重庆理工大学概率论试卷及答案5

概率与数理统计复习资料
一、单选
1.设随机事件A 与B 互不相容,且()0,()0,P A P B >>则〔 〕 A.()1()P A P B =-〕 B.()()()P AB P A P B =⋅ C.()1P A B =
D.()1P AB =
2.设A ,B 为随机事件,()0P A >,(|)1P A B =,则必有〔 〕 A.()()P A B P A = B.A B ⊂ C.()()P A P B =
D.()()P AB P A =
3.将两封信随机地投入四个邮筒中,则未向前面两个邮筒投信的概率为〔 〕
A.2224
B.1
224
C C C.242!
A D.24!!
4.某人连续向一目标射击,每次命中目标的概率为3
4
,他连续射击直到命中为止,则射击次数为3的概率是〔 〕
A.33()4
B.231()44⨯
C. 213()44
⨯ D.22413()44C 5.已知随机变量X 的概率密度为()X f x ,令2Y X =-,则Y 的概率密度()Y f y 为〔 〕
A.2(2)x f y -
B. 2(
)2x y f - C. 1()22x y f -- D.1()22
x y
f - 6.如果函数,;
()0,x a x b f x x a x b
≤≤⎧=⎨<>⎩或是某连续随机变量X 的概率密度,则区间
[,]a b 可以是〔 〕
A.(0,1)
B.(0,2)
C. D.(1,2)
7.下列各函数中是随机变量分布函数的为〔 〕
A.F x x x 12
1
1(),=+-∞<<+∞B.20
0()01x F x x x x
≤⎧⎪
=⎨>⎪+⎩ C.3(),x F x e x -=-∞<<+∞
D.F x arctgx x 4341
2(),=+
-∞<<+∞π
8.设二维随机向量〔X,Y 〕的联合分布列为〔 〕
则(0)P X == A.
112B. 212C. 412D. 512
9.已知随机变量X 和Y 相互独立,且它们分别在区间[1,3]-和[2,4]上服从均匀分布,则()E XY =〔 〕 A.3B.6C.10D.12
10.设()x Φ为标准正态分布函数,1,0,i A X A ⎧=⎨⎩事件发生；事件不发生，
1,2,
,100i =,且
()0.8P A =,12100,,
,X X X 相互独立.令100
1
i i Y X ==∑,则由中心极限定理知Y 的分
布函数()F y 近似于〔 〕
A.()y Φ
B.80
(
)4
y -Φ C.(1680)y Φ+ D.(480)y Φ+ 11.设随机事件A 与B 互不相容,且有P<A>>0,P<B>>0,则下列关系成立的是< >
A. A,B 相互独立
B. A,B 不相互独立
C. A,B 互为对立事件
D. A,B 不互为对立事件
12. 已知P<A>=0.3,P<B>=0.5,P<A ∪B>=0.6,则P<AB>=< >. A. 0.15 B. 0.2 C. 0.8 D. 1
13. 设随机变量X 的概率密度为f<x>,则f<x>一定满足〔 〕
A.0≤f<x>≤1
B.{}()X
P X x f t dt
-∞
>=⎰
C.()1
f x dx +∞
-∞
=⎰
D.f<+∞>=1
14. 从0,1,…,9十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字,则"8〞至少出现一次的概率为< > A.0. 1 B.0.3439 C. 0.4 D. 0.6561
15. 设一批产品共有1000个,其中有50个次品.从中随机地有放回地抽取500个产品,X 表示抽到次品的个数,则P ｛X ＝3｝＝< >
A. 5001000497
950
350C C C B. 500
1000497
950350A A A C. 49733500)95.0()05.0(C D. 5003
16. 设随机变量X 的概率密度为f<x>=1
cos ,,20,.
x a x b ⎧<<⎪⎨⎪⎩其它 则区间<a,b>是
< >.
A. <0,2π
>B. <2π-,0> C. <-π,π> D. <2π-
,2π> 17. 已知随机变量X
则P 〔{-2<X ≤A. 0 B. 0.2C. 0.35 D. 0.55
18. 设二维随机向量〔X,Y 〕的概率密度为f<x,y>,则P{X>1}=〔 〕
A. ⎰
⎰+∞
∞
-∞-dy
)y ,x (f dx 1 B. ⎰
⎰
+∞
∞
-+∞
dy
)y ,x (f dx
1
C. ⎰
∞
-1
dx
)y ,x (f D. dx
)y ,x (f 1
⎰
+∞
19．设随机变量X ～B 〔30,61
〕,则E 〔X 〕＝< > A.61
B.65
C.625
D. 5
20. 设随机变量X ～B<100,0.1>,则方差D<X>=< >. A. 10B. 100.1C. 9D. 3 二、填空
1.一口袋中装有3只红球,2只黑球,今从中任意取出2只球,则这2只球恰为一红一黑的概率是.
2.设1()2P A =,2
(|)5
P B A =,则()P AB =.
3.
则常数4.设随机变量(0,1)X
N ,()x Φ为其分布函数,则()()x x Φ+Φ-=.
5.已知连续型随机变量X 的分布函数为 设X 的概率密度为()f x ,则当0,()x f x <=.
6.设随机变量X 与Y 相互独立,且1(1)2P X ≤=
,1
(1)3
P Y ≤=,则(1,1)P X Y ≤≤= 7.设随机变量X 的概率密度为
f<x>=2
2
(),x f x x -=-∞<<+∞,则
(1)E X +=.
8.设随机变量X 与Y 相互独立,且()1D X =,()2D Y =,则()D X Y -=.
则样本方差2s =.
10.设总体X 服从正态分布
2
(,)N μσ,中μ未知,12,,n
X X X 为其样本.若假设
检验问题为201:1:1
H H σσ=≠,则采用的检验统计量为 .
11.
已知P<A>=0.3,P<B>=0.5,P<A
∪
B>=0.8,
那
么
P<AB >=______,P<AB >=______.
12. 进行5重贝努利试验,事件A 在每次试验中发生的概率P<A>=0.1,则在5次试验中A 恰发生2次的概率为____________,A 至少发生1次的概率为____________
13.若1,2,3,4,5号运动员随机排成一排,则1号运动员站在正中间的概率为_______________.
14. 设X 为连续随机变量,c 为一个常数,则P ｛X ＝c ｝＝_______________. 15. 设X ～N<5,4>,
若d 满足P<X>d>=Φ<1>,则d=______. ,其分布列为 的分布函数为F X <x>,则随机变量Y=3X+2的分布函数F Y <y>=___________. 18. 设随机变量X 有密度
f<x>=(1),01,0,.K x x -<<⎧⎨⎩其它则K=______
三、证明题
1.设A 、B 为两个随机事件,0()1P B <<,且(|)(|)P A B P A B =,证明事件A 与B 相互独立.
2. 设A,B 为随机事件,P 〔B 〕>0,证明：P<A|B>=1-P<B |A >.
,那么当0≤x ＜1时,X 的分布函数的取值为F<x>=______.
四、计算题〔共8分〕
1.设随机变量X 的概率密度为,01;
()0,.cx x f x α⎧<<=⎨⎩其它且()0.75E X =,求常数c
和α.
2. 设随机向量<X,Y>概率密度为f<x,y>=⎩
⎨
⎧<<<<其他 0,x
y 1,0x 8xy,0
<1>求边缘概率密度f X <x>,f Y <y><2>求概率P{Y ≤2
X
} 五、综合题
1.设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为f<x,y>=,0;
(,)0,.y e x y f x y -⎧<<⎨⎩其它
一、 求(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘概率密度(),()X Y f x f y ； 二、 判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 2．设随机变量1X 与2X 相互独立,且21
(,)X N μσ,21
(,)X N μσ,令
12X X X =+ 2,12Y X X =-.求：〔1〕(),()D X D Y ;<2>X 与Y 的相关系数XY ρ.
3. 加工某种零件,如生产情况正常,则次品率为3%,如生产情况不正常,则次品率为20%,按以往经验,生产情况正常的概率为80%,
①任取一只零件,求它是次品的概率. ②已知所制成的一个零件是次品,求此时生产情况正常的概率. 4. 设由取自正态总体2(,0.9)X
N μ,容量为9的样本,得样本的5X =,求未知
参数μ的95%置信区间 〔0.025 1.96u =〕
六．应用题
1．已知某炼铁厂在生产正常的情况下,铁水含碳量X 服从正态分布,其方差为0.03,在某段时间抽测了10炉铁水,算得铁水含碳量的样本方差为0.0375.试问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？<显著
性水平05.0=α<7.2)9(,023.19)9(2
975.02025.0.==χχ>
2. 设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,
问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ 设
01:70:70H H μμ=≠
答案
一、单选 1.D 2.A
3.A
4.C
5.D
6.C
7.B
8.D
9.A
10.B
11.D 12.B13.C14.B15.C 16.D17.D18.B19.D20.C 二、填空
1. 0.6
2.
153. 0.14. 15. 13
e x 6.
167. 18. 39. 2
10. <n-1>s 2或
()x
x i
i n
-=∑1
211. 1 ,0.212. 缺答案13. 缺答案14. 缺答案
15.116.0.417.218.3
三、证明题〔共8分〕
1.证法一：由题设与条件概率定义得
P AB P B P AB P B ()()()
()
,=又P AB P A B P A P AB ()()()()=-=-, 由以上二式可得 P<AB>=P<A>P<B>,故A 与B 相互独立.
证法二：由全概率公式得
P<A>=P B P A B P B P A B ()(|)()(|)+
=[P B P B ()()+]P<A|B> <由题设> =P<A|B>,
则P<AB>=P<B>P<A|B>=P<A>P<B>, 故A 与B 相互独立.
2,证：右边=()
1(|)1()
P AB P A B P B -=-
()()()
1(|)()()
P B P AB P AB P A B P B P B --
===左
四、计算题〔共8分〕
1.解：由cx dx cx
dx αα==⎧⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎰⎰+107501
1
1,
.,
可得
c
c αα+=+=⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪1
12
075,.,解得 α==23,.c 2解： ①30
()884x
X f x xydy xydy x +∞-∞
===⎰⎰
同理可得 401()0
Y y y f x <<⎧=⎨
⎩其它
②12200()882
x x
X
P Y dx xydy xdx ydy +∞-∞-∞≤==⎰⎰⎰⎰
五、综合题〔本大题共两小题,每小题12分,共24分〕
1．解：〔1〕边缘概率密度为
f x <x >=f x y dy e dy e x x x
y
x (,),;,
,==>⎧⎨⎪⎪
⎩⎪
⎪+∞---∞+∞⎰⎰
000≤ f x <y >=f x y dx e dx ye y y x
y y y
(,),;,
,==>⎧⎨
⎪⎪⎩⎪
⎪⎰
⎰
---∞+∞000≤ 〔2〕由于f<x,y>≠⋅f x f y X Y ()(),故X 与Y 不独立. 〔3〕P{X+Y ≤1}=
f x y dxdy x y (,)+⎰⎰≤1
=dx e dy y x
x --⎰
⎰10
1
2
=121
12
+---e e
.
2.解：D<X>=D<X 1+X 2>=D<X 1>+D<X 2>=2σ2,
D<Y>=D<X 1-X 2>= D<X 1>+ D<X 2>=2σ2, Cov<X,Y>=E<XY>-E<X>E<Y>
=E X E X E X E X E X E X ()()[(()][()()]12
221212--+⋅-
=D<X 1>-D<X 2>=0,
则ρXY Cov X Y D X D Y =
=(,)()()
.0
3．解：〔1〕边缘概率密度为
f x <x >=f x y dy e dy e x x x
y
x (,),;,
,==>⎧⎨⎪⎪
⎩⎪
⎪+∞---∞+∞⎰⎰
000≤ f x <y >=f x y dx e dx ye y y x
y y y
(,),;,
,==>⎧⎨⎪⎪
⎩⎪
⎪⎰
⎰
---∞+∞000≤ 〔2〕由于f<x,y>≠⋅f x f y X Y ()(),故X 与Y 不独立. 〔3〕P{X+Y ≤1}=
f x y dxdy x y (,)+⎰⎰≤1
=dx e dy y x
x
--⎰
⎰10
12
=121
12
+---e e
.
4.解：D<X>=D<X 1+X 2>=D<X 1>+D<X 2>=2σ2,
D<Y>=D<X 1-X 2>= D<X 1>+ D<X 2>=2σ2, Cov<X,Y>=E<XY>-E<X>E<Y>
=E X E X E X E X E X E X ()()[(()][()()]12
221212--+⋅-
=D<X 1>-D<X 2>=0,
则ρXY Cov X Y D X D Y =
=(,)()()
.0
六、应用题〕
1.解：缺答案
2.解：这是两正态总体均值差的区间估计问题.由题设知,
n 1=5,n 2=6,x =175.9,y =172,s 12
113=.,s 22=9.1,α=005
.. s n s n s n n w =
-+-+-()()112
22
212112
=3.1746选取t 0.025<9>=2.2622,
则μμ12-置信度为0.95的置信区间为： [x y t n n s n n x y t n n s n n w
w --+-+-++-+αα2
1212
2
1212
211211(),()]
=[-0.4484,8.2484].。