同济大学高等数学第一章无穷小比较

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高数同济17无穷小的比较

注意对于代数和中各等价无穷小一般不能替换.
若 ~ , ~ 且与不等价 , 则 - ~ - ,
下页
13
常用等价无穷小:
sin x ~ x , ln( 1 + x ) ~ x ,
当x 0时,
arctan x ~ x ,
arcsin x ~ x , tan x ~ x ,
例13
x 0
lim
1 x si n x lim2 3 lim 1 x 0 x 0 2 x x
15
结束
内容小结 1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
0
是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的 k 阶无穷小
1 2 e - 1 ~ x , 1 - cos x ~ x , (1 + x ) - 1 ~ x . 2

注意对于代数和中各等价无穷小一般不能替换.
若 ~ , ~ 且与不等价 , 则 - ~ - ,
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常用等价无穷小:
sin x ~ x , ln( 1 + x ) ~ x ,
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常用等价无穷小:
sin x ~ x , ln( 1 + x ) ~ x ,
当x 0时,
arctan x ~ x ,
arcsin x ~ x , tan x ~ x ,
x
1 2 e - 1 ~ x , 1 - cos x ~ x , (1 + x ) - 1 ~ x . 2
例9
tan2 2 x 求 lim . x 0 1 - cos x

同济高数大一上学期知识点

同济高数大一上学期知识点一、函数与极限1. 函数的定义与性质1.1 函数的概念1.2 奇偶函数与周期函数1.3 反函数与复合函数2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义与表达式2.2 极限的唯一性与有界性2.3 极限的四则运算法则2.4 集合与极限的关系3. 无穷大与无穷小3.1 无穷大的定义与性质3.2 无穷小的概念与性质3.3 无穷小的比较与运算3.4 引理与重要极限4. 两个重要的极限4.1 e的极限与自然对数4.2 sin和cos的极限与圆周率二、导数与微分1. 导数的引入1.1 导数的定义与几何意义1.2 导数存在的条件与计算法则2. 导数的运算法则2.1 常数函数与幂函数的导数 2.2 反函数与复合函数的导数 2.3 三角函数的导数2.4 隐函数与参数方程的导数3. 高阶导数与导数的几何意义 3.1 高阶导数的定义与计算 3.2 导数与函数的图象4. 微分与近似计算4.1 微分的定义与性质4.2 微分中值定理与应用4.3 泰勒公式的概念与应用三、一元函数的应用1. 最值与驻点1.1 极值与最值的概念1.2 函数的极值判定1.3 连续函数的最值定理1.4 驻点的概念与判定2. 函数的图象与曲线的参数方程 2.1 函数的图象与曲线2.2 参数方程的概念与性质2.3 参数方程与函数图象的关系 2.4 高阶导数与曲线的凹凸性3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的定义与性质3.2 基本积分法与换元积分法 3.3 定积分的定义与几何意义 3.4 牛顿-莱布尼茨公式的应用4. 微分方程4.1 微分方程的基本概念4.2 一阶微分方程的求解4.3 高阶线性微分方程的求解综上所述，本文介绍了同济大学高等数学第一学期的知识点，包括函数与极限、导数与微分、一元函数的应用等。

这些知识点是大一上学期数学学习的基础内容，对建立数学思维和解决实际问题具有重要意义。

通过深入学习这些知识点，可以为后续的高等数学学习打下坚实的基础。

高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.6-1.7 两个重要极限无穷小比较

课时授课计划课次序号：05一、课题：§1.6极限存在准则两个重要极限§1.7 无穷小的比较二、课型：新授课三、目的要求：1.了解极限的两个存在准则，并会利用它们求极限；2.掌握利用两个重要极限求极限的方法；3.掌握无穷小阶的概念以及利用等价无穷小替换求极限的方法.四、教学重点：利用两个重要极限以及等价无穷小替换求极限.教学难点：利用极限的存在准则求极限.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–6 1（1）（6），2（3）；习题1–7 1，4（3）八、授课记录：九、授课效果分析：复习1.无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系；2.极限运算法则：无穷小运算法则、四则运算法则、复合函数极限运算法则. 有些函数的极限不能（或者难以）直接应用极限运算法则求得，往往需要先判定极限存在，再用其他方法求得.下面先介绍判定函数极限存在的两个准则，然后介绍两个重要极限.在此基础上，进一步介绍无穷小的比较与等价无穷小的性质．第六节极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则1. 夹逼准则定理1 如果数列{}{}n n y x 、及{}n z 满足下列条件：（1）()...321，，=≤≤n z x y nn n ，（2），，a z a y n n n n ==∞→∞→lim lim 那么数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 。

证 ,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε1,n n N y a ε>-<当时,恒有 2,n n N z a ε>-<当时,恒有},,max{21N N N =取上两式同时成立, ,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n所以恒有时当,N n >,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n.lim a x n n =∴∞→例1 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 解11112222+<++++<+n n nn n nn n ，而 11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ，所以原式极限为1.定理1/ 设在点x 0的某去心邻域有12()()()F x f x F x ≤≤, 且0lim x x →F 1(x )= 0lim x x →F 2(x )=A ，则0lim ()x x f x →=A .证由已知条件, ∃δ1＞0,当x ∈0U (x 0,δ1)时, 12()()()F x f x F x ≤≤.又由0lim x x →F 1(x )=0lim x x →F 2(x )=A 知: ∀ε＞0,∃δ2＞0,当x ∈0U (x 0,δ2)时,｜F 1(x )-A ｜＜ε,∃δ3＞0,当x ∈0U (x 0,δ3)时,｜F 2(x )-A ｜＜ε.取δ=min(δ1,δ2,δ3),则当x ∈0U (x 0,δ)时,得 A -ε＜12()()()F x f x F x ≤≤＜A +ε.由极限定义可知，0lim ()x x f x A →=.夹逼定理虽然只对x →x 0的情形作了叙述和证明,但是将x →x 0换成其他的极限过程,定理仍成立,证明亦相仿.例如,若∃X ＞0使x ＞X 时有12()()()F x f x F x ≤≤,且lim x →+∞F 1(x )=lim x →+∞F 2(x )=A , 则lim x →+∞f (x )=A.2. 单调有界准则定义数列{}n x 的项若满足x 1≤x 2≤…≤x n ≤x n +1≤…，则称数列{}n x 为单调增加数列；若满足x 1≥x 2≥…≥x n ≥x n +1≥…，则称数列{}n x 为单调减少数列．当上述不等式中等号都不成立时，则分别称{}n x 是严格单调增加和严格单调减少数列．定理2 单调有界数列必有极限．该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去．例2 证明数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛．证只需证明11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调增加且有上界．当a ＞b ＞0时，有 a n +1-b n +1=(a -b )(a n +a n -1b +…+ab n -1+b n )＜(n +1)(a -b )a n , 即a n ［(n +1)b -na ］＜b n +1．（8）取a =1+1n ，b =1+11n +代入(8)式，得 11n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜1111n n +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，即数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是单调增加的．取a =1+12n ，b =1代入(8)式，得 112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜2，从而2112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4，n =1，2，…，又由于 211121n n -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＜2112nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4，所以11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜4对一切n =1，2，…成立，即数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有界，由收敛准则可知11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭收敛．我们将11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的极限记为e ，即 1l i m 1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e ．二、两个重要极限利用夹逼定理，可得两个非常重要的极限.1. 第一个重要极限 0sin lim1x x x→=我们首先证明0sin lim1x x x+→=.因为x →0+，可设x ∈（0，2π）.如图1－35所示，其中， EAB为单位圆弧，且OA =OB =1，∠AOB =x ，则OC =cos x ，AC =sin x ，DB =tan x ，又△AOC 的面积＜扇形OAB 的面积＜△DOB 的面积，即 cos x sin x ＜x ＜tan x .因为x ∈（0，2π），则cos x ＞0，sin x ＞0，故上式可写为cos x ＜sin x x＜1cos x.由0lim cos 1x x →=，01lim1cos x x→=，运用夹逼定理得 0sin lim 1x x x+→=. 注意到sin x x是偶函数，从而有0sin sin()sin limlim lim 1x x z x x z xxz--+→→→-===-.图1－35综上所述，得 0s i n l i m1x x x →=.例3 证明0tan lim1x x x→=.证 0tan sin 1limlimcos x x x x xxx→→=⋅sin 1limlim1cos x x x xx→→=⋅=.例4 求21cos limx xx→-.解 22220002(sin )sin1cos 1122lim lim lim 222x x x xx x xx x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪⎪⎝⎭. 例5 求3tan sin lim x x xx →-.解 33tan sin sin (1cos )limlimcos x x x xx x xx x→→--=20s i n 1c o s 11l i m c o s 2x x x x x x→-=⋅⋅=.例6 求1lim sinx x x→∞.解令u =1x，则当x →∞时，u →0，故01sin lim sinlim1x u u x x u→∞→==.从以上几例中可以看出，0sin lim1x x x→=中的变量可换为其他形式的变量，只要在极限过程中，该变量趋于零.即如果在某极限过程中有lim ()0u x =（()u x ≠0），则sin ()lim1()u x u x =.2.第二个重要极限 1lim (1)e x x x→∞+=前面我们已证明了1lim (1)e nn n→∞+=.对于任意正实数x ，总存在n ∈N ，使n ≤x ＜n +1，故有1+11n +＜1+1x≤1+1n，及1111(1)(1)(1)1nxn n xn++<+<++.由于x →+∞时，有n →∞，而11(1)11lim (1)lime 1111n nn n n n n +→∞→∞+++==+++，1111lim (1)lim (1)(1)e n nn n nnn+→∞→∞+=++= ，由夹逼定理使得1lim (1)e xx x→+∞+=.下面证1lim (1)e xx x→-∞+=.令x =-（t +1），则x →-∞时，t →+∞，故(1)(1)11lim (1)lim (1)lim ()11xt t x t t t xt t -+-+→-∞→+∞→+∞+=+=++lim ()()e 11tt t t t t →+∞==++.综上所述，即有 1l i m (1)e xx x→∞+=.在上式中，令z =1x，则当x →∞时，z →0，这时上式变为1lim (1)e z z z →+=.为了方便地使用以上公式，常将它们记为下列形式：（1）在某极限过程（x →x 0，x →∞，x →-∞，x →+∞）中，若lim ()u x =∞，则()1lim 1e ()u x u x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦；（2）在某极限过程中，若lim ()0u x =，则 []1()lim 1()e u x u x +=.例7 求lim (1)xx k x→∞+（k ≠0）.解 l i m (1)l i m (1)xkxk x x k k xx →∞→∞+=+ l i m (1)ekx kkx k x →∞⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦. 例8 求1lim 2xx x x →∞+⎛⎫⎪+⎝⎭. 解 22111lim lim 1lim 1222xxx x x x x x x x +-→∞→∞→∞+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111lim 1lim 1e22x x x x x +--→∞→∞--⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ .例9 求0ln(1)limx x x→+.解 1ln(1)limlim ln(1)ln e =1x x x x x x→→+=+=.例10 求0e 1limxx x→-.解令u =e x -1，则x =ln （1+u ），当x →0时，u →0，故e 11limlimlim1ln(1)ln(1)xx u u u u xu u→→→-===++.例11 求ln ln limx ax a x a→--（a ＞0）.解令u =x -a ，则x =u +a ，当x →a 时，u →0，故ln ln ln()ln limlimx au x a u a ax au→→-+-=-011limln(1)au u u aaa→=+=.第七节无穷小的比较同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度并不一定相同，研究这个问题能得到一种求极限的方法，也有助于以后内容的学习.我们用两个无穷小量比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度.一、无穷小阶的概念定义设(),()x x αβ是同一极限过程中的两个无穷小量：lim ()0,lim ()0x x αβ==.若()lim0()x x αβ=，则称()x α为()x β的高阶无穷小，记为α（x ）= o （β（x ））. 若()lim()x x αβ=∞，则称()x α为()x β的低阶无穷小，记为β（x ）= o （α（x ））. 若()lim ()x A x αβ=（A ≠0），则称()x α是()x β的同阶无穷小. 特别地，当A =1时，则称α（x ）与β（x ）是等价无穷小，记为α（x ）~β（x ）. 若在某极限过程中，α是βk的同阶无穷小量（k ＞0），则称α是β的k 阶无穷小. 例如：因为01cos lim0x xx →-=，所以当x →0时，1-cos x 是x 的高阶无穷小量，即1-cos x =o （x ）（x →0）.因为21cos 1lim2x xx→-=，所以当x →0时，1-cos x 是x 2的同阶无穷小量，即1-cos x =O （x 2）（x →0）.因为0sin lim1x x x→=，所以当x →0时，与sin x 与x 是等价无穷小量，即sin x x （x →0）.二、等价无穷小的性质等价无穷小在极限计算中有重要作用.定理1 设α ，β为同一极限过程的无穷小量，则()o αββαα⇔=+ .定理2 设,,,ααββ''为同一极限过程的无穷小量，,ααββ'' ，若limαβ存在，则 limlimααββ'='.证因为,ααββ'' ，则lim1αα'=,lim1ββ'=，由于αααββαββ'''=',又limαβ存在，所以 l i m l i m l i ml i m l i m αααβαβαβββ''==''. 定理2表明,在求极限的乘除运算中，无穷小量因子可用其等价无穷小量替代，这个结论可写为以下的推论.推论1 设,ααββ'',若()lim f x αβ存在或为无穷大量，则 ()()limlimf x f x ααββ'='.推论2 设αα' ，若lim ()f x α存在或为无穷大，则 lim ()lim ()f x f x αα'=. 在极限运算中，常用的等价无穷小量有下列几种：当x →0时，sin ,tan ,arcsin ,arctan ,x x x x x x x x ，1-cos x ~212x ，ex-1~x ，ln （1+x ）~x，1~2x ，(1)a x +-1~αx （α∈R ）.例1 当x →0时,22~2x x x -,232~x x x -, 2sin ~x x x +, c o s ~2x x .例2 求0tan 7limsin 5x x x→.解因为x →0时，tan7x ~7x ，sin5x ~5x ，所以 00tan 777limlimsin 555x x x x xx→→==.例3 求0eelimsin sin axbxx ax bx→-- (a ≠b ).解 ()0e ee [e 1]limlimsin sin 2cossin22axbxbx a b xx x a ba b ax bxx x-→→--=+--()0e e1limlim cos2sin22bx a b xx x a b a b xx-→→-=+- 0()lim1()22x a b x a b x→-==- .例4 求223lim ln(1)x x x→∞+. 解当x →∞时，2233ln(1)xx+，故222233lim ln(1)lim 3x x x x xx→∞→∞+== .例5 当x →0时，tan x -sin x 是x 的几阶无穷小量？解 23330tan sin tan (1cos )12limlimlim2x x x xx x xx x xxx →→→⋅--===，所以，当x →0时，tan x -sin x 是x 的三阶无穷小量. 例6求21limsin 2x x x→+.解211~()~22x x x +，2sin 2~sin 2~2x x x x +，所以20112limlim sin 224x x xx xx →→==+. 课堂总结1.极限的存在准则：夹逼准则、单调有界准则；2.两个重要极限：1sin 1lim1,lim (1)e lim (1)e xx x x x x x xx→→∞→=+=+=或；3.无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k 阶；4.等价无穷小替换求极限的方法.。

同济大学《高等数学》(第四版)1-8节-无穷小的比较全篇

解
lim tan x0
x sin x x3
tan lim( x0 x
x 1 cos x x2 )
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
常用等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例4 求 limtan x sin x . x0 sin3 2 x
错解当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x
x0 (2 x)3
0.
解当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
一、无穷小的比较
例如, 当x 0时, x, x 2 , sin x, x 2 sin 1 都是无穷小.
x2 lim 0,
观 x0 3x
x
x 2比3 x要快得多;
察各
lim sin x 1,
sin x与x大致相同;
极限
x0 x
lim
x0
x 2 sin 1 x
x2
lim sin
x0
1 x
不存在.
证 lim lim( )
lim lim lim lim .
例3 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
(2 x )2
lim x0
1 x2
8.
2

同济大学《高等数学》(第四版)1-5节无穷小与无穷大

0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小关于无穷大的讨论都可归结为关于无穷小的讨论. 的讨论
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 两个定义四个定理三个推论、主要内容两个定义;四个定理三个推论. 四个定理;三个推论 2、几点注意: 、几点注意
值f (x)都足等 f (x) > M, 满不式
x 称数则函 f (x)当x →x0(或 →∞)时无小为穷 ,
作记
x→x0
lim f (x) = ∞ (或 lim f (x) = ∞ ).
x→ ∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大．特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
练习题答案
一、1、0； 3、 3、 ⇔ ； 2、 2、 lim f ( x ) = C ；
x→∞ x → ±∞
1 4、 4、 . f ( x)
1 二、 0 < x < 4 . 10 + 2
思考题
若 f ( x ) > 0 ，且 lim f ( x ) = A，
x → +∞
问：能否保证有 A > 0 的结论？试举例说明的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证. 不能保证

同济大学高等数学第七版1-7无穷小的比较省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

lim
lim
A(或).
证
lim
lim(
)
lim
lim
lim
lim A(或).
17
定理2(等价无穷小替代定理)
设
~
,
~
且
lim
A(或),
则
lim
lim
A(或).
替代意义？？
lim
lim
复杂
简朴
将常用旳等阶无穷小列举如下: 当 x0时
sin x ~ x
(4)
如果
lim
k
C
(C 0, k 0),
就说是关于的 k 阶无穷小.
(5) 如果 lim 1, 则称与是等价无穷小,
记作 ~ .
6
因为lim 3x 2 0 ，所以当x 0时，3x 2是比x 高阶旳无穷小， x0 x
即3x 2o(x)( x 0)．
例
比较无穷小：
1， n
1 n2
(n )
tan x x o( x),
arcsin x ~ x,所以当x 0时有 arcsin x x o( x),
1 - cos x ~ 1 x2 , 所以当x 0时有 2
1 - cos x 1 x2 o( x2 ). 2
16
定理2(等价无穷小替代定理)
设
~
,
~
且
lim
A(或),
则
8.
2
27
小结
1. 无穷小旳比较反应了同一过程中, 两无穷小趋于零旳速度
快慢, 但并不是全部旳无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 同阶(等价)无穷小; 无穷小旳阶. 2. 等价无穷小旳替代

高等数学《无穷小比较》课件

说明:
无穷小的性质,
(1) 和差取大规则:
由等价
可得简化某些极限运算的下述规则.
若 = o() ,
(2) 和差代替规则:
例如,
例如,
(见下页例3)
(3) 因式代替规则:
界, 则
例如,
例3. 求
解:
原式
例4. 求
解:
例5. 证明: 当
时,
证:
利用和差代替与取大规则
说明
内容小结
记作
例如 , 当
～
时
～
～
又如，
故
时
是关于 x 的二阶无穷小,
～
且
例1. 证明: 当
时,
～
证:
～
例2. 证明:
证:
因此
即有等价关系:
说明: 上述证明过程也给出了等价关系:
～
～
定理1.
证:
即
即
例如,
～
～
故
定理2 . 设
且
存在 , 则
证:
例如,
设对同一变化过程 ,
, 为无穷小 ,
第一章
都是无穷小,
第七节
引例 .
但
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
无穷小的比较定义.若源自则称是比高阶的无穷小,
若
若
若
若
或
设
是自变量同一变化过程中的无穷小,
记作
则称是比低阶的无穷小;
则称是的同阶无穷小;
则称是关于的 k 阶无穷小;
则称是的等价无穷小,
常用等价无穷小 :
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且

高数-无穷小的比较【可编辑全文】

y 1 cos x
常用等价无穷小:当x 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) x ~ e x 1, 1 cos x ~ 1 x2 , (1 x)a 1 ~ ax (a 0)
2
二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理)
练习题
一、填空题：
1. lim tan 3 x =__________. x0 sin 2 x
2. lim arcsin x n =________. x0 (sin x)m
3. lim ln(1 2x) =_________.
x0
x
4. lim x0
1 x sin x 1=________. x 2 arctan x
0
sin x 比 x2 要慢 .
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说是比高阶的无穷小,
记作 o()；
(２) 如果lim ，就说是比低阶的无穷小．
(3) 如果 lim C 0,就说与是同阶的无穷小;
0.
解当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 x3 2
1
.
2
x0 (2 x)3 16
三、小结
1. 无穷小的比较
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
设 ~ , ~ 且lim 存在,lim( )

第六节--无穷小的比较精选全文完整版

例2 当x 0时,求 tan x sin x关于x的阶数.
解 tan x sin x tanx(1 cos x) tan x 2sin2 x .
lim
x0
tan
x x3
sin
x
tan x lim( x0 x
2 s in2 x2
x 2
)
1, 2
2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
(1 x)a 1 ~ a x (a 0), (n 1 x 1 ~ 1 x ) n
二、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
存在
,则
lim
lim
.
证 lim lim( )
lim
lim lim
lim
.
类似地，乘法也有等价无穷小替换定理，即若 ~ ,
(2) 若是 x 的无穷小 , 常取 1 为基本无穷小 ; x
如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0) , 就说当 x
0时
是 x 的 k 阶无穷小.
例1 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解
lim
x0
4x
tan3 x4
x
4 lim x0
tan x
x
3
4,
故当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解原式 lim
1 cos x
x0 x(1 cos x )(1 cos x )
1
1 cos x
lim
2 x0 x(1 cos x )
1 lim
1 x2 2
2 x0 x 1 x

同济版高等数学(上册) 第一章课件

第一章函数、连续与极限
正弦函数
y sin x
y sin x
19
1. 基本初等函数
第一章函数、连续与极限
余弦函数
y cos x
y cos x
20
1. 基本初等函数
第一章函数、连续与极限
y tan x
的定义域是
上是奇函数（见图1-24）； y cot x 上是奇函数（见图1-25）；
a A 表示 a 不是集 A 的元素（读作 a 不属
于 A ）. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集，不含任何元素的集合称为空集，记为 .
3
集合之间的关系及运算
定义 . 设有集合
第一章函数、连续与极限
A, B ,
记作
若
x A 必有
x B , 则称 A A B.
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 若
注：在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.
5
1. 集合及其运算集合的基本运算有四种：并、交、差、补. 设 A, B 是两个集合.
第一章函数、连续与极限
由同时包含于 A 与 B 的元素构成的集合（见图 1-2），称为 A 与 B 的交集（简称交），记作 A B ，即 A B {x | x A 且 x B} ；由包含于
y

y x (α 是常数) Z y x 当时，的定义域是 R ；当 Z 时，y x 的定义域是 R\{0}
(１) 幂函数: （见图1-17）；
1 1 当时，y x 2 x 的定义域是 [0, ) ； 1 21 1 当时，y x 2 的定义域是 (0, ) , 2 x

高等数学教学教案无穷小的比较函数的连续性与间断点(优秀版)word资料

高等数学教学教案无穷小的比较函数的连续性与间断点（优秀版）word资料§1.7 无穷小的比较§1. 8 函数的连续性与间断点授课次序07§1. 8 函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量: 设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作∆u , 即∆u =u 2-u 1.设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+∆x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+∆x ), 因此函数y 的对应增量为∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0).函数连续的定义设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量∆x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0 )也趋于零, 即0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数y =f (x )在点x 0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设x =x 0+∆x , 则当∆x →0时, x →x 0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-f (x 0)|<ε , 那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续.左右连续性: 如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续.如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续.左右连续与连续的关系:函数y =f (x )在点x 0处连续⇔函数y =f (x )在点x 0处左连续且右连续.函数在区间上的连续性: 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→.2. 函数x x f =)(在区间[0, +∞)内是连续的.3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.高等数学辅导要点( 一 ) 、函数、极限、连续、1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。

同济大学高等数学第六版上第一章第五节-极限运算法则PPT课件

x l x 0 i f ( m x ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 )),且 Q (x0)0, 则有
f ( x ) A ,g ( x ) B .其 0 , 中 0 .
由无穷小运算法则,得
-
15
[ f ( x ) g ( x ) ( ] A B )0.(1)成立.
[f( x ) g ( x ) ] ( A B ) (A )B ( ) AB
(A B ) 0.
(2)成立.
limf([x)n ][lim f(x)n ].
⑤定理的条件： limf(x),limg(x) 存在
商的情形还须加上分母的极限不为0
⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商
⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立
-
18
五、求极限方法举例
例1 求lx im 2x2x33x15.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ( 或正数X ), 使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切x ,对应的函数值
f (x)都满足不等式 f (x) ,
那末称函数f (x) 当x x0(或x )时为无穷小,
记作 lim f (x) 0 (或lim f (x) 0).
xx0
x
例如,
lim six n0, 函s数 ix n是x当 0时的无 . 穷 x 0
-
2
lim1 0, x x
函数 1是当 x时的无. 穷小 x
lim(1)n 0, n n
数{列 (1)n}是n 当时的无 . n

高等数学(同济大学版) 课程讲解第一章习题课1教学内容

课时授课计划课次序号：08 一、课题：第一章函数与极限习题课二、课型：习题课三、目的要求：1.加深对函数、极限、连续等基本概念的理解；2.熟练掌握极限的运算方法.四、教学重点：极限运算、两个重要极限、无穷小比较、函数的连续性．教学难点：极限存在准则．五、教学方法及手段：讲练结合，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学习题课讲义》，同济大学数学教研组主编，高等教育出版社；3.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：总复习题一3（2）（3），8（2）（4）（6），10，11，12八、授课记录：九、授课效果分析：第一章函数与极限习题课一、主要内容1. 函数函数的概念与特性，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数.2. 极限极限定义、运算、性质，两个重要极限，无穷小比较，极限存在准则.3. 连续函数连续的概念，间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质，分段函数的连续性.二、典型例题1. 求复合函数例1设()f x =[()]f f x .解[()]f f x ===.2. 利用函数概念求函数表达式例2 设(e )1sin xf x x =++，求()f x .解令e xt =，则ln x t =，()1ln sin(ln )f t t t =++，()1ln sin(ln )f x x x ∴=++. 例3 设2()sin ,[()]1f x x f x x ϕ==-,求()x ϕ.解 2[()]sin ()1f x x x ϕϕ==-,2()arcsin(1),[x x x ϕ∴=-∈.3. 求00或∞∞型未定式的极限例4 330()lim h x h x h→+-解 []223300()()()()lim limh h x h x x h x h x x x h x h h→→⎡⎤+-+++++-⎣⎦= 222lim ()()3h x h x h x x x →⎡⎤=++++=⎣⎦. 例5 3x →解33(23)92)x x x →→+-=343x x →→===.例6 limx解limlim1x x ==.4.求0⋅∞或∞-∞型未定式的极限例7 1lim x-→解1111lim lim lim(1)2x x x x x ----→→→→===+=. 例8 1lim x →313()11x x --- 解 233211113132lim()lim lim 11111x x x x x x x x x x x →→→++----===----++. 5. 求幂指函数（001,0,∞∞型未定式）的极限例9 32lim 22xx x x →∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭解 22223211lim lim 1lim 1222222x x x xxx x x x x x x --→∞→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2211lim 1e, lim 22222xx x x x x -→∞→∞⎛⎫+==- ⎪--⎝⎭Q ，1232lim e 22xx x x -→∞-⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭；例10 21ln(1)0lim(cos )x x x +→解 1222cos 1cos 111ln(1)ln(1)ln(1)lim(cos )lim(1cos 1)lim (1cos 1)x x x x x x x x x x x --+++→→→⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦， 1cos 1222000cos 112lim(1cos 1)e,lim lim ln(1)2x x x x x x x x x -→→→--+-===-+Q ，211ln(1)20lim(cos )e x x x -+→∴=. 6. 极限的反问题例11 55)(2-++=x bx ax x f （b a ,为常数），问b a ,分别取何值时，有（1）1)(lim =∞→x f x （2）0)(lim =∞→x f x （3）1)(lim 5=→x f x解（1）1,0==b a （2）0,0==b a（3）由已知得 0)5(lim 25=++→bx ax x ，所以 015=++b a ，代入原式115)1(lim 555lim 525=-=-=-+--→→a ax x x ax ax x x ，所以3,52-==b a . 7. 利用夹逼准则求极限例12 nnnnn 321lim ++∞→解 nn n n 333213⋅≤++≤Θ, 333213⋅≤++≤∴n n n n ,而333lim =⋅∞→n n ,33lim =∞→n , ∴3321lim =++∞→n n n n n8. 利用单调有界准则求极限例13 若x 1,x 2，x n +1n =1,2,…），求lim n n x →∞.解因为12x x ==有21x x >,今设1k k x x ->，则1k k x x +，由数学归纳法知，对于任意正整数n 有1n n x x +>，即数列{}n x 单调递增.又因为12x =<，今设2k x <，则12k x +==，由数学归纳法知，对于任意的正整数 n 有2n x <，即数列{}n x 有上界，由极限收敛准则知lim n n x →∞存在.设lim n n x b →∞=，对等式1n x +=两边取极限得b =22b b =+，解得2b =，1b =-（由极限的保号性，舍去），所以lim 2n n x →∞=. 9. 求n 项和（或积）数列的极限例14 21111lim 3153541n n →∞⎛⎫++++⎪-⎝⎭L解 211111111lim lim 3153541133557(21)(21)n n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪-⋅⋅⋅-+⎝⎭⎝⎭L L 11111111lim 12335572121n n n →∞⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭L 111lim 12212n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭. 例15 设2coscos cos 222n n x x xx =L ，求lim n n x →∞.解 2sin sincos cos cos sin 222222nn n n n xx x x x xx ==L ,sin (0)2sin 2n n n x x x x ∴=≠, sin sin sin lim limlim(0)2sin 222nnn n n n n n x x xx x x x x →∞→∞→∞∴===≠g .当0x =时，1n x =，lim 1n n x →∞=10. 无穷小的比较与无穷小阶的确定例16 若0→x 时，21cos(e 1)x --和nm x 2等价无穷小，则,m n 各为多少？解因为当0→x 时，2~cos 12x x -，e 1~xx -，所以222(e 1)1cos(e 1)~2x x ---，从而22224(e 1)()~222x x x -= ,所以 1,4-==m n .例17 0limx→解)()22000112lim x x x x x →→→==4x →==例18 0limx →ln cos 2ln cos3xx解 [][]000ln 1(cos 21)ln cos 2cos 21limlim limln cos3ln cos311(cos31)x x x x x x x x x →→→+--==-+- 22200021(2)1cos 2442lim lim lim .11cos399(3)2x x x x x x x x x →→→-====- 例19 0x → 解2000122lim lim 2sin 24x x x x x xx x →→→+===. 11. 讨论函数的连续性与间断点例20 求下列函数的间断点，并说明类型（1）⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-+=-001)1ln()(11x ex x x f x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+<π-=01)1(0sin )4()(22x x x x x x x x x f解（1）)(x f 的间断点可能为0、1.0=x Θ时，(0)0,f =lim ()lim ln(1)0(0)x x f x x f --→→=+==, 11100lim ()lim (0)x x x f x e e f +--→+→==≠0=∴x 为第一类跳跃间断点.又1=x Θ时，)(x f 在1=x 处无定义，且111lim x x e +-→=+∞，1=∴x 为)(x f 的无穷间断点.（2） ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--±=k x ,3,2,1,0都可能为间断点.当0=x 时，20(1)()0,lim ()lim 0(0)1x x x x f x f x f x ++→→+====-，而22000(4)4lim ()lim lim (4)(0)sin x x x x x x f x x f x x πππ---→→→--==-=≠, 0=∴x 为第一类跳跃间断点.当2-=x 时，)(x f 无定义，但π=+π-=-→-→8)2()4(lim)(lim 222x x x x f x x , 2-=∴x 时为可去间断点.当...............5,4,3,1k x ----±=时)(x f 都无定义，且极限为无穷大，因此全为无穷间断点.例21 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0)31ln(020sin )(x bx x x x x axx f 问常数b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.解 000ln(13)33lim ()lim lim x x x x x f x bx bx b---→→→--===-,000sin lim ()lim lim x x x ax ax f x a x x +++→→→===, 当0lim ()lim ()(0)2x x f x f x f -+→→===，即2,5.1=-=a b 时，)(x f 在0=x 处连续. 12. 闭区间上连续函数性质的应用例22 证明方程ln(1)20xe x +-=至少有一个小于1的正根.证令()ln(1)2e xf x x =+-,则()f x 在(,)-∞+∞上连续,因而在[0,1]上连续, 且0(0)ln(1)20ln 20e f =+-⨯=>, (1)ln(1)20e f =+-<,由零点定理知,至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0f ξ=.即方程ln(1)20xe x +-=至少有一个小于1的正根.三、课后练习1．求下列极限：(1) xx x x tan 2sinlim20→ (2) )sin 1cos (sin lim 0x x x x x -→ (3) n n n n 2)31(lim +-∞→ (4) )1ln()cos 1(1cossin 3lim 20x x x x x x +++→(5) x x x x )1232(lim ++∞→ (6) x x xx x 5sin 3sin lim0+-→ (7) 11sinlim-+∞→x x x x x （8）x x x x sin 1sin 1lim 0--+→2.(1) 已知⎪⎩⎪⎨⎧<->-+=1)1(13)(22x x x A x x f 且)(lim 1x f x → 存在，求常数A .(2) 已知02])2([5lim22=-+--+→x B x A x x ，试求常数A 、B.3. 求下列函数的间断点，并指明其类型.（1）)32()1()(11xxe e xf ++= （2）)4)(1(2)(---=x x xx f（3）231)(22+--=x x x x f （4）)4(2)(22--=x x xx x f4.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=00cos 22)(x ae x xx x f x ,问a 为何值时，)(x f 在0=x 处连续?5. 设函数)(x f 在],[b a 上连续，b d c a <<<，q p ,为正数.证明：在],[b a 内至少有一点ξ，使()()()()pf c qf d p q f ξ+=+.。

《高等数学》(同济大学第七版)上册知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。

大一同济高数知识点总结

大一同济高数知识点总结高等数学作为大一的重要课程，是理工科学生必修的一门基础学科。

同济大学的高等数学课程内容丰富，知识点繁多。

下面将对大一同济高数的知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握该科目。

一、极限与连续1. 极限的定义与性质- 数列极限的定义与运算法则- 函数极限的定义与运算法则2. 无穷大与无穷小- 无穷大与无穷小的定义- 无穷小的比较3. 连续与间断- 连续函数的定义与性质- 间断点的分类与判定二、导数与微分1. 导数的定义与计算- 导数的定义与几何意义- 基本求导公式与运算法则2. 微分与微分形式不定积分- 微分的定义与计算- 微分形式不定积分的概念与求法三、一元函数积分学1. 不定积分- 不定积分的定义与性质- 基本积分公式与运算法则2. 定积分- 定积分的定义与性质- 定积分的计算与应用四、一元函数微分方程1. 微分方程的基本概念- 微分方程与方程的关系- 微分方程的分类2. 一阶常微分方程- 一阶线性微分方程的求解方法- 可分离变量型微分方程的求解方法五、多元函数微分学1. 偏导数与全微分- 偏导数的定义与计算- 多元函数的全微分与偏导数的关系2. 方向导数与梯度- 方向导数的定义与计算- 多元函数的梯度与方向导数的关系六、多元函数积分学1. 重积分- 二重积分的定义与性质- 二重积分的计算与应用2. 曲线积分与曲面积分- 曲线积分的定义与计算- 曲面积分的定义与计算七、无穷级数1. 数项级数- 数项级数的概念与性质- 收敛级数与发散级数的判定2. 幂级数- 幂级数的定义与收敛域- 幂级数的求和与收敛半径以上是大一同济高数的主要知识点总结，希望同学们能够通过学习掌握这些知识，建立起扎实的高等数学基础，为将来的学习与研究打下坚实的基础。

祝愿大家在学业上取得优异的成绩！。

无穷小比较精选全文完整版

第一章
第七节
无穷小的比较
二等价无穷小在极限运算中的应用
一无穷小的比较
一无穷小的比较
定义
设
10
若
则称
和
是（当
时的）
同阶无穷小。
特别地当
时，
称它们为等价无穷小,
记成
进一步若
则称
是
k 阶无穷小。
20
若
则称
是比高阶的ຫໍສະໝຸດ 穷记成小量。类似地，
等价无穷大、高阶的无穷大等相应概念。
对无穷大量我们也可以定义同阶无穷大、
例1: 证明
提示即证明
(2)
证明
故
例当
～
时
～
～
例
故
时
是x2 的同阶无穷小.
～
例2. 证明: 当
时,
～
证:
～
注 :
时
记住以下等价无穷小
(1)三角函数
(2)指数函数
(3)对数函数
(4)幂函数
注 :
时
(1)三角函数
(2)指数函数
(3)对数函数
(4)幂函数
～
～
定理1.
证:
即
即
例如,
～
～
故
定理2 . 设
例
解:
加减时不能直接用。
(
法则）
(A) 和差取大规则：
例
注意到若
与
不等价，
不妨设
则有
(B) 和差代替规则:
若
且
故有
与
不等价，
则
(3)
内容小结
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且

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n
n
～
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定理1.
证:
～
o( )
lim 1 lim( 1) 0, 即 lim 0
～
o( ) , 即 o( )
例如, x 0 时,
～
tan x ～x , 故
tan x x o( x)
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说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 由等价
无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则.
(1) 和差取大规则: 若 = o() , 则 ~ 1 x sin x lim 例如, lim 3 3 x 0 3 x x 0 x 3 x (2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且与不等价 , lim , 则 ~ , 且 lim
x 0 时,
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定理2 . 设
且
存在 , 则
lim
证:
lim lim lim lim lim lim
例如,
2x 2 tan 2 x lim lim x 0 5 x 5 x 0 sin义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0 , 则称是比高阶的无穷小, 记作 o( ) 若 lim , 则称是比低阶的无穷小; 若 lim C 0 , 则称是的同阶无穷小;
若 lim k C 0 , 则称是关于的 k 阶无穷小; 若 lim 1, 则称是的等价无穷小, 记作 ~ 或 ~
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例如 , 当 x 0 时
x 3 o( 6 x 2 ) ; sin x ～ x ; tan x ～ x arcsin x ～x
但 ~ 时此结论未必成立 .

2x x tan 2 x sin x lim 1 例如, lim 2 1 x 1 x 0 x x 0 2
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(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 ( x) 极限存在或有界, 则例如,
lim ( x) lim ( x) 1 1 lim arcsin x sin lim x sin 0 x 0 x x 0 x
Th 2
～
思考与练习
P59 题1 , 2
作业 P59 3 ; 4 (2) , (3) , (4) ; 5 (3)
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又如，
1 cos x lim 2 x 0 x
故时
2 x 2 sin 2 lim 2 x 0 4( x ) 2
1 2
是关于 x 的二阶无穷小, 且
1 cos
1 x2 x～ 2
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例1. 证明: 当
证:
时,
～
n 1 n 1 n2 ( a b ) a b ( a b ) a b
内容小结
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 0
是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的 k 阶无穷小
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常用等价无穷小 :
～
～
～
～
2. 等价无穷小替换定理
第七节无穷小的比较
2
第一章
引例 . x 0 时 , 3 x , x , sin x 都是无穷小, 但
sin x 1 x lim , 0, lim x 0 3 x 3 x 0 3 x sin x lim 2 , x 0 x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
2
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tan x sin x 例1. 求 lim . 3 x 0 x
解: 原式
xx 原式 lim 3 x 0 x
lim
2 x 1 x 2 x 0
x3
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(1 1 . 例2. 求 lim x 0 cos x 1
解:
1 x2 )3
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