高等数学 无穷小比较

y 1 x2 2
y1coxs
例7 求 lim ta5x ncox s1. x 0 si3n x
解：由定理2有： ta 5 x n 5 x o (x ),
s3 ix n 3 x o (x ), 1coxs1x2o(x2). 2
5xo(x)1x2o(x2)
原式 lim
2
x 0
3xo(x)
5o(x) 1xo(x2)
sinx与x大致相;同
lim
x0
x 2 sin x2
1 x
limsin1 x0 x
不存在. 不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义1设 : ,是同一过程中穷 的小 ,且 两 个 0. 无
(1)如l果 i m 0 ，就 是 说 比 高阶的 , 无
记作 o()；
(２ )如l果 im ，就 是 说比 低阶的无
则 x 当 0 时 ,有 u 0 ,
ex1
u
lim lim
lim
x 0 x u 0ln1(u) u0
1
1
ln(1 u)u
1
1
1 1. ln e
ln[lim(1 u)u ]
u0
即， x 0时 当 ex ， 1 , x~ln 1(x).
常用等价无穷小:当 x0时 ,
x~sixn~taxn~arcsxi~narctxan x~ln 1(x)~ ex 1 1coxs ~1x2,
1 x3
原式
lim
x0
2 (2x)3
1 16
.
2
例6 求lim1tanx 1tanx.
x0
12x1
解 当 x0时 ,tanx~x, 12x1~1(2x)
2
原 式 lim 2taxn x 0x( 1taxn1taxn )
lim taxnlim
2
x 0 x x 0( 1taxn1taxn)
lim
2
1.
穷小代换，而不会改变原式的极限．
例４ 求lim (x1)sin x. x0 arcsxin
解 当 x 0 时 ,sx i~ n x ,arcx~ sx i.n
原式 lim (x1)xlim (x1) 1.
x 0 x
x0
注意 不能滥用等价无穷小代换.
切记，只可对函数的乘积因子作等价无穷小代 换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.
不能． 例当 x 时
f (x) 1 , g(x) sinx 都是无穷小量
x
x
但 lim g(x) limsinx 不存在且不为无穷大 x f ( x) x
故当 x 时f(x)和 g(x)不 能 比 较 .
一、作业
作业和答疑
P59：3（1） 4（2）（3）（4）, 5
二、答疑 时间：每周一、三下午：1：30 ~ 4：00 地点：理学馆六楼614
(3)如l果 im C0,就 说 与 是同阶;的
特殊 如 地 l果 im ， 1,则称 与 是等价;的
记 作 ~;
(4 )如 li果 m k C 0 ,k 0 ,就是 说 的 k阶的 .
例如， limx2 0，
x0 3x
即 x2o (3 x )(x 0 ).
当 x 0时x， 2是3 比 x高阶的; 无穷
第八节 无穷小的比较
• 一、无穷小的比较 • 二、等价无穷小代换 • 三、小结 思考题
一、无穷小的比较
例如, 当 x 0时 ,x,x2,six n,x2si1 n都是无 . x
观 察 各 极 限 （ 0 型） 0
lim x 2 0, x0 3 x
x2比3x要快得;多
lim sin x 1, x0 x
lim
x0
x 2 x 3o(x)
5 3
.
x
三、小结
1、无穷小的比较
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2、等价无穷小的代换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
思考题
任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答
2 n1x1~1x, (1 x )a 1 ~ a(a x 0 )
n ax 1 ~ xlna(a0)
例３ 求limtan22x. x0 1coxs
解
当 x 0时 ,1co x~ s1x2, 2
ta 2 x ~ n 2 x .
原式
(2x)2 lim
x0
1 x2
8.
2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无
limsinx 1， x0 x
即 six~ n x (x 0 ).
当 x 0时 si， x n与 x是等价 ． 无穷
例1 证:当 明 x 0 时 ,tax nsix为 nx的三阶 .
证明: lx im 0tanxx3sinx x l i0m taxn(1 x 3cox)s lx i0(m c1o xs sx ixn 1x c2o x)s lx i0c m 1o xlx s i0s m x ixn lx i01 m x c2o x s 12 ,
例５ 求lim taxnsin x. x 0 si3n2x
错解 当 x 0 时 ,ta x ~ n x , sixn ~x.
原式limxx
x0 (2Baidu Nhomakorabea)3
0.
解 当 x0时 , si2n x~2x, 1coxs~1x2,
tx a sn x i t n x a ( 1 c n x ) o ~ 1 x s 3 ,2
taxnsin x为x的三阶无 . 穷小
二、等价无穷小
定理1(等价无穷小代换定理)
设 ~,~且 li m 存, 在 则lim lim .
证
lim
lim( )
lim lim lim
lim
.
意义：在求极限时，分子或分母可用等价无穷小代替
例２
求limex
1 .
x0 x
解 令ex1u, 即 xln 1 (u),
x 0( 1taxn 1taxn)
定理 2 与是等价无穷小的 必的 要充 条 为o()称 . 是 的主要部分．
证 必要性 设~，
lim lim 1 0，
o () ， 即 o () ．
充分性 设 o()．
lim limo()
lim（１＋o()） 1，
~．
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 当 x0时 , sixn ~x, 1co x~ s1x2. 2 sixn xo (x ), 1coxs1x2o(x2). 2