2020-2021学年湖北省恩施市咸丰县第一中学高三数学理模拟试题含解析

2020-2021学年湖北省恩施市咸丰县第一中学高三数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数，，则下列结论中正确的是（）
A．函数的最小正周期为
B．函数的最大值为1
C．将函数的图象向右平移单位后得的图象
D．将函数的图象向左平移单位后得的图象
参考答案：
C
略
2. 已知集合，，则A∪B=（）
A. {1}
B. {－1,0,1,2}
C. {0,1}
D. (－2,2)
参考答案：
B
【分析】
先求解集合再求并集即可.
【详解】,.
故.
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与绝对值不等式的求解.属于基础题型.
3. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅造的一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取为3，其体积为12.6（立方升），则三视图中x的为
（）A．3.4 B．4.0 C．3.8 D．3.6
参考答案：
C
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图得到商鞅铜方升由一圆柱和一个长方体组合而成，结合体积公式进行计算即可．【解答】解：由三视图知，该商鞅铜方升由一圆柱和一个长方体组合而成，
由题意得3×x×1+π=12.6，
得x=3.8，
故选：C
4. 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,
且g(3)=0.则不等式的解集是
A．（－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)
C．(－∞,- 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪
(0, 3)
参考答案：
5. 已知向量，.若，则实数的值为
A． B． C． D．参考答案：
D
6. 若函数为奇函数，则的值为（）
A． 2 B． 1 C． -
1 D． 0
参考答案：
B
7. 已知a，b，c均为单位向量，a与b的夹角为60°，则(c＋a)·(c－2b)的最大值为
A. B. C.2 D.3
参考答案：
B 8. 如右图，该程序运行后输出的结果为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
9. 设复数z满足，则|z|=（）
A．5 B．C．2 D．
参考答案：
B
【考点】A8：复数求模．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由复数模的计算公式得答案．
【解答】解：由，得z+1=z﹣2﹣3i?z+6i，即3i?z=﹣3+6i，
∴=，
∴|z|=．
故选：B．
10. 已知某几何体的三视图如右上图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）
A. B. C. D.
参考答案： C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ．
参考答案：
0.02
12. 已知函数f （x ）=sin （2ax+
）的最小正周期为4π，则正实数
a=
．
参考答案：
分析：
根据三角函数的周期性可得 =4π，由此解方程解得a 的值．
解答：
解：∵函数f （x ）=sin （2ax+
）的最小正周期为4π，∴
=4π，解得 a=，
故答案为 ．
点评： 本题主要考查三角函数的周期性和求法，属于中档题． 13. 已知且，则___________．
参考答案：
略
14. 已知函数时取得极大值2，则__________．
参考答案：
，又由题意知，，
.
15. 已知等比数列的首项为，公比为，其前项和为，若对恒成
立，则
的最小值为
参考答案：
略
16. 如图5，
是圆的弦，是的垂直平分线，切线与的延长线相交于．若
，
，则圆的半径
．
参考答案：
略
17. 曲线在点处的切线方程为
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. ，求证：
参考答案：
解：左端变形
，
∴只需证此式即可。

…4分
…10分
注：柯西不等式：、，则
推论：其中、
其中、、
略
19. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围.
参考答案：
解：（1）不等式可化为.
当时，，解得，即；
当时，，解得，即.
综上所述，不等式解集为.
（2）由不等式可得.
∵，
∴，即.
解得或.
∴实数的取值范围是.
20. 在四棱锥中，平面平面，平面平面.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若底面为矩形，，为的中点，，求直线与平面
所成角的正弦值.
参考答案：
（Ⅰ）证法1：在平面内过点作两条直线，，
使得，.
因为，所以，为两条相交直线.
因为平面平面，平面平面，平面，，所以
平面.
所以.
同理可证.
又因为平面，平面，，
所以平面.
证法2：在平面内过点作，在平面内过点作.
因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.
同理可证平面.
而过点作平面的垂线有且仅有一条，
所以与重合.所以平面.
所以，直线为平面与平面的交线.
所以，直线与直线重合.所以平面.（Ⅱ）如图，分别以、、所在方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，，，，，.
由为的中点，得；
由，得.
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，即.
取，则，.
所以.
所以.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
21. 已知抛物线C1的方程为x2=2y，其焦点为F，AB为过焦点F的抛物线C1的弦，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P.
（1）求的值；
（2）如果圆C2的方程为x2+y2=8，且点P在圆C2内部，设直线AB与C2相交于C，D两点，求
|AB|·|CD|的最小值.
参考答案：
（Ⅰ）设，因为，所以设AB的方程为，代入抛物线方程得，所以为方程的解，从而，…3分
又因为，，因此，即，所以．…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，联立C1在点A，B处的切线方程分别为，，得
到交点．…9分
由点P在圆内得，又因为，，其中d为O到直线AB的距离．…11分
所以. 又的方程为，所以
，令，由得．又由，所以，从而．
所以，当m=2时，．…15分
22. （本小题满分14分）已知函数.
（I）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；
（II）若函数的对称中心为，求的所有的和．
参考答案：
（I）由题得：…………….3分
…………….5分令
可得：递增区间为…….8分（II）令
可得：………….10分可取………………….12分所有满足条件的的和为：
…………….14分。