河北省师范大学附属中学2018-2019学年高一数学上学期期中试题

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， 2018—2019 学年度第一学期期中考试
高一年级期中试题
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．
1．设集合
M x | ( x 3)( x 2) 0, x R , N x | 1 x 3, x R ，则 M N
A ．1, 2
B ．[1, 2]
C ． 2, 3
D ．[2, 3]
2．已知元素 ( x ，y) 在映射 f 下的原象是 ( x 2 y ， 2 x y) ，则元素 (4，3) 在 f 下的象是
A ． 10,5
B ． 2,1
C ． (2， 1)
D ． (11 2 5 5
3．函数 y a x 2 a 0, 且 a 1 的图象经过定点
A ． 0,1
B ． 2,1
C ．
2,1
D ．
2, 0
4．若 f 10x x ，则 f 3
3 10
A ． log3 10
B ． lg 3
C ．10
D ． 3
5．设 a log3 2, b log5 2, c log 2 3 ，则
A ． a c b
B． b c a
C． c b a
D． c a b
6．函数 y a x 1 (a 0, a 1) 的图象可能是a
2x 1 1, x 1,
7．已知函数 f x
log2
若 f (a) 1 ，则 f (1 a) 3 x , x 1,
A． 2 B． 2
C．1 D． 1
8．已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 (,0) 上单调递增，若实数 a 满足f (2|a 1| )
f (
2 ) ，则 a 的取值范围是A． (, 1 )
B． (, 1 ) U ( 3 , )
2 2 2
( ) x
2 2 2 1
9．已知函数 f x
2
1 log
2 x ，若 x0 是方程 f x 0 的根，则 x0
1
2 A ． 0,
2
B ． ,1
2 C ． 1,
4 x b
2 D ． , 2
10．函数 f ( x) lg(10 x 1) ax 是偶函数， g ( x)
是奇函数，则 a
b
2 x
A ．1
B ． 1
C． 1 D． 1
2 2
11．偶函数 f ( x) log a x b 在 (, 0) 上单调递增，则 f (a 1) 与 f (b 2) 的大小关系
是
A． f (a 1)
C． f (a 1)
f (b 2) f (b 2)
B． f (a 1) D． f (a 1)
f (b 2)
f (b 2)
12．集合 A 如果满足：① A为非空数集;② 0 A ；③若对任意 x A 有 1 A ，则称
x
A 是“互倒集”．给出以下数集：
①x R | x 2 ax 1 0, a R;
②x
3 1 x
⎨ ⎨
3
1
2 x 2 , x
0,1 y | y
③
x
5
1 , x 1, 2
．其中一定是“互倒集”的个数是
x
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,答案填在答题纸相应的位置．
13．已知幂函数 y f ( x) (2, 2 ) ，则它的解析式为 ．
2
14 (3 3) 3 log 2 (log 2 16) (5
log 1
5 3 ) 2= ．
15. 若函数 f ( x) log 2 (1 ax) 在 (,1) 上单调递减，则实数 a 的取值范围是．
2 x 1, x 0
16．已知函数 f x ，若方程 f x log x 2 (0 a
1) 有且仅
f x 1 , x 0 a
有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分 10 分）
已知 A {x | a x 2a 3} ， B {x | x 1, 或x 6}
（Ⅰ）若 A B x 1 x 3，求 a 的值；
（Ⅱ）若 A U B B ，求 a 的取值范围．
18．（本题满分 12 分）
1 x
已知函数 f ( x) log a (a 0 , a 1) ．
1 x
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）若 a (lg 2)2 lg 2 lg 50 lg 25 ，求使的 f ( x) 0 的 x 的取值范围．
19．（本题满分 12 分）
已知定义域为 R 的函数 f x
2x b x 1
是奇函数．
（Ⅰ）求 a ， b 的值；
2 a
（Ⅱ）证明：函数在 R 上是减函数．
20．（本题满分 12 分）
如图，已知底角为 45的等腰梯形 ABCD ，底边 BC 长为12 ，腰长为 4 2 ，当一条垂直于底边 F ）的直线 l 从左至右移动（与梯形 ABCD 有公共点）
时，直线
（Ⅰ）令 BF x 0 x 12，试写出直线右边部分的面积 y 与 x 的函数解析式；
f x , 0 x 4,
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，令 y f x ．构造函数 g x
(6 x) f ( x), 4 x 8.
①判断函数 g x在4, 8上的单调性；
②判断函数 g x在定义域内是否具有单调性，并说明理由．
21．（本题满分 12 分）
已知函数 f ( x) a x a 1 (a 0 且a 1) ，恒过定点 (2, 2) ．
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将函数 f ( x) 的图象向下平移 1 个单位，再向左平移 a 个单位后得到函数 g ( x) ，设函数 g ( x) 的反函数为 h( x) ，直接写出 h( x) 的解析式；
（Ⅲ）对于定义在 (0, 4) 上的函数
y h( x) ，若在其定义域内，不等式
[h( x) 2]2 h( x)m 1 恒成立，求实数 m 的取值范围．
22．（本题满分 12 分）
已知二次函数 f ( x ) x 2 bx c 的图像经过点 (1,13 ) ，且满足 f ( 2) （Ⅰ）求 f ( x ) 的解析式；
f (1) ，
（Ⅱ）已知 t 2, g ( x ) [ f ( x ) x 2 13 ] | x | ，求函数 g ( x ) 在[t ,2 ] 的最大值
和最小值；
（Ⅲ）函数 y
f ( x ) 的图像上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是
一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
2018—2019学年度第一学期期中考试高一年级期中试题
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：
ABCBD DBCBD DB
二、选择题： 13.2
1x y = 14.14 15.(]0,1 16.11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 三、解答题：
17. 0332)1(=⇒=+a a 令，经检验符合题意. …………5分
分或分
或分
当10.139;16
3232132,7;332,)2(⋅⋅⋅⋅⋅⋅>-<∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⇒⎩⎨⎧-<++≤⎩⎨⎧>+≤≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<⇒+>=a a a a a a a a a A a a a A φφ
18.（1）由101x x +>-解得11x -<<，所以函数的定义域为
{}|11x x -<<.……4分 （2）2(lg 2)lg 2lg50lg 25a =+⋅+222(lg 2)lg 2lg(25)lg 5=+⨯+
22(lg 2)2lg 2lg 52lg 52=++=，……8分
()0f x >，即221log 0log 11x x +>=-，
111x x +>-，解这个不等式得0 1.x <<……12分
19.（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()00f =，即-102b a +=+，解得1b =，……2分
从而有()1212x x f x a +-+=+，又()()11f f =--知
1121241a a -+-+=-++，解得2a =．……4分 当2a =，1=b 时，
12221)(++-=x x
x f 12121++-=x ， ∴
12121)(++-=--x x f x x 21221++-=121)12(21+-++-=x x 12121+-=x )(x f -=， ∴()f x 是奇函数．从而2a =，1b =符合题意．……6分
（2）证明：由（1）知)
(x f 12121++-=x ，设21x x <， 则
-)(1x f 1211)(2x x f +=2211x +-)12)(12(222112++-=x x x x ，……9分 ∵21x x <，∴02212>-x x ，∴-)(1x f 0)(2>x f ，即>)(1x f )(2x f ．
∴函数()f x 在R 上为减函数．……12分
20.（1）过点,A D 分别作,AG BC DH BC ⊥⊥，垂足分别是,G H .因为等腰梯形ABCD 的底角为45︒，腰长
为，所以4BG AG DH HC ====,又12BC =，所以4AD GH ==.
1︒ 当点F 在BG 上时，即04x ≤≤时，
21322BEF ABCD y S S x ∆=-=-梯形；……1分 2︒ 当点F 在GH 上时，即48x <≤时， ()848404y x x =+-=-； ……2分 3︒ 当点F 在HC 上时，即812x <≤时， ()21122y x =-.……3分 所以，函数解析式为()22132,04,2404,48,
112,812.2x x y x x x x ⎧-≤≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-<≤⎩ ……5分
（2）()()()2132,04, 2
6404,48.x x g x x x x ⎧-<<⎪=⎨⎪--<<⎩ ……6分
① 由二次函数的性质可知，函数
()g x 在()4,8上是减函数. ……8分 ② 虽然
()g x 在()0,4和()4,8单调递减，……10分 但是()()3.924.395, 4.144.84
g g ==，∴()()3.9 4.1g g <.……11分 因此函数()g x 在定义域内不具有单调性.……12分
21.解：（1）由已知2122a a a -+=∴=． …………2分
（2）2()21()2x x f x g x -=+∴=
2()log (0)h x x x ∴=> ……4分
（3）222(log 2)log 1
x m x +>-在(0,4)恒成立 ∴设2log (04)t x x =<< 且2t <
2(2)1t tm ∴+>- 即：2(4)+50t m t +->，在2t <时恒成立. …6分
令
2()(4)+5g t t m t =+- 2422
(4)200m m -⎧≤⎪∴⎨⎪∆=--<⎩
解得：48m -≤ ……8分 或422(2)1720m g m -⎧>⎪∴⎨⎪=-≥⎩解得：
1782m <≤ ……10分
综上：实数m 的取值范围为
174252m -<≤ ……12分 22.解：（1）因为二次函数
所以二次函数c bx x x f ++=2)(的对称轴方程为
21-=x ，即212-=-b
所以1=b ......................1分 又因为二次函数c bx x x f ++=2)(的图像经过点)13,1(
所以131=++c b ，解得11=c ......................2分
因此，函数)(x f 的解析式为
11)(2++=x x x f ......................3分 由（1）知，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤+--=⋅-=0,1)1(0,1)1(||)2()(22x x x x x x x g ......................4分
所以，当]2,[t x ∈时，0)(max =x g ......................5分
当21<≤t ，t t t g x g 2)()(2min -== 当121<≤-t ，1)(min -=x g 当21-<t ，t t t g x g 2)()(2min +-==......................8分
如果函数)(x f y =的图像上存在点),(2n m P 符合要求其中
N n N m ∈∈,* 则2211n m m =++，从而43)12(422=+-m n
即43)]12(2)][12(2[=+-++m n m n ......................10注意到43是质数，且)12(2)12(2+->++m n m n ，0)12(2>++m n
所以有⎩⎨⎧=+-=++1)12(243)12(2m n m n ，解得⎩⎨⎧==1110
n m (11)
因此，函数)(x f y =的图像上存在符合要求的点，它的坐标为)121,10(........12分。