此球的表面
积为( C )
A. 25π
B. 24π
C. 20π
那么球 O 的表面积为( C )
A. 2π
B. 4π
C. 8π
D. 16π
【解析】 如图，连接 AC，BD，交于点 O，连接 PO，则 PO⊥平面 ABCD，且 OA
＝OB＝OC＝OD＝12AC＝12 22＋22＝ 2，OP＝ PB2－OB2＝ 4－2＝ 2，所以 O 是球
心，其半径为 r＝ 2，所以球 O 的表面积为 S＝4πr2＝8π.
棱柱的外接球 (2021·九江一模)设直三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有顶点都在一个球面上，且球 的表面积是 40π，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是___2__2______. 【解析】 设 AB＝AC＝AA1＝a，球的半径为 R，则△BAC 外接圆的半径为12·sin132a0° ＝a.因为 4πR2＝40π，所以 R2＝10，所以 R2＝a22＋a2＝10，解得 a＝2 2，即此直三棱 柱的高是 2 2.
空间几何体的外接球问题 1. “墙角模型”(三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径)
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2，即 2R＝ a2＋b2＋c2， 求出 R.
2. “汉堡模型”(直棱柱的外接球、圆柱的外接球) [例]如图，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上、下底面可以是任意三 角形)
(4－x)2＝4＋x2，解得 x＝2, 所以 R＝ 4＋4＝2 2，所以球 O 的体积为 V＝4πR3＝64 2π.
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(例 2(2))
(1) (2021·长沙一模)在三棱锥 P－ABC 中，若 PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝
1，BC＝ 3，则该三棱锥的外接球的表面积为( B )
A. 8π
B.