高等数学同济大学第七版-第一章无穷小比较

原式
lim
x0
2 (2
x)3
1. 16
2
例6 求 lim
x3
.
x 0 3 1 x2 1 1 sin x 1
解：当 x 0时，
31
x2
1
~
1 3
x2
，
1
sin x
1
~
1 2
sin
x
~
1 2
x
，
lim
x3
x 0 3 1 x2 1 1 sin x 1
lim
x3
x 0 1 x2 1 x 6
32
例 7 求下列极限：
特殊地，如果 lim 记作 ~ ;
1,则称 与 是等价的无穷小;
(4) 如果 lim k C 0, k 0,就说 是 的 k 阶 无穷小.
lim x 2 0， x0 3x
即 x2 o(3x) (x 0).
当 x 0时，x2 是比 3x高阶的无穷小;
lim sin x 1， 即 sin x ~ x (x 0).
例５
求
lim
x0
tan x sin sin3 2x
x
.
解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x x0 (2x)3
0.
错
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
1 x3
lim exln 1
sin x 3
1
x 0 1 cos x
。
x ln 1 sin x
lim
3
x 0 1 cos x
x sin x
lim
x0
3 1 x2
2
1 x2 lim 3 x 0 1 x2
2
2
3
。
三、小结
1、无穷小的比较
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2、等价无穷小的代换
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
补充 求 lim tan 5x cos x 1 .
x0
sin 3x
解 tan5x 5x o( x), sin 3x 3x o( x),
1 cos x 1 x 2 o( x 2 ).
2
5x o( x) 1 x 2 o( x 2 )
为：
o( ).称 是 的主要部分．
证 必要性 设 ~ ，
lim lim 1 0，
o()，即 o()．
充分性 设 o( )．
lim
o() lim
lim（１＋o()） 1，
~ ．
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 当x 0时, sin x ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2 sin x x o( x), 1 cos x 1 x2 o( x2 ). 2
（1）
lim x2 ln 1
x
3 x2 ；
解：当 x
ln 1
时，
3 x2
~
3 x2
，所以
lim x2 ln 1
x
3 x2
lim x2
x
3 x2
3
（2）
3 lim
sin x x
3x
x 0 1 cos x
解：
lim
x0
3
sin x x 1 cos x
3x
..
1 sin x x 1
lim 3x
3
x 0 1 cos x
第七节
无穷小的比较
2021/3/6
1
一、无穷小的比较
当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小. x
观
lim x 2 0, x0 3x
x2比3x要快得多;
察 各
lim sin x 1,
sin x与x大致相同;
极 x0 x
限
（0型）
lim
x0
x 2 sin x2
1 x
lim sin
例４ 求 lim (x 1)sin x . x0 arcsin x
解 当x 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x.
原式 lim (x 1)x lim( x 1) 1.
x0 x
x0
注意 不能滥用等价无穷小代换.
切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换.
x0
1 x
不存在. 不可比.
0
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义: 设 , 是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小,
记作 o( )；
(２) 如果 lim
，就说 是比 低阶的无穷小．
(3) 如果 lim C 0,就说 与 是同阶的无穷小;
证
lim
lim(
)
lim lim lim lim .
例３ 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2, 2
原式 lim (2x)2 x0 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
说明: 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘 积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作 等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．
x0 x
当 x 0时，sin x 与 x 是等价无穷小．
例1 证明:当x 0时, x2 tan3 x为x的五阶无穷小.
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5
例2 证明：当x 0时, n 1 x 1 1 x.
n
证:
an bn (a b)(an 1 an 2b
bn 1)
～
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定理1 与 是等价无穷小的充分必要条件
原式 lim
2
x0
3x o( x)
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5 lim
o( x) x
1 2
x
o( x 2 ) x
5
.
x0
3 o( x)
3
x
常用等价无穷小: 当x 0时,
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) x ~ e x 1, 1 cos x ~ 1 x2 , (1 x)a 1 ~ ax (a 0)
2
二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且lim 存在, 则: lim lim .