焦半径公式推导过程椭圆

焦半径公式推导过程椭圆
1. 椭圆的标准方程及焦点坐标。

- 设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其焦点在x轴上，焦点坐标为F_1(-c,0)，F_2(c,0)，其中c^2=a^2-b^2。

2. 设点P(x_0,y_0)在椭圆上。

- 根据椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）的距离和它到一条定直线（准线）的距离之比为常数e(0 < e < 1)的点的轨迹是椭圆。

- 对于焦点F_1(-c,0)，椭圆的左准线方程为x =-frac{a^2}{c}。

- 设点P(x_0,y_0)到左准线的距离为d_1，则d_1=| x_0+frac{a^2}{c}|。

- 由椭圆的第二定义(| PF_1|)/(d_1)=e，又e=(c)/(a)。

- 所以| PF_1| = e· d_1=(c)/(a)| x_0+frac{a^2}{c}|=(c)/(a)(x_0+frac{a^2}{c}) = a + ex_0（因为x_0≥slant - a）。

- 对于焦点F_2(c,0)，椭圆的右准线方程为x=frac{a^2}{c}。

- 设点P(x_0,y_0)到右准线的距离为d_2，则d_2=| x_0-frac{a^2}{c}|。

- 由椭圆的第二定义(| PF_2|)/(d_2)=e，又e = (c)/(a)。

- 所以| PF_2|=e· d_2=(c)/(a)| x_0-frac{a^2}{c}|=(c)/(a)(frac{a^2}{c}-x_0)=a -
ex_0（因为x_0≤slant a）。

当椭圆方程为frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2} = 1(a>b>0)（焦点在y轴上）时，焦点坐标为F_1(0,-c)，F_2(0,c)，其中c^2=a^2-b^2。

1. 设点P(x_0,y_0)在椭圆上。

- 对于焦点F_1(0,-c)，椭圆的下准线方程为y =-frac{a^2}{c}。

- 设点P(x_0,y_0)到下准线的距离为d_1，则d_1=| y_0+frac{a^2}{c}|。

- 由椭圆的第二定义(| PF_1|)/(d_1)=e，又e=(c)/(a)。

- 所以| PF_1| = e· d_1=(c)/(a)| y_0+frac{a^2}{c}|=(c)/(a)(y_0+frac{a^2}{c}) = a+ey_0（因为y_0≥slant - a）。

- 对于焦点F_2(0,c)，椭圆的上准线方程为y=frac{a^2}{c}。

- 设点P(x_0,y_0)到上准线的距离为d_2，则d_2=| y_0-frac{a^2}{c}|。

- 由椭圆的第二定义(| PF_2|)/(d_2)=e，又e=(c)/(a)。

- 所以| PF_2| = e· d_2=(c)/(a)| y_0-frac{a^2}{c}|=(c)/(a)(frac{a^2}{c}-y_0)=a - ey_0（因为y_0≤slant a）。