高等数学 无穷小比较
高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.6-1.7 两个重要极限 无穷小比较
课时授课计划课次序号：05一、课题：§1.6极限存在准则两个重要极限§1.7 无穷小的比较二、课型：新授课三、目的要求：1.了解极限的两个存在准则，并会利用它们求极限；2.掌握利用两个重要极限求极限的方法；3.掌握无穷小阶的概念以及利用等价无穷小替换求极限的方法.四、教学重点：利用两个重要极限以及等价无穷小替换求极限.教学难点：利用极限的存在准则求极限.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–6 1（1）（6），2（3）；习题1–7 1，4（3）八、授课记录：九、授课效果分析：复习1.无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系；2.极限运算法则：无穷小运算法则、四则运算法则、复合函数极限运算法则. 有些函数的极限不能（或者难以）直接应用极限运算法则求得，往往需要先判定极限存在，再用其他方法求得.下面先介绍判定函数极限存在的两个准则，然后介绍两个重要极限.在此基础上，进一步介绍无穷小的比较与等价无穷小的性质．第六节 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在准则1. 夹逼准则定理1 如果数列{}{}n n y x 、及{}n z 满足下列条件： （1）()...321，，=≤≤n z x y nn n ， （2），，a z a y n n n n ==∞→∞→lim lim 那么数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 。
证 ,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε1,n n N y a ε>-<当时,恒有 2,n n N z a ε>-<当时,恒有},,max{21N N N =取上两式同时成立, ,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n所以恒有时当,N n >,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n.lim a x n n =∴∞→例1 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 解11112222+<++++<+n n nn n nn n ，而 11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ， 所以原式极限为1.定理1/ 设在点x 0的某去心邻域有12()()()F x f x F x ≤≤, 且0lim x x →F 1(x )= 0lim x x →F 2(x )=A ，则0lim ()x x f x →=A .证 由已知条件, ∃δ1＞0,当x ∈0U (x 0,δ1)时, 12()()()F x f x F x ≤≤.又由0lim x x →F 1(x )=0lim x x →F 2(x )=A 知: ∀ε＞0,∃δ2＞0,当x ∈0U (x 0,δ2)时,｜F 1(x )-A ｜＜ε,∃δ3＞0,当x ∈0U (x 0,δ3)时,｜F 2(x )-A ｜＜ε.取δ=min(δ1,δ2,δ3),则当x ∈0U (x 0,δ)时,得 A -ε＜12()()()F x f x F x ≤≤＜A +ε.由极限定义可知，0lim ()x x f x A →=.夹逼定理虽然只对x →x 0的情形作了叙述和证明,但是将x →x 0换成其他的极限过程,定理仍成立,证明亦相仿.例如,若∃X ＞0使x ＞X 时有12()()()F x f x F x ≤≤,且lim x →+∞F 1(x )=lim x →+∞F 2(x )=A , 则lim x →+∞f (x )=A.2. 单调有界准则定义 数列{}n x 的项若满足x 1≤x 2≤…≤x n ≤x n +1≤…，则称数列{}n x 为单调增加数列；若满足x 1≥x 2≥…≥x n ≥x n +1≥…，则称数列{}n x 为单调减少数列．当上述不等式中等号都不成立时，则分别称{}n x 是严格单调增加和严格单调减少数列．定理2 单调有界数列必有极限．该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去．例2 证明数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛．证 只需证明11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加且有上界．当a ＞b ＞0时，有 a n +1-b n +1=(a -b )(a n +a n -1b +…+ab n -1+b n )＜(n +1)(a -b )a n , 即a n ［(n +1)b -na ］＜b n +1． （8）取a =1+1n ，b =1+11n +代入(8)式，得 11n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜1111n n +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，即数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是单调增加的．取a =1+12n ，b =1代入(8)式，得 112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜2，从而2112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4，n =1，2，…，又由于 211121n n -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＜2112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4，所以11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4对一切n =1，2，…成立，即数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有界，由收敛准则可知11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛．我们将11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的极限记为e ，即 1l i m 1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e ．二、两个重要极限利用夹逼定理，可得两个非常重要的极限.1. 第一个重要极限 0sin lim1x x x→=我们首先证明0sin lim1x x x+→=.因为x →0+，可设x ∈（0，2π）.如图1－35所示，其中， EAB为单位圆弧，且OA =OB =1，∠AOB =x ，则OC =cos x ，AC =sin x ，DB =tan x ，又△AOC 的面积＜扇形OAB 的面积＜△DOB 的面积， 即 cos x sin x ＜x ＜tan x .因为x ∈（0，2π），则cos x ＞0，sin x ＞0，故上式可写为cos x ＜sin x x＜1cos x.由0lim cos 1x x →=，01lim1cos x x→=，运用夹逼定理得 0sin lim 1x x x+→=. 注意到sin x x是偶函数，从而有0sin sin()sin limlim lim 1x x z x x z xxz--+→→→-===-.图1－35综上所述，得 0s i n l i m1x x x →=.例3 证明0tan lim1x x x→=.证 0tan sin 1limlimcos x x x x xxx→→=⋅sin 1limlim1cos x x x xx→→=⋅=.例4 求21cos limx xx→-.解 22220002(sin )sin1cos 1122lim lim lim 222x x x xx x xx x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪⎪⎝⎭. 例5 求3tan sin lim x x xx →-.解 33tan sin sin (1cos )limlimcos x x x xx x xx x→→--=20s i n 1c o s 11l i m c o s 2x x x x x x→-=⋅⋅=.例6 求1lim sinx x x→∞.解 令u =1x，则当x →∞时，u →0，故01sin lim sinlim1x u u x x u→∞→==.从以上几例中可以看出，0sin lim1x x x→=中的变量可换为其他形式的变量，只要在极限过程中，该变量趋于零.即如果在某极限过程中有lim ()0u x =（()u x ≠0），则sin ()lim1()u x u x =.2.第二个重要极限 1lim (1)e x x x→∞+=前面我们已证明了1lim (1)e nn n→∞+=.对于任意正实数x ，总存在n ∈N ，使n ≤x ＜n +1，故有1+11n +＜1+1x≤1+1n，及1111(1)(1)(1)1nxn n xn++<+<++.由于x →+∞时，有n →∞，而11(1)11lim (1)lime 1111n nn n n n n +→∞→∞+++==+++，1111lim (1)lim (1)(1)e n nn n nnn+→∞→∞+=++= ，由夹逼定理使得1lim (1)e xx x→+∞+=.下面证1lim (1)e xx x→-∞+=.令x =-（t +1），则x →-∞时，t →+∞，故(1)(1)11lim (1)lim (1)lim ()11xt t x t t t xt t -+-+→-∞→+∞→+∞+=+=++lim ()()e 11tt t t t t →+∞==++.综上所述，即有 1l i m (1)e xx x→∞+=.在上式中，令z =1x，则当x →∞时，z →0，这时上式变为1lim (1)e z z z →+=.为了方便地使用以上公式，常将它们记为下列形式：（1） 在某极限过程（x →x 0，x →∞，x →-∞，x →+∞）中，若lim ()u x =∞，则()1lim 1e ()u x u x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦；（2） 在某极限过程中，若lim ()0u x =，则 []1()lim 1()e u x u x +=.例7 求lim (1)xx k x→∞+（k ≠0）.解 l i m (1)l i m (1)xkxk x x k k xx →∞→∞+=+ l i m (1)ekx kkx k x →∞⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦. 例8 求1lim 2xx x x →∞+⎛⎫⎪+⎝⎭. 解 22111lim lim 1lim 1222xxx x x x x x x x +-→∞→∞→∞+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111lim 1lim 1e22x x x x x +--→∞→∞--⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ .例9 求0ln(1)limx x x→+.解 1ln(1)limlim ln(1)ln e =1x x x x x x→→+=+=.例10 求0e 1limxx x→-.解 令u =e x -1，则x =ln （1+u ），当x →0时，u →0，故e 11limlimlim1ln(1)ln(1)xx u u u u xu u→→→-===++.例11 求ln ln limx ax a x a→--（a ＞0）.解 令u =x -a ，则x =u +a ，当x →a 时，u →0，故ln ln ln()ln limlimx au x a u a ax au→→-+-=-011limln(1)au u u aaa→=+=.第七节 无穷小的比较同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度并不一定相同，研究这个问题能得到一种求极限的方法，也有助于以后内容的学习.我们用两个无穷小量比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度.一、无穷小阶的概念定义 设(),()x x αβ是同一极限过程中的两个无穷小量：lim ()0,lim ()0x x αβ==.若()lim0()x x αβ=，则称()x α为()x β的高阶无穷小，记为α（x ）= o （β（x ））. 若()lim()x x αβ=∞，则称()x α为()x β的低阶无穷小，记为β（x ）= o （α（x ））. 若()lim ()x A x αβ=（A ≠0），则称()x α是()x β的同阶无穷小. 特别地，当A =1时，则称α（x ）与β（x ）是等价无穷小，记为α（x ）~β（x ）. 若在某极限过程中，α是βk的同阶无穷小量（k ＞0），则称α是β的k 阶无穷小. 例如：因为01cos lim0x xx →-=，所以当x →0时，1-cos x 是x 的高阶无穷小量，即1-cos x =o （x ） （x →0）.因为21cos 1lim2x xx→-=，所以当x →0时，1-cos x 是x 2的同阶无穷小量，即1-cos x =O （x 2）（x →0）.因为0sin lim1x x x→=，所以当x →0时，与sin x 与x 是等价无穷小量，即sin x x （x →0）.二、等价无穷小的性质等价无穷小在极限计算中有重要作用.定理1 设α ，β为同一极限过程的无穷小量，则()o αββαα⇔=+ .定理2 设,,,ααββ''为同一极限过程的无穷小量，,ααββ'' ，若limαβ存在，则 limlimααββ'='.证 因为,ααββ'' ，则lim1αα'=,lim1ββ'=，由于αααββαββ'''=',又limαβ存在，所以 l i m l i m l i ml i m l i m αααβαβαβββ''==''. 定理2表明,在求极限的乘除运算中，无穷小量因子可用其等价无穷小量替代，这个结论可写为以下的推论.推论1 设,ααββ'',若()lim f x αβ存在或为无穷大量，则 ()()limlimf x f x ααββ'='.推论2 设αα' ，若lim ()f x α存在或为无穷大，则 lim ()lim ()f x f x αα'=. 在极限运算中，常用的等价无穷小量有下列几种：当x →0时，sin ,tan ,arcsin ,arctan ,x x x x x x x x ，1-cos x ~212x ，ex-1~x ，ln （1+x ）~x，1~2x ，(1)a x +-1~αx （α∈R ）.例1 当x →0时,22~2x x x -,232~x x x -, 2sin ~x x x +, c o s ~2x x .例2 求0tan 7limsin 5x x x→.解 因为x →0时，tan7x ~7x ，sin5x ~5x ，所以 00tan 777limlimsin 555x x x x xx→→==.例3 求0eelimsin sin axbxx ax bx→-- (a ≠b ).解 ()0e ee [e 1]limlimsin sin 2cossin22axbxbx a b xx x a ba b ax bxx x-→→--=+--()0e e1limlim cos2sin22bx a b xx x a b a b xx-→→-=+- 0()lim1()22x a b x a b x→-==- .例4 求223lim ln(1)x x x→∞+. 解 当x →∞时，2233ln(1)xx+，故222233lim ln(1)lim 3x x x x xx→∞→∞+== .例5 当x →0时，tan x -sin x 是x 的几阶无穷小量？解 23330tan sin tan (1cos )12limlimlim2x x x xx x xx x xxx →→→⋅--===， 所以，当x →0时，tan x -sin x 是x 的三阶无穷小量. 例6求21limsin 2x x x→+.解211~()~22x x x +，2sin 2~sin 2~2x x x x +，所以20112limlim sin 224x x xx xx →→==+. 课堂总结1.极限的存在准则：夹逼准则、单调有界准则；2.两个重要极限：1sin 1lim1,lim (1)e lim (1)e xx x x x x x xx→→∞→=+=+=或；3.无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k 阶；4.等价无穷小替换求极限的方法.。
高等数学《无穷小的比较》全
x 2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x) 的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1)， x1
lim f ( x) f (1) .
x1
练习题答案
一、1、3 ； 2
0,m n 2、1, m n ；3、2；
解
原式
lim
x0
2x 1x
x
2
4.
2
例7
求 lim x0
1
x sin x sin2 2x
1
.
解 当 x 0 时 , 1 x sin x 1～1 x sin x～1 x2 ,
2
2
sin2 2x～(2x)2 ,
1 x2
原式
lim
x0
2 4
x
2
1 8
例8 求 lim 1 cos x . x0 x(1 cos x )
arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x,
ex 1 ~ x,
1 cos x ~ 1 x2 , 2
(1 x)a 1 ~ a x , (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
a x 1 ~ x lna .
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0,
即 o( ), 于是有 o( ).
x 2 sin 1 x
x2
lim sin
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义: 设 , 是同一过程中的两个无穷小 , 且 0 . (1) 如果 lim 0 , 就说 是比 高阶的无穷小,
高等数学无穷小与无穷大
高等数学无穷小与无穷大
高等数学里无穷小和无穷大是比较常见的概念，它们之间有很多相似之处，但也有不少差异。
无穷小是指一个数字按任意一种规律得到无穷多个数字中最小的一个数字，它既大于0，又接近0，但它不可能等于0.例如，求sin(x) = 0时，
解析解为x = 0,+π,+2π,…，这些解中最小非零解是x=π，它就是无穷小.
而无穷大则是指一个数字按任意一种规律得到无穷多个数字中最大的一
个数字，它既大于0，又接近无穷大，但它的大小无限。
例如，求e的x次
幂的极限为无穷大，这就是无穷大的一个例子.
两个概念最大的不同在于，无穷小是一个有限的概念，它可以在常数范
围内确定出来；而无穷大则是无限的，没有可以用来定义它的有限常量.
总的来说，无穷小和无穷大是高等数学关键概念，它们的理解对于数学
学习很重要，也给解决诸多数学难题提供了很大帮助。
高等数学-无穷小的比较
17
例4
tan 2 x 求 lim . x 0 1 cos x
2
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 ( 2 x )2 原式 lim x 0 1 2 1 x 2 3 2 (1 x ) 1 . 例5. 求 lim
x 0
6
§1-7 无穷小的比较
一、无穷小的比较
1 x 0时, x , x , sin x , x sin ,1 cos x , tan x都是无穷小. x x2 0 , 观 lim x 0 x 2 x 比 x 趋近 0 的速度要快得多 ; 察 x , 各 lim 2 x 0 x 极
log a (1 x) 1 求 lim log a e x 0 x ln a x x lim a 1 x ln a lim log a (1 x) x 0 x 0 ln a
三、等价无穷小代换
定理2(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim . 证 lim lim( ) lim lim lim lim . 2x 2 tan 2 x 如求 lim lim x 0 sin 5 x x 0 5 x 5
2 2
限
0 （ 型） 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度 0
不同.
sin x lim x0 x
1,
sin x与x趋近0的速度大致相同 ;
1.定义: 设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小 , 故 lim 0 记作 o( )； 0 ( ２ ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如果 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小; 记作 ~ ; (4) 如 果 lim k C 0, k 0, 就 说 是 的 k 阶 的 无 穷 小 .
高等数学1-7-无穷小的比较_OK
lim
ln(1
x)
lim
ln(1
x)
1 x
ln[lim
(1
x)
1 x
]
x0 x
x0
x0
ln e 1. 故 ln(1 x) ~ x(x 0) 等价无穷小
（6）
ex 1 lim
x0 x
令 ex 1 u,
ex 1
则 lim
lim
u
1,
x0 x u0 ln(1 u)
故 ex 1 ~ x(x 0) 函等数与价极限无穷小
证 因为 x ~ ln(1 x，) 所以
lim (1 x) 1 lim (1 x) 1
x0
x
x0 ln(1 x)
令 (1 x) 1 t, (1 x) 1 t, 两端取对数，得
ln(1 x) ln(1 t), 又当x→0，t→0. 所以
lim (1 x) 1 lim t 1
x0 x
t0 ln(1 t)
二阶无穷小
11 2
(4)
lim
x0
1
cos x2
x
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
sin2 x 1 cos 2x 2
2
2
cos2 x 1 cos 2x 2
sin 2 x
lim x0
2 ( x)2
1
1 函c数o与s极x限~
x2 2
等价无穷小 6
2
（5） lim ln(1 x) x0 x
eu 1 ~ u(u 0)
(1 u) 1 ~ u(u 0)
解：
lim e ecosx x0 3 1 x2 1
lim e(ecosx1 1) x0 3 1 x2 1
高等数学 第七节 无穷小的比较
第七节无穷小的比较,,,sin ,002都趋于时当x x x x →.)(都是无穷小.但速度各不相同1000010009900102.,.,.sin ,.====x x x x 则如果取.变化过程中的无穷小是在同一自变量的相同和定义βα,,lim .)的高阶无穷小是称αβαβ01=.)(αβo =记为)(快比αβ0→,,lim .)的低阶无穷小是称αβαβ∞=2)(慢比αβ0→,,lim .)是同阶无穷小与称αβαβ03≠=c .)(αβO =记为,,lim .)阶无穷小的是称k c αββ04≠=-56P.lim lim ,~,~αβαβββαα''=''则设定理.用等价无穷小来代换分子及分母中的因子可时即求无穷小之比的极限,αβlim .证ααβαββ⋅'⋅''⋅'⋅=lim αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=:我们可以证明,时当0→x ,~sin .)x x 1,~tan .)x x 2,~cos .)22113x x -,~arcsin .)x x 4.~arctan .)x x 5,,lim .)是等价无穷小与称αβαβ15=.~βα记为.,为重要等价无穷小在应用上最以上各种比较中xx x tan lim.)02→,~sin .)x x 1,~tan .)x x 2,~cos .)22113x x -,~arcsin .)x x 4.~arctan .)x x 5⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→x x x x cos sin lim 10xx x x x cos lim sin lim 100→→⋅=,1=.~tan x x ⇒202113x x x cos lim ).-→2202122x x x sinlim →=220x x x x x ⋅⋅=→sin sin lim ,1=.~cos 2211x x -⇒,sin lim )..110=→x xx 证.~sin x x ⇒,~sin .)x x 1,~tan .)x x 2,~cos .)22113x x -,~arcsin .)x x 4.~arctan .)x x 5,arctan .).x =α设证5,tan x =α则αααtan lim arctan lim 00→→=x x x ,1=.~arcsin x x 类似地可证.)4.~arctan x x ⇒:请熟记时有当0→x x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~)ln(~x +1,~1-xe ,~)(x x αα11-+.~cos 2211x x -.~211x x -+特例31xxx x sin tan lim.-→例xx x x x cos )cos (sin lim31-=→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212x x x x ~cos ,~sin xx x x x cos lim 3202⋅=→x x cos lim 210→=.21=xx x 21220cos )(arcsin lim.-→例⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212x x x x ~cos ,~arcsin 22220)(limx x x →=.21=xx ee xx x sin lim.sin --→03例()x x eexx xx sin limsin sin --=-→1xx e exx x xx sin limlim sin sin --⋅=-→→10()0→-=x x y sin y e yy 110-⋅=→lim()yey~1-.1=:小结.,,,,等价无穷小阶无穷小同阶无穷小低阶无穷小高阶无穷小k :.基本概念1:.熟记2x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~时有当0→x )ln(~x +1,~1-xe .~cos 2211x x -,~)(x x αα11-+.~211x x -+特例.lim lim ,~,~.αβαβββαα''=''则设定理3分子及分母中的因子可限时求无穷小之乘除法的极,.用等价无穷小来代换)!(换加减号隔开的项不能代:.经验公式4,)(lim 00=→x f x x 设.)()(lim c x g x f x x =→0().)(lim )(cx g x x e x f =+→10则#().)(lim )()(lim )(x g x f x g x x x x ex f ⋅→→=+01。
高等数学教学教案 无穷小的比较 函数的连续性与间断点(优秀版)word资料
高等数学教学教案无穷小的比较函数的连续性与间断点（优秀版）word资料§1.7 无穷小的比较§1. 8 函数的连续性与间断点授课次序07§1. 8 函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量: 设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作∆u , 即∆u =u 2-u 1.设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+∆x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+∆x ), 因此函数y 的对应增量为∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0).函数连续的定义设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量∆x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0 )也趋于零, 即0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数y =f (x )在点x 0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设x =x 0+∆x , 则当∆x →0时, x →x 0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-f (x 0)|<ε , 那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续.左右连续性: 如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续.如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续.左右连续与连续的关系:函数y =f (x )在点x 0处连续⇔函数y =f (x )在点x 0处左连续且右连续.函数在区间上的连续性: 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→.2. 函数x x f =)(在区间[0, +∞)内是连续的.3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.高等数学辅导要点( 一 ) 、函数、极限、连续、1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。
高等数学(同济第七版)(上册)_知识点总结
...高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设l imf(x)0,limg(x)0且llimg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，1-cosx~x^2/2，xe-1~x，ln(1x)~x，(1x)1~x二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)A,limh(x)A，则l imf(x)A2．两个重要公式sinx公式11limx0x1/x公式2xelim(1)x03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次xe 1x2x2!3x3!...nxn!no(x )sinxx3x3!5x5!... (n1)(2nx2n11)!2no(x1)WORD格式可编辑版...cosx12x2!4x4!... (2nxnox2n1)(2n!)ln(1x)x2x23x3... (nxnox n11)(n)(1x)1x (1)2!2x n ox n(1)...((n1))x...(n!)arctanxx3x35x5... (2n1xnox2n11)(2n11)5．洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()0fxxx0 ，limF(x)0xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limxx0Fx)(f(x)f(x)存在（或为无穷大），则limlimxx0FFx(x)xx()这个定理说明：当f(x)limx0Fxx()存在时，f(x)limxx0Fx()也存在且等于f(x)limxx0F(x)；当f(x) limxx()0Fx 为无穷大时，f(x)limx()x0Fx也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()fxxx0 ，limF(x)xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limx)x0F(x存在（或为无穷大），则f(x)f(x)limlimxx0F(x)x x F(x)注：上述关于x时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型x同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限WORD格式可编辑版...f(xx)f(x)00'基本公式()limfx0x0x(如果存在）3.利用定积分定义求极限基本格式1n1klimf()f(x)dxnnnk1（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x是函数y=f(x)的间断点。
作业(无穷小的比较)(答案)
（当 x 0 时， 1 cos x ~
第 11 页
（当 x 0 时， 1 x 2 1 ~
1 2 x ） 2
*6． lim
x 0
tan x sin x sin3 x
1 2 x 1 lim lim lim 2 2 ． 3 2 x 0 sin x cos x x 0 sin x cos 0 x 0 x 2 1 cos x
北京城市学院《高等数学》作业（无穷小的比较·参考答案） 一、填空题． 当 x 0 时， sinx ~ x ， sin5 x ~ 5x ， sin x 5 ~ x 5 ， sin6 x ~ x 6 ；
t a n ~ x ， tan6x ~ 6x ， tan x 5 ~ x 5 ； x
（当 x 0 时， 1 cos x ~
1 2 x ， sin x ~ x ） 2
或
tan x(1 cos x) t a n s i n x x lim lim lim 3 x 0 x 0 x 0 s i nx sin 3 x
1 x x2 2 1． x3 2
1 2 x ， sin x ~ x ） 2
解： （1）由 lim
1 x x
3
x 1 1
lim
x 1
3
1 x (1 x ) (1 x x )
2
lim
1 xx
2x 1 1 源自1 ， 3即 1 x 与 1 x 同阶无穷小； （2）由 lim
x 1
2(1 x ) 1 x 2 lim lim 1， x 1 (1 x ) (1 x ) x 1 1 x 1 2 (1 x ) 2
ln(1 x ) ~ x ， ln(1 - 2 x ) ~ 2 x ， ln(1 6 x ) ~ 6x ；
高等数学 第五讲无穷大量,无穷小量
注意 ① 无穷小量是以0为极限的变量；讲一个函 数是无穷小量，必须指出自变量的变化趋势；
② 无穷小量不一定是零，零作为函数来 讲是无 穷小量； ③ 任何非零常数，不论其绝对值如何小，都不
是无穷小量。因为非零常数的极限是其本身， 并不是零。
例1： lim 1 0, limsin x 0, lim cos x 0,
(1) lim tgx, lim tgx, lim tgx,
x
2
x 2
x 2
(2) lim ex , x
lim ex ,
x
解： (1)
lim tgx,
x
2
y
lim tgx,
x
2
lim tgx,
x
2
y = tgx
yx
x
0 x y 3
2
2
2
(2) lim ex , x
lim ex ,
x
y y xo x–
y ex
y x
x x+
从图上看出 lim ex , lim ex 0.
x
x
三、无穷大量的运算性质
1. ±，
都不一定是无穷大量，也不一
定是无穷小量.
但有 (+)+(+) = +, ()+()= .
± (有界量) = ， ± 常量 = ,
2. 0, (有界量)不一定是无穷大量. 但有 =, C = (C为非0常量).
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
高等数学-无穷小的比较
x x0 1
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
例1 求 lim tan2 2x .
x0 1 cos x
则
lim
lim 1 .
x x0
x x0 1
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
另例 ：
第六节
第一章
无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小量的比较
定义 设 与 是同一过程中的无穷小量，即
lim 0，lim 0.
xx0
xx0
❖ 如果lim 0，则 是比 较高阶无穷小；
xx0 记作 ( ).
lim o( ) ? x x0
❖ 如果lim ，则 是比 较低阶无穷小. xx0
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 0 (2 x)3 16
② 等价替换不能离开 “定理所允许的框架”
例3 lim(1 3 tan2 x)cot x .
x0
四、等价无穷小替换
定理3 (等价无穷小替换定理)
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
则 lim lim 1 .
x x0
x x0 1
证： lim
lim (
1 1 )
x x0
x x0 1 1
lim lim 1 lim 1 lim 1 .
《高等数学》(同济大学第七版)上册知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
高等数学(上)02-无穷小的比较教学课件
lim 0
称 是比 高阶的无穷小
lim 称 是比 低阶的无穷小
lim
c0
称
与
是同阶无穷小
lim k
C
0(k
0)
称
是关于
的
k
阶无穷小
lim 1
称 与 是等价无穷小 ~
判断下列无穷小之间的关系
x 0时， x 与 1 x 1
2
x
x ( 1 x 1)
lim 2 lim 2
x0 1 x 1 x0 ( 1 x 1)( 1 x 1)
x ( 1 x 1)
lim 2
1
x0
x
x 0时，x 与 1 x 1 2
三、利用等价无穷小计算极限定理1 设 ~ , ~ , 且 lim 存在，则
4
一、引入
问题：两个无穷小的商如何呢？
当 x 0 时，2x，3x，x2
������ 0.1
0.01
2������ 0.2 0.02
3������ 0.3 0.03
������2 0.01 0.0001
0.001
0.0001
⋯
0.002
0.0002
⋯
0.003
0.0003
⋯
0.000001 0.00000001 ⋯
无穷小的比较
数学组 2017年9月28日
1.无穷小的比较。 2.利用等价无穷小计算极限。
2
第五节 无穷小的比较
一、引入 二、无穷小的比较 三、等价无穷小的应用
3
1.有限个无穷小之和为无穷小． 2.有界函数与无穷小的乘积为无穷小． 3.有限个无穷小的乘积为无穷小． 4.常数与无穷小的乘积为无穷小．
无穷小阶的比较
的无穷小来代替，这样可以简化很多函数极限的计算．下面给出一些常用的等价无
穷小公式（当 x 0 时）：
（1） sin x ~ x ；
（2） arcsin x ~ x ；
（3） tan x ~ x ；
（4） arctan x ~ x ；
（5）1 cos x ~ 1 x2 ； 2
（6） n 1 x 1 ~ 1 x ． n
高等数学
无穷小阶的比较
例如，因为
lim
x0
2x x2
，所以当
x
0
时，
2x
是比
x2
低阶的无穷小，反过来
x2
是比 2x 高阶的无穷小，即 x2 o(2x) ；因为 lim sin x 1 ，lim tan x 1 ，所以当 x 0
x0 x
x0 x
时， sin x ， tan x 与 x 是等价无穷小，即 sin x ~ x ， tan x x ．
无穷小阶的比较
例 4 求 lim tan 2x ． x0 sin 3x
解 因为当 x 0时， tan 2x ~ 2x ， sin3x ~ 3x ，所以 lim tan 2x lim 2x 2 ． x0 sin 3x x0 3x 3
无穷小阶的比较
例 5 求 lim 1 x2 1 ． x0 1 cos x
无穷小阶的比较
例 1 证明：当 x 0 时，1 cos x ~ 1 x2 ． 2
证明
因为
lim
x0
1
cos x2
x
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
lim
x0
sin x
x 2
2
1，
2
关于无穷小量的比较和性质点滴
性质(6) α ~ α1 , β ~ 性质(7) α ~
β1 ，则 αβ ~ α1β1
β ，则 α f ( x) ~ β f ( x) ，其中 α f ( x) 为无穷小。
1 1 1
性质(8) α ~ α1 , β ~
β1 ，且 lim(1 + α1 ) 存在，则 lim(1 + α ) = lim(1 + α1 )
1
1 与x就 x
在高等数学教学中关于无穷小量的比较和性质点滴
张
谋
20120127
g ( x) 是比 f ( x) 低价的无穷小（即定义2中的(1)可以推出(2)成立） ，这是错误的。
x 2 sin
例1 因 lim
x →0
x
1 x = 0 ，故分子是分母的高阶无穷小，但 lim
x →0
x 1 x sin x
x → x0
定义2
[1]
设 x → x0 时， f ( x) 与 g ( x) 都是无穷小量，且在 x0 的某一去心邻域内
g ( x) ≠ 0 ，
(1)若 lim
x → x0
f ( x) = 0 ，则称 f ( x) 是比 g ( x) 高阶的无穷小量，记作 f ( x) = o[ g ( x)] （这 g ( x)
在高等数学教学中关于无穷小量的比较和性质点滴
张
谋
20120127
高等数学教学点滴——
关于无穷小量的比较和性质
张
一、关于无穷小比较的概念及理解 我们知道，有限个无穷小的和、差、积均为无穷小，而无穷小的商会出现不同的情 况。 例如当 x → 0 时， x, x , sin x, sin 2 x, x sin
比 x 趋向于零更快。” 上面所提到的“快慢程度”是函数 y 相对于自变量 x 的变化快慢程度，即变化率，与 函数 y = f ( x) “趋向于零的快慢程度”不是一回事。通常我们对快慢的说法有两种，一种 是：单位时间内，离出发点的远近；另一种说法是：单位时间内，离终点的近与远。因此， “趋向于零的快慢程度”应理解为离终点（零）的近与远，也就是说， lim
无穷小的比较【高等数学PPT课件】
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小的比较
例如, 观 察 各 极 限
不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:
例如，
例1 解
例2 解
二、等价无穷小替换
定理1 (等价无穷小替换定理)
证：
例3 解
注： 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘 积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作 等价无穷小替换，而不会改变原式的极限．
例4 解
切 不能滥用等价无穷小替换.
只可对函数的因子作等价无穷小替换，
记
而对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例5 错解
解
常见的等价无穷小
例6. 求 解:
例7 解作业 习 题 六 、二习 题 七 一、三
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n ax 1 ~ xlna(a0)
例３ 求limtan22x. x0 1coxs
解
当 x 0时 ,1co x~ s1x2, 2
ta 2 x ~ n 2 x .
原式
(2x)2 lim
x0
1 x2
8.
2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无
limsinx 1， x0 x
即 six~ n x (x 0 ).
当 x 0时 si， x n与 x是等价 ． 无穷
例1 证:当 明 x 0 时 ,tax nsix为 nx的三阶 .
证明: lx im 0tanxx3sinx x l i0m taxn(1 x 3cox)s lx i0(m c1o xs sx ixn 1x c2o x)s lx i0c m 1o xlx s i0s m x ixn lx i01 m x c2o x s 12 ,
(3)如l果 im C0,就 说 与 是同阶;的
特殊 如 地 l果 im ， 1,则称 与 是等价;的
记 作 ~;
(4 )如 li果 m k C 0 ,k 0 ,就是 说 的 k阶的 .
例如， limx2 0，
x0 3x
即 x2o (3 x )(x 0 ).
当 x 0时x， 2是3 比 x高阶的; 无穷
例５ 求lim taxnsin x. x 0 si3n2x
错解 当 x 0 时 ,ta x ~ n x , sixn ~x.
原式limxx
x0 (2x)3
0.
解 当 x0时 , si2n x~2x, 1coxs~1x2,
tx a sn x i t n x a ( 1 c n x ) o ~ 1 x s 3 ,2
sinx与x大致相;同
lim
x0
x 2 sin x2
1 x
limsin1 x0 x
不存在. 不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义1设 : ,是同一过程中穷 的小 ,且 两 个 0. 无
(1)如l果 i m 0 ，就 是 说 比 高阶的 , 无
记作 o()；
(２ )如l果 im ，就 是 说比 低阶的无
1 x3
原式
lim
x0
2 (2x)3
1 16
.
2
例6 求lim1tanx 1tanx.
x0
12x1
解 当 x0时 ,tanx~x, 12x1~1(2x)
2
原 式 lim 2taxn x 0x( 1taxn1taxn )
lim taxnlim
2
x 0 x x 0( 1taxn1taxn)
lim
2
1.
则 x 当 0 时 ,有 u 0 ,
ex1
u
lim lim
lim
x 0 x u 0ln1(u) u0
1
1
ln(1 u)u
1
1
1 1. ln e
ln[lim(1 u)u ]
u0
即， x 0时 当 ex ， 1 , x~ln 1(x).
常用等价无穷小:当 x0时 ,
x~sixn~taxn~arcsxi~narctxan x~ln 1(x)~ ex 1 1coxs ~1x2,
第八节 无穷小的比较
• 一、无穷小的比较 • 二、等价无穷小代换 • 三、小结 思考题
一、无穷小的比较
例如, 当 x 0时 ,x,x2,six n,x2si1 n都是无 . x
观 察 各 极 限 （ 0 型） 0
lim x 2 0, x0 3 x
x2比3x要快得;多
lim sin x 1, x0 x
穷小代换，而不会改变原式的极限．
例４ 求lim (x1)sin x. x0 arcsxin
解 当 x 0 时 ,sx i~ n x ,arcx~ sx i.n
原式 lim (x1)xlim (x1) 1.
x 0 x
x0
注意 不能滥用等价无穷小代换.
切记，只可对函数的乘积因子作等价无穷小代 换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.
y 1 x2 2
y1coxs
例7 求 lim ta5x ncox s1. x 0 si3n x
解：由定理2有： ta 5 x n 5 x o (x ),
s3 ix n 3 x o (x ), 1coxs1x2o(x2). 2
5xo(x)1x2o(x2)
原式 lim
2
x 0
3xo(x)
5o(x) 1xo(x2)
taxnsin x为x的三阶无 . 穷小
二、等价无穷小
定理1(等价无穷小代换定理)
设 ~,~且 li m 存, 在 则lim lim .
证
lim
lim( )
lim lim lim
lim
.
意义：在求极限时，分子或分母可用等价无穷小代替
例２
求limex
1 .
x0 x
解 令ex1u, axn)
定理 2 与是等价无穷小的 必的 要充 条 为o()称 . 是 的主要部分．
证 必要性 设~，
lim lim 1 0，
o () ， 即 o () ．
充分性 设 o()．
lim limo()
lim（１＋o()） 1，
~．
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 当 x0时 , sixn ~x, 1co x~ s1x2. 2 sixn xo (x ), 1coxs1x2o(x2). 2
不能． 例当 x 时
f (x) 1 , g(x) sinx 都是无穷小量
x
x
但 lim g(x) limsinx 不存在且不为无穷大 x f ( x) x
故当 x 时f(x)和 g(x)不 能 比 较 .
一、作业
作业和答疑
P59：3（1） 4（2）（3）（4）, 5
二、答疑 时间：每周一、三下午：1：30 ~ 4：00 地点：理学馆六楼614
lim
x0
x 2 x 3o(x)
5 3
.
x
三、小结
1、无穷小的比较
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2、等价无穷小的代换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
思考题
任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答