关于函数单调性的试讲稿

关于函数单调性的试讲稿
试讲人：熊洪林
【教学课题】1.3.1单调性与最大（小）值（1）
一：【教学目标】
知识与技能目标
1.通过对已学的函数（特别是二次函数）图像的观察分析，逐步理解函数单调性及几何意义
2.能用自然语言与符号语言描述增（减）函数
过程与方法目标
通过函数单调性的研究，让学生经历从直观到抽象，从特殊到一般，由自然语言到符号语言的过程，体验数学概念的形成过程，提升学生数学思维能力
情感态度与价值观目标
函数是描述事物运动变化规律的数学模型，如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律。

所以，函数图像有什么特征等就非常重要。

重点：能用定义法确定函数的单调区间和判断函数在某区间上是否为增（减）函数
难点：能用自然语言与符号语言描述增（减）函数
【教学过程】
一、创境设问
1.创设情景
函数是描述事物运动变化规律的数学模型，如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律。

所以，研究函数的性质，如函数在什么时候递增或递减，有没有最大或最小值，函数图像有什么特征等就非常重要。

2.呈现目标
1.通过对已学的函数（特别是二次函数）图像的观察分析，逐步理解函数单调性及几何意义
2.能用自然语言与符号语言描述增（减）函数
3.能用图像法和定义法确定函数的单调区间和判断函数在某区间上是否为增（减）函数
4.通过函数单调性的研究，经历从直观到抽象，从特殊到一般，由自然语言到符号语言的过程，体验数学概念的形成过程，提升数学思维能力
3.问题展示
观察图1.3-1，的各个函数图像，它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？
【1图：函数图像过原点，图像是上升的，图像关于原点对称；2图：函数有最大值，图像上升下降有起伏；3图：函数图像关于y轴对称】
展示《学与导》上的问题生成单
①观察函数()f x x =和2()f x x =的图像，分别用自然语言和符号语言如何描述函数图像的上升与下降？
自然语言：2
()f x x =的图像在y 轴左侧是下降的，即在区间(,0]-∞上，随着的增大，相应的函数值()f x 反而减小
符号语言：2()f x x =在区间(,0]-∞上，任取两个12,x x ，得到211()f x x =，222()f x x =，当12x x <时，有12()()f x f x >】
②增函数、减函数和单调区间是如何定义的？
【①设函数()f x 定义域为I ，如果对于定义域I 内某区间D 上任意两个自变量12,x x ， 当12x x <时，都有12()()f x f x <，称()f x 在区间D 上是增函数。

当12x x <时，都有12()()f x f x >，称()f x 在区间D 上是减函数。

②函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，称函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 称为函数的单调区间】
③理解增函数、减函数和单调区间要注意什么？
1.函数的单调性反映的是函数在定义域内某区间上的局部变化趋势，在某一点不考虑单调性，若函数在定义域内有多个单调性相同的区间，要注意正确表达；
2.用定义法判断函数的单调性时，要注意在同一区间上取任意两个自变量12,x x ；
3.函数是增函数或减函数要注意完整表述；
4.常数函数如1()y x R =∈不是单调函数，解析式1()x y R =∈不是函数解析式】 ④判断函数在定义域内某区间上是增函数或减函数有些什么方法？
【1.图像法：从左向右看，增函数图像时是上升的，减函数图像是下降的；
2.定义法：设值—作差变形定号—作结论】
三、归纳拓展
1.归纳知识
①设函数()f x 定义域为I ，如果对于定义域I 内某区间D 上任意两个自变量12,x x ， 当12x x <时，都有12()()f x f x <，称()f x 在区间D 上是增函数。

当12x x <时，都有12()()f x f x >，称()f x 在区间D 上是减函数。

②函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，称函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 称为函数的单调区间
2.收获展示
①可以用图像和定义判断函数在某区间上是增函数或减函数，用定义法判断函数增减性的步骤：设值—作差变形定号—作结论，关键是变形的各种方式。

②增函数1212()[()()]0x x f x f x ⇔-->1212
()()0f x f x x x -⇔>-； 减函数1212()[()()]0x x f x f x ⇔--<1212
()()0f x f x x x -⇔<- 3.知识应用
例1.分析：
①根据图像说出函数的单调区间，前提是从左向右看图像是上升或下降的；
②当区间端点有定义时单调区间可用开区间也可用闭区间，当区间端点没有定义时，单调区间只能用开区间；
③说函数是增函数或减函数时，注意完整的表述
例2.分析：
①用定义法判断或证明函数在某区间上为增函数或减函数的步骤：设值—作差变形定号—作结论。

②设值方式可以：设12,V V 是(0,)+∞上任意两个实数，且12V V <；也可以：设120V V <<； ③作差后变形要根据不同的表达式采用通分（分式），提公因式（乘积或高次），有理化（根式），配方（二次），讨论（含参数）等手段，以能直接定出差的符号为最后形式。

提升拓展：
1.已知函数()f x 的定义域为[2,2]-，且()f x 在区间[2,2]-上是增函数，(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围。

2.求证：函数1()f x x x
=+
在(0,1)上为减函数 4.课后作业。