四川省达州市普通高中2020届第一次模拟考试理科数学

100 人参加了脑力考试，其中男性入围 24 人，女性未入围 80 人．
(1)根据条件，填写下列 22 列联表，并判断能不能有 90% 的把握认为脑力考试后是否
入围与性别有关；
入围 未入围 合计
男
女
合计
(2)用分层抽样的方法，以性别为分层依据在入围人员中随机抽取 11 人，然后从这 11
人中随机确定 3 人作为该人才孵化园小组牵头人．设小组牵头人中女性人数为 X ，求 X 的
E
两点，
O
是坐标原点．经过点
(1, 0)
且方
向向量是 OD OE 的直线 l2 ，交 y 轴于点 G ，交轨迹 C 于点 H（不与 G 重合），点 F 的坐 标为 (1,0) ．求△FGH 的周长．
21．(12 分) 已知函数 f(x) x ln x 1 ． (1)求 f(x) 的单调区间； (2)求证：当 0 a 2 时， 2x3 (1 a2)x a ln x a2 3对一切 x (1, ) 恒成立．
l : y mx 3上．
(1)求圆 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2)将直线 l 向左平移 n(n 0) 个单位后，得到直线 l ，若圆 C 上只有一个点到直线 l 的 距离为1 ，求 n ．
23.( 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知函数 f(x) | x a | | x 4 | (a 0) ．
A．14
B． 70
C． 14
D． 70
5．曲线
x2 4

y2 3
1与 x2

y2 3
1的离心率分别为 e1, e2 ，下列结论正确的是
A．
e e2 1

e e1 2
B． ln e1 ln e2
C． e1 e2 1
D． 3e1 3e2
6．中国的姓氏有深厚的历史积淀和丰富文化内涵，成文于北宋初年的《百家姓》记载了
分布列和数学期望．
附： K2
n(ad bc)2
，n abcd．
(a c)(b d)(a b)(c d)
P(K2 ≥ k0 ) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A {x | x2 ≤4}， B (3,1) ，则集合 A B
A. (3,2]
B. [2,2]
C. [2,1]
平面 BB1C1C 所成锐二面角的余弦．
B
B1
D
20．(12 分)
A
A1
设点 A ， B 的坐标分别为 ( 2,0) ， B( 2,0) ．直线 AM ， AM 相交于点 M ，且它们
的斜率之积是

1 2
．
(1)求点 M 的轨迹 C 的方程；
(2)直线
l1
:
y

1 2
x

b(b

0)
与
C
相交于
D
，
当时中国的姓氏，其中前 24 名的依次是：钱、赵、孙、李、周、吴、郑、王、冯、陈、
褚、卫、蒋、沈、韩、杨、朱、秦、尤、许、何、吕、施、张．某机构研究结果显示，
我国 2018 年前 25 大姓氏依次是：李、王、张、刘、陈、杨、赵、黄、周、吴、徐、
孙、胡、朱、高、林、何、郭、马、罗、梁、宋、郑、谢、韩．从《百家姓》前 24
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必
考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17．( 12 分)
已知数列{an} 满足 an 2an1 (n N*) ， a1 1 ．
(1)求数列{an} 的通项公式；
姓氏中随机抽取一个，这个姓氏为 2018 年前 25 姓氏的概率是
A．
13 24
B．
1 2
C．
11 24
D．
5 12
理科数学第 1 页,共 4 页
7．已知命题 p : 若随机变量 X～B(10, 0.6),则 E(X) 6 ；命题 q : 若随机变量 Y～N(10, 4) ,
则 P(Y ≤12) 0.5 ．则下列结论正确的是
实数 a
A.
e2 2 e2
B. e2 2 e
C.
2e2 4 e2 ln 2 4
D.
2e2 4 2e e2 ln 2
理科数学第 2 页,共 4 页
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．函数 f(x) (3x 1) ln x 的零点个数是
D．
4

4 3
2
11．已知函数 f(x) 是定义域和值域都是[0,1] ，a1 (0,1) ，an1 f(an ) ，an1 an (n N*) ，则 f(x)
的图象可能是
y
y
y
y
1
1
1
1
O
1x
O
1x
O
A
B
1x O C
1x D
12．已知函数 f(x) ae2 ln x (a 0) ，点集{(s, f(t)) | s [2,e2], t [2,e2]}构成正方形区域， x
．
14．若
tan


1 2
，则
tan(

4
)

．
15．曲线 y x3 的一条切线 l 经过点 (1,1) ，则切线 l 的方程是
．
16．已知斜率为
k(k

0)
的直线
l
交曲线
y

x2 4
(x
≥ 0)
于点
A
，交直线
y

1 于点
B
，若
l
经过 F(0,1) ， 9 | FA | 4 | FB | ，则 k
(2)若 bn

1 an
n(n N*) ，求数列{bn} 前 n 项和 Sn
．
18．( 12 分)
中国已进入了新时代社会主义时期，祖国的前进和强盛，必须依靠人才．某市顺应时
代需求，建立了人才孵化园．要进入人才孵化园，不仅要接受对空间感知、照相式记忆考
核，还要参加高等学校名校权威的脑力考试，脑力考试超过 120 分才能入围．现有男女各
A． p q
B． p (q)
C． (p) q
D． (p) (q)
8．在 △ABC
中，
sin
B

3 5
，
cos
C 2

25 5
，
AC

3
，则
AB

A. 4
B. 3
C. 5
D. 5
9．将函数
y

sin(2x

6
)
的图象向左平移
4
后，得到函数
f(x)
的图象，则
A．
f(x)
的图象关于直线
(1)当 a 1时，解不等式： f(x) x ； (2)若 f(x)≥ 4 1 恒成立，求实数 a 的取值范围．
a
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x

6
对称
B．
f(x

12
)
是奇函数
C． f(x) 在区间[ , ]上的最大值是1 2
D．
f(x)
的图象关于点
(
3
,
0)
对称
10．已知三棱锥
P

ABC
的四个顶点都在表面积为16
的球上．
ABC

4
，
AC

2
2，
则三棱锥 P ABC 体积的最大值为
A．
8 3
B．
4
3 3
C． 4 32
四川省达州市普通高中 2020 届第一次模拟考试
理科数学
注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷无效.理科数学第 3 页,共4 页19．(12 分)
已知，如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 平面 A1B1C1 ， D 是线段 A1B1 上一点，
AB 2 3 ， BC 2 ， AC 4 ． (1)求证： BC AD ；
C
C1
(2)若 AA1 4 ， A1D DB1 ，求平面 AC1D 与
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做
的第一题计分．
22.( 10 分)选修 4-4 参数方程与极坐标
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
x y

34ttm1,．(t
为为参数
)
．以坐标原点
O
为
极点，以 x 轴为极轴建立极坐标系，圆 C : 2 2 cos 4 sin 4的圆心 C 在直线
D. [2,1)
2．若
z

3 1
i i
，则
|
z
1 |
A. 2
B. 2
C. 1 i
D. 1 i
3．已知向量 a (2,1) ， b (1,2) ，则 a 2b =
A． (3,3)
B． (4,1)
C． (4, 3)
D． (3, 2)
4． (2x 1 )8 展开式中， x2 系数为 2x