高等数学2017年最新课件第四节两个重要极限无穷小的比较
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两个重要极限和无穷小的比较
§5 两个重要极限、无穷小比较 1 x
令 t = − x,
1 x 1 −t ∴ lim (1 + ) = lim (1 − ) = lim (1 + 1 ) t x → −∞ t → +∞ x t t −1 t → +∞
1 t −1 1 ) (1 + ) = lim (1 + t −1 t −1 t → +∞
又 ∵ lim 1 = 1,
x→0
设 α 为某过程中的无穷小 ,
sin α 1 lim = 1; 某过程 α
0
数学分析
第一章 函数与极限
§5 两个重要极限、无穷小比较
例3
1) 求 lim 1 − cos x x
2 x→0
.
x 2) lim , x →0 tan 5 x
arcsin x 3) lim x→0 x
§5 两个重要极限、无穷小比较
显然 x n + 1 > x n , ∴ {xn } 是单调递增的 ;
1 1 1 1 xn < 1 + 1 + + + < 1 + 1 + + + n −1 n! 2 2! 2 1 = 3 − n − 1 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ; 2 1 n ∴ lim x n 存在. 记为 lim (1 + ) = e (e = 2.71828 ) n→ ∞ n→ ∞ n
二、两个重要极限
(1)
C
B
o
π
x
sin x lim =1 x→0 x
D
A
设单位圆 O , 圆心角 ∠AOB = x , (0 < x < ) 2
两个重要极限无穷小比较
注1：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极限过程 谈无穷小量,如sinx是x0时的无穷小量, 但 lim sin x 1.因此，它不是 x 时的无穷小 . 2 x
2
39
例1
(1) lim x2 0, x 0 时, x2 是一个无穷小量 .
x0
(2) limsin x 0, x 0 时, sin x 是一个无穷小量 .
( k为常数 )
3. lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x )
f ( x ) lim f ( x ) 4. lim g ( x ) lim g ( x ) ( lim g ( x ) 0 )
5. lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n
( 即 k = 2 的情形)
29
对于 ( 1 )型 极限问题中常使用指数公式
(i)
a xy a
x y
a
kx
y k
(ii)
a a
x
xk k
a xk a k
1 化为 lim 1 e型极限 x x
x
30
例12
x 1 求 lim x x 1
y g ( x)
O
x0
x0 x0
x
8
例1
2 求 lim x . x 0 x
由取整函数的定义, 有 2 2 2 1 , x x x
解
故当 x 0 时, 当 x 0 时,
2 2 x x 2; x 2 2 x x 2, x
x
两个重要极限
两个重要极限、无穷小量的比较一、教学内容两个重要极限、无穷小量的比较； 二、教学目的1．掌握用两个重要极限求极限的方法 2．掌握利用等价无穷小求极限的方法； 三、教学重点 1．两个重要极限 四、教学难点 1．两个重要极限§4 两个重要极限一 夹逼定理定理1 如果函数)(x f ，)(x g 及)(x h 满足下列条件：（1）δ<-0x x （且 0x x ≠ ），（或 M x >）时，有)()()(x h x f x g ≤≤成立。
（2）A x h A x g x x x x x x ==∞→∞→→→)(lim ,)(lim )(0)(0，那么，)(lim )(0x f x x x ∞→→ 存在，且等于 A 。
2、两个重要极限 （1）limsin x xx→=01证明：记 f x x x()sin = ， 由于 f x f x ()()-=， 我们不妨只究 1sin lim 00=+→xxx 这一情形加以证明，如下图所示：从几何图形上可清楚地看出：弦弧弦CD x BC x AB x =<=<=sin tan 于是有两边夹的不等式cos sin x x x<<1而 lim cos x x →=01 事实上， 当 x →+00，有：11122122121222←>=-⋅≥-⋅=-→cos (sin )()x x x x 据两边夹准则， 我们有： lim sin x x x→+=001而 f x x x()sin = 是偶函数， 故 lim sin x x x→-=001由函数的左右极限的性质知， lim sin x x x→=01单调有界准则 单调有界数列必有极限。
（2）lim()n nne →∞+=11 极限还可推广到更一般的情形：e xxx =+∞→)11(lim 原极限可变成一种新的形式 e z zz =+→1)1(lim例 求 xx x x 2)1222(lim ++∞→解：12111222++=++x x x ，令 121+=x z ，而0→⇔∞→z x ，且)11(21-⋅=z x例 求极限 xxx )11(lim 2-∞→ 解：令tx =-，x t →∞⇔→∞e ttt t t tx x t t t x 1)11(lim 1)11(1lim )11(lim )11(lim =+=+=-+=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x )11(lim )11(lim )11()11(lim -⋅+=-+=∞→∞→∞→原式11=⋅=ee四、无穷小与无穷大 1、无穷小 无穷小的定义：0>∀ε，0>∃δ（或0>X ），当δ<-<00x x (或X x >)时，有 ε<)(x f 成立，则称函数)(x f 为当0x x →（或∞→x ）时的无穷小，记作)0)(lim (0)(lim 0==∞→→x f x f x x x 或定理 在自变量的同一变化过程 x x →0(或 x →∞ )中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果函数可表示成常数与无穷小之和的形式， 则该常数就是函数的极限。
第四次课 两个重要极限 无穷小与无穷大
思考题
若 f ( x ) 0 ， 且 lim
x
f (x) A，
问：能否保证有 A 0的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证.
例 f (x)
lim
1 x
x 0,
1 x A 0.
有 f (x)
1 x
0
x
f ( x ) lim
x
但 y ( x k ) 2 k sin 2 k 0 M .
不是无穷大．
例
证明 lim
1 x 1
x1
.
y 1 x 1
定义 : 如果 lim
x x0
f ( x ) , 则直线 x x 0 是函数 y f ( x ) .
的图形的铅直渐近线
性质：
x
x 0
1 2x
1.6 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
1.无穷小量定义
定义1。 若
定义2。 若
n
(极限为零的变量)
lim x n 0 , 则 称 { x n } 为 无 穷 小 量
lim f ( x ) 0 , 则 称 f ( x ) 在 x a 的 过 程 中 为 无 穷 小 量
(3)lim x
2
x 0
0 , 故 当 x 0时 , 3 x 2 是 比 x高 阶 的 无 穷 小 量 ,
2
x 2
x2
1, 故 当 x 2 时 , x 2 与 x 2 是 等 价 无 穷 小 .
即 x x 2, ( x 2 ).
性质(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
两个重要极限、无穷小的比较
例如
0 4.无穷小的比较是 型极限的另外一种说法； 0 （）和 lim lim 5.有两个重要的符号 0 0
x2 2 2 2 (1) lim 0， 当 x 0 时 , 3 x x 是比 3 x x 低 高阶的无穷小; 即 x o (3 x ) ( x 0). x 0 3 x sin x (2) lim 1， 当 x 0x 时， sin 与 x 是等价无穷小． 即 sin x~ (x x0). x0 x 1 2 1 cos x 1 2 ( 3) lim 1 ， 当 x 0 时， 1 cos x 与 x (3) ， 0 时， 1 cos x 是 x 是同阶无穷小． 的二阶无穷小． 即 1 cos x ~ x ( x 0). 2 x 0 1x 2 2 2 x 2 19
形状一致.
1 sin sin 2 x x 1 如： lim 1 u 2 x （令 ） lim x0 2x x 1 x 即 lim x sin 1 1 sin(sin x ) sin( x 1) lim 1 lim 1 x + x x 1 x 0 x 1 sin x 0 可以解决含有三角函数的 型的极限问题. 0 2) 作用： 0 , 0 都适用
又 x1 3 3,假定 xk 3, x k 1 3 x k
x n 存在. xn 是有界的; lim n
3 3 3,
xn1 3 xn , x
2 n1
3 x n , lim x
n
2 n1
lim( 3 x n ),
（1 ）
11
3 x 2x m n mn 补例.1.求 lim( ) . (a ) a 1 x 2 x 2x 1 2( x 2) 4 （1+ 3 ） 解: 原式 lim(1 ) x x x 原式 2 lim 2 2x 1 2( x 2 1 x lim(1 ) ) (1 )4 (1 x ) x x2 x 2 3 x *6 3 1 x 2 2 2 （1+ ） 2 lim[(1 ) ]e . x e . lim x x2 x x 2 2 *4 1 (1 ) x 1 x 2.求 lim x 1
高等数学中的两个重要极限 (课堂PPT)
则sin x =BD，tan x=AC，
.
34
SOAB S扇形OAB SOAC , 当0 x π时，
2
1 sin x 1 x 1 tan x,
2
22
即 sin x x tan x.
而当 π x 0时, 有0 x π ,从而有
2
2
sin(x) x tan(x),
即 sin x x tan x.
1 | x || tan x |, sin x sin x
即 1 x 1 , sin x cosx
从而有
sinx cosx 1. .
x
(8)
36
注意 cos x 1 2sin 2 x 1 2( x)2 1 x2 ,
2
2
由上式与(8)式得 1 x2 sin x 1. 2x
因为 lim(1 x2 ) 1, lim1 1,
.
13
B 练习3：下列等式正确的是（ ）
sin x A. lim 1;
x x
1
C. lim x sin 1;
x0
x
1
B. lim x sin 1;
x
x
sin 1
D. lim x 1 ．
x x
练习4：下列等式不正确的是（ D ）
A lim sin x 1; B lim x 1;
x0 x
x0 sinx
1
lim (1 1)x
x x
1. e
.
25
练习3. 求 lim(3 x )2x . x 2 x
解 原式 lim[(1 1 ) x2 ]2 (1 1 )4
x
x2
x2
e2.
.
26
两个重要极限 无穷小的比较
从而有1
x 1 , sin x cos x
o
x
C
A
于是
cos 1, lim1 1, 所以 lim 因为 lim x 0 x 0
sin x 1 x 0 x
1 1 1 sin x x tan x, 2 2 2 sin x cos x 1. x
例1.4.1 例1.4.2
故当 x 时 f ( x ) 和 g( x ) 不能比较.
(3)如果 lim ，则称 是比 低阶的无穷小
常用等价无穷小:
当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x, e x 1 ~ x,
ln(1 x) ~ x, 1 2 1 cos x ~ x . 2 1 n 1 x 1 ~ x, n
2.等价无穷小替换 定理1.4.1(等价无穷小替换定理)
sin 3 x x 0 sin 7 x x3 x ) x
例1.4.6
求 lim( x
解
x 0 时， 1 cos 3
1 (3 x) 2 ,sin x 2
x,
1 (3x)2 1 cos3x 9 2 lim lim . x 0 x 0 x sin x xx 2
等价代换法.
x x0
则
x x0
lim f ( x) A
证明：作单位圆，其中 0 x 2 ，AT与 圆相切，BC⊥AO,所以
B
T
1 2 S AOB 1 sin x, 2 S△AOB 1 12 x, 2 1 2 S AOT 1 tan x, 2 由于S AOB <S△AOB < S AOT , 因此
小结
一、两个重要极限
x 1 , sin x cos x
o
x
C
A
于是
cos 1, lim1 1, 所以 lim 因为 lim x 0 x 0
sin x 1 x 0 x
1 1 1 sin x x tan x, 2 2 2 sin x cos x 1. x
例1.4.1 例1.4.2
故当 x 时 f ( x ) 和 g( x ) 不能比较.
(3)如果 lim ，则称 是比 低阶的无穷小
常用等价无穷小:
当x 0时,
sin x ~ x, tan x ~ x, e x 1 ~ x,
ln(1 x) ~ x, 1 2 1 cos x ~ x . 2 1 n 1 x 1 ~ x, n
2.等价无穷小替换 定理1.4.1(等价无穷小替换定理)
sin 3 x x 0 sin 7 x x3 x ) x
例1.4.6
求 lim( x
解
x 0 时， 1 cos 3
1 (3 x) 2 ,sin x 2
x,
1 (3x)2 1 cos3x 9 2 lim lim . x 0 x 0 x sin x xx 2
等价代换法.
x x0
则
x x0
lim f ( x) A
证明：作单位圆，其中 0 x 2 ，AT与 圆相切，BC⊥AO,所以
B
T
1 2 S AOB 1 sin x, 2 S△AOB 1 12 x, 2 1 2 S AOT 1 tan x, 2 由于S AOB <S△AOB < S AOT , 因此
小结
一、两个重要极限
《高等数学》无穷小与无穷大、无穷小的比较 ppt课件
取 Xma X 1,x X2 { }当 , x X时,恒有
, 22
0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
定理 3
有界函数与无穷小的乘积是无穷 小.
证 设函u在 数 U(x0,1)内有界，
则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M .
2. 函数的极限与无穷小量的关系
分析
若 x l x 0 i f ( x ) m a ,则 0 ,当 0 |x x 0 | 时 , |f ( x ) a | |( f ( x ) a ) 0 | ,
即x当 x0时 , f(x)a是一个.无穷 令 ( x ) f ( x ) a , 则 ( x ) 0 ( x x 0 ) , 且 f( x ) a ( x )( x x 结论 ?
定理1
limf (x)a f(x) a (x),
xx0 (x)
其 ,( x ) 0 中 ( x x 0 , ( x ) .)
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
意义
1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);
2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表 f(x)A,误差为 (x).
3.无穷小的运算性质:
定理2
在同一极限过程中,有限个无穷小的代 数和仍是无穷小.
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍 是无穷小.
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0, X 10,X 20,使得
当xX1时恒 有 2; 当xX2时恒 有 2;
limx2 .
x
(ii) y x3,
limx3 . (iii), (iv) 自己画
, 22
0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
定理 3
有界函数与无穷小的乘积是无穷 小.
证 设函u在 数 U(x0,1)内有界，
则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M .
2. 函数的极限与无穷小量的关系
分析
若 x l x 0 i f ( x ) m a ,则 0 ,当 0 |x x 0 | 时 , |f ( x ) a | |( f ( x ) a ) 0 | ,
即x当 x0时 , f(x)a是一个.无穷 令 ( x ) f ( x ) a , 则 ( x ) 0 ( x x 0 ) , 且 f( x ) a ( x )( x x 结论 ?
定理1
limf (x)a f(x) a (x),
xx0 (x)
其 ,( x ) 0 中 ( x x 0 , ( x ) .)
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
意义
1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);
2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表 f(x)A,误差为 (x).
3.无穷小的运算性质:
定理2
在同一极限过程中,有限个无穷小的代 数和仍是无穷小.
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍 是无穷小.
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0, X 10,X 20,使得
当xX1时恒 有 2; 当xX2时恒 有 2;
limx2 .
x
(ii) y x3,
limx3 . (iii), (iv) 自己画
极限的运算法则无穷小与无穷大两个重要极限
定 理 在 自 变 量 的 同 一 变 化 过 程 中 , 如 果 f( x )为 无 穷 大 , 则
1为 无 穷 小 ; 反 之 , 若 f(x )为 ( 非 零 ) 无 穷 小 , 则 1为 无 穷 大 .
f(x )
f(x )
如 lim x 0 lim 1
x0
x 0 x
8
二、函数的极限运算法则
1、定理 设 lim u A ,lim v B ,则 ( 1 )li u m v ) li u ( m li v m A B ; ( 2 )liu m ) l v i u ( l m i v m A B ; u lim u A (3) lim (B0) v lim v B
9
说明：
例如, 当 x 0 时 ,3 x ,x 2 ,s in x ,都 是 无 穷 小 .
观
x2
lim 0, x0 3 x
下节证
x2比3x要快得;多
察
sin x
各 lim
1,
极 x0 x
sinx与x大致相;同
限
lim
x0
x x2
，
x比x2要 慢 得 多.
比值极限不同, 反映了两者趋向于零的
“快慢”程度不同.
limsinx0. x x
4
例2 limarctanx x x
解 Q lim 1 0 x x
arctan x
2
limarctanx 0 x x
5
2、无穷大(量)
定义 如果变量u在其变化过程中|u|无限增大，则 称u为无穷大(量)，记作
u 或 liu m
注: 1. 无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数 混为一谈；
记作 a~;
高等数学(上)02-无穷小的比较教学课件
lim 0
称 是比 高阶的无穷小
lim 称 是比 低阶的无穷小
lim
c0
称
与
是同阶无穷小
lim k
C
0(k
0)
称
是关于
的
k
阶无穷小
lim 1
称 与 是等价无穷小 ~
判断下列无穷小之间的关系
x 0时， x 与 1 x 1
2
x
x ( 1 x 1)
lim 2 lim 2
x0 1 x 1 x0 ( 1 x 1)( 1 x 1)
x ( 1 x 1)
lim 2
1
x0
x
x 0时，x 与 1 x 1 2
三、利用等价无穷小计算极限定理1 设 ~ , ~ , 且 lim 存在，则
4
一、引入
问题：两个无穷小的商如何呢？
当 x 0 时，2x，3x，x2
������ 0.1
0.01
2������ 0.2 0.02
3������ 0.3 0.03
������2 0.01 0.0001
0.001
0.0001
⋯
0.002
0.0002
⋯
0.003
0.0003
⋯
0.000001 0.00000001 ⋯
无穷小的比较
数学组 2017年9月28日
1.无穷小的比较。 2.利用等价无穷小计算极限。
2
第五节 无穷小的比较
一、引入 二、无穷小的比较 三、等价无穷小的应用
3
1.有限个无穷小之和为无穷小． 2.有界函数与无穷小的乘积为无穷小． 3.有限个无穷小的乘积为无穷小． 4.常数与无穷小的乘积为无穷小．
无穷小的比较【高等数学PPT课件】
第六节 无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小的比较
例如, 观 察 各 极 限
不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:
例如，
例1 解
例2 解
二、等价无穷小替换
定理1 (等价无穷小替换定理)
证：
例3 解
注： 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘 积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作 等价无穷小替换，而不会改变原式的极限．
例4 解
切 不能滥用等价无穷小替换.
只可对函数的因子作等价无穷小替换，
记
而对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例5 错解
解
常见的等价无穷小
例6. 求 解:
例7 解作业 习 题 六 、二习 题 七 一、三
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小的比较
例如, 观 察 各 极 限
不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:
例如，
例1 解
例2 解
二、等价无穷小替换
定理1 (等价无穷小替换定理)
证：
例3 解
注： 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘 积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作 等价无穷小替换，而不会改变原式的极限．
例4 解
切 不能滥用等价无穷小替换.
只可对函数的因子作等价无穷小替换，
记
而对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例5 错解
解
常见的等价无穷小
例6. 求 解:
例7 解作业 习 题 六 、二习 题 七 一、三
高等数学无穷小的比较
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
2
e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2
n 1 x 1~ 1 x n
(1 x) 1 ~ x
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、
指、三）必须熟练掌握
2.将x换成f ( x) 0都成立
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0, 即 o(),
记作 ~ ;
(3) 如果lim C(C 0,k 0),就说是的k阶的 k
无穷小.
例1 证明:当x 0时,4x tan3 x为x的四阶无穷小.
解
4x tan3
lim
x0
x4xBiblioteka tan 4 lim(x0 x
x)3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
例2 当x 0时,求tan x sin x关于x的阶数.
x
(sin x
x
x
cos
1 x
)
1 2
例7. 证明: 当
时,
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1)
～
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例8
求 lim ( x1
x 1)(3 x 1)(n x 1) ( x 1)n1
解 令u x 1 则x 1 u
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
2
e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2
n 1 x 1~ 1 x n
(1 x) 1 ~ x
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、
指、三）必须熟练掌握
2.将x换成f ( x) 0都成立
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0, 即 o(),
记作 ~ ;
(3) 如果lim C(C 0,k 0),就说是的k阶的 k
无穷小.
例1 证明:当x 0时,4x tan3 x为x的四阶无穷小.
解
4x tan3
lim
x0
x4xBiblioteka tan 4 lim(x0 x
x)3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
例2 当x 0时,求tan x sin x关于x的阶数.
x
(sin x
x
x
cos
1 x
)
1 2
例7. 证明: 当
时,
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1)
～
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例8
求 lim ( x1
x 1)(3 x 1)(n x 1) ( x 1)n1
解 令u x 1 则x 1 u