人教版平行四边形单元 易错题难题专题强化试卷学能测试试题

人教版平行四边形单元 易错题难题专题强化试卷学能测试试题
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD 中，30, 6, 63,BCD BC CD E ︒∠===是AD 边上的中点，F 是AB 边上的一动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到A EF '∆,连接A C '，则A C '的最小值为( )
A ．319
B ．313
C ．3193-
D ．63
2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接CD ，过E 作EF ∥DC 交BC 的延长线于F ，若四边形DCFE 的周长为18cm ，AC 的长6cm ，则AD 的长为（ ）
A ．13cm
B ．12cm
C ．5cm
D ．8cm
3．如图，正方形ABCD 中，AB=12，点E 在边CD 上，且CD=3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，下列结论： ①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC =28.8． 其中正确结论的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心1O ，再从中心1O 走到正方形1O GFH 的中点2O ，又从中心2O 走到正方形2O IHJ 的中心3O ，再从中心3O 走到正方形3O KJP 的中心4O ，一共走了312，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ）
A ．36m
B ．48m
C ．96m
D ．60m
5．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连结BF ，交AC 于点M ，连结DE ，BO ．若60BOC ∠=︒，FO FC =，则下列结论：①AE CF =；②BF 垂直平分线段OC ；③EOB CMB ∆∆≌；④四边形是BFDE 菱形．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，111A B C ∆中，114A B =，115AC =，117B C =．点2A 、2B 、2C 分别是边11B C 、11A C 、11A B 的中点；点3A 、3B 、3C 分别是边22B C 、22A C 、22A B 的中点；
；以此类推，则第2019个三角形的周长是（ ）
A ．20141
2 B ．20151
2 C ．20161
2 D ．201712
7．正方形ABCD ，CEFG 按如图放置，点B ，C ，E 在同一条直线上，点P 在BC 边上，PA PF =，且APF 90∠=︒，连接AF 交CD 于点M ，有下列结论：EC BP =①；BAP GFP ∠∠=②；2221AB CE AF 2+=
③；APF ABCD CEFG S S 2S +=正方形正方形④．其中
正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③④
8．如图，点P 在长方形OABC 的边OA 上，连接BP ，过点P 作BP 的垂线，交射线OC 于点Q ，在点P 从点A 出发沿AO 方向运动到点O 的过程中，设AP=x ，OQ=y ，则下列说法正确的是（ ）
A ．y 随x 的增大而增大
B ．y 随x 的增大而减小
C ．随x 的增大，y 先增大后减小
D ．随x 的增大，y 先减小后增大
9．如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(8,0)，点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度沿y 轴正半轴方向运动，同时，点Q 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度沿x 轴负半轴方向运动，设点P 、Q 运动的时间为(08)t t <<秒.以PQ 为斜边，向第一象限内作等腰Rt PBQ ∆，连接OB .下列四个说法：
①8OP OQ +=；②B 点坐标为(4,4)；③四边形PBQO 的面积为16；④PQ OB >.其中正确的说法个数有（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．将矩形沿AC 折叠，CD ′与AB 交于点F ，则AF ：BF 的值为（ ）
A ．2
B ．53
C ．54
D ．3
二、填空题
11．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．
12．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．
13．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+
12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．
14．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．
15．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．
16．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．
17．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．
18．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②S △ABG ＝32
S △FGH ；③△DEF ∽△ABG ；④AG+DF ＝FG ．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）
19．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，
20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）
三、解答题
21．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．
（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；
（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．
22．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．
（1）求证：AOE COF ∆≅∆；
（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；
（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．
23．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．
（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，
AB 6=，求AH 的长度； （2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MN
CF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：
①CEN DEG ∆∆≌；
②ENG ∆是等边三角形．
24．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．
（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；
（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；
（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC 的顶点A （10，0）、C （2，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上由点B 向点C 运动．
（1）求点B 的坐标；
（2）若点P 运动速度为每秒2个单位长度，点P 运动的时间为t 秒，当四边形PCDA 是平行四边形时，求t 的值；
（3）当△ODP 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．
26．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.
（发现与证明．．
）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2：'B D AC .
试证明以上结论.
（应用与探究）
在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）
27．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ．
（1）求EAF ∠的度数；
（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：
2BD BG DG AF DM =+=+．
28．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

（1）如图1，损矩形ABCD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，则该损矩形的直径是线段AC ，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。

如图1中：△ABC 和△ABD 有公共边AB ，在AB 同侧有∠ADB 和∠ACB ，此时∠ADB ＝∠ACB ；再比如△ABC 和△BCD 有公共边BC ，在CB 同侧有∠BAC 和∠BDC ，此时∠BAC ＝∠BDC 。

请再找一对这样的角来 ＝
（2）如图2，△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AC 为一边向形外作菱形ACEF ，D 为菱形ACEF 的中心，连结BD ，当BD 平分∠ABC 时，判断四边形ACEF 为何种特殊的四边形？请说明理由。

（3）在第（2）题的条件下，若此时AB ＝3，BD ＝42，求BC 的长。

29．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：
（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =
①求证：EF 与BD 互相平分；
②求证：222()2BE DF EF AB ++=；
（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成
立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.
（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒2246B BP PD +=时，求PD 之长.
30．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．
()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；
()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；
②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
如图，先作辅助线，首先根据垂直条件，求出线段ME 、DE 长度，然后运用勾股定理求出
DE 的长度，再根据翻折的性质，当折线'EA ，'AC 与线段CE 重合时，线段'AC 长度最
短，可以求出最小值.
【详解】
如图，连接EC,过点E 作EM ⊥CD 交CD 的延长线于点M.
四边形ABCD 是平行四边形，
6AD BC AD BC ∴==，，
E 为AD 的中点，30BCD ∠=︒，
330DE EA MDE BCD ∴==∠=∠=︒，，
又 EM CD ⊥,
133222
ME DE DM ∴===， 3315363CM CD DM ∴=+== 根据勾股定理得： 22223153319.22CE ME CM ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
根据翻折的性质，可得'3EA EA ==,
当折线'EA ，'AC 与线段CE 重合时，线段'AC 长度最短，此时'AC = 3193. 【点睛】
本题是平行四边形翻折问题，主要考查直角三角形勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键.
2．C
解析：C
【分析】
由三角形中位线定理推知ED ∥FC ，2DE=BC ，然后结合已知条件“EF ∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE 为平行四边形，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC ，即可得出四边形DCFE 的周长=AB+BC ，故BC=18-AB ，然后根据勾股定理即可求得．
【详解】
∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．BC＝2DE，
又EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
∴DC＝EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB＝2DC，
∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为18cm，AC的长6cm，
∴BC＝18﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，即AB2＝（18﹣AB）2+62，
解得：AB＝10cm，
∴AD＝5cm，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
由正方形的性质和折叠的性质得出AB=AF，∠AFG=90°，由HL证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确；
设BG=FG=x，则CG=12﹣x．由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出GC，即可得出②正确；
由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∠AGB=∠GCF，得出AG∥CF，即可得出③正确；
通过计算三角形的面积得出④错误；即可得出结果．
【详解】
①正确．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，由折叠的性质
得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF．在Rt△ABG和Rt△AFG
中，
AG AG
AB AF
=
⎧
⎨
=
⎩
，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由如下：
由题意得：EF=DE=1
3
CD=4，设BG=FG=x，则CG=12﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（12﹣x）2+82=（x+4）2，解得：x=6，∴BG=6，∴GC=12﹣6=6，∴BG=GC；
③正确．理由如下：
∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GC F=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF；
④错误．理由如下：
∵S△GCE=1
2
GC•CE=
1
2
×6×8=24．
∵GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE=3：2，∴S△GFC=3
5
×24=
72
5
≠28.8．
故④不正确，∴正确的有①②③．
故选B．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定的难度．
4．C
解析：C
【解析】
设正方形O3KJP的边长为a，根据正方形的性质知：O3O4=
2
a，
正方形O2IHJ的边长为2a，O2O3a，
正方形O1GFH的边长为4a，O1O2a，
正方形OCDF的边长为8a，OO1a，
∵AO=2OO
1am，
∴
2
，
解得：a=2m，
∴FD=8a=16m，
∴长方形花坛ABCD的周长是2×（2FD+CD）=6FD=96m，
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线与边长的关系，正方形的
倍，熟记性质是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
通过证△AEO≌CFO可判断①；利用矩形的性质证△OCB是正三角形，可得②；因
OB≠MB，得到③错误；通过证△EOB≌△FCB得到EB=FB，从而证④．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形
∴AB ∥DC,AO=OC
∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO
∴△AEO ≌CFO(AAS)
∴AE=FC ，①正确
∵四边形ABCD 是矩形
∴OC=OB
∵∠BOC=60°
∴△OCB 是正三角形，∴OB=OC
∵FO=FC
∴FB 是线段OC 的垂直平分线，②正确
∵BM ⊥OC ，∴△OMB 是直角三角形，∴OB ＞BM
∴EOB CMB ∆∆≌是错误的，即③错误
∵四边形ABCD 是矩形
∴EB ∥DF ，AB=DC
∵AE=FC
∴EB=DF
∴四边形EBFD 是平行四边形
∵△AEO ≌△CFO ，OF=FC ，∴AE=EO=OF=FC
∵△OBC 是正三角形，∴∠BOC=60°=∠BCO ，BC=BO
∴∠FCO=30°，∴∠FOC=30°
∴∠FOB=30°+60°=90°
∴∠EOB=90°=∠FCB
∴△EOB ≌△FCB(SAS)
∴EB=FB
∴平行四边形EBFD 是菱形，④正确
故选：C
【点睛】
本题考查矩形的性质和证明，解题关键是证明△AOE ≌△COF 和证明△BOC 是正三角形．
6．A
解析：A
【分析】
根据三角形的中位线可得，B 2C 2，A 2B 2，A 2C 2分别等于
12B 1C 1，12A 1B 1，12
A 1C 1，所以△A 2
B 2
C 2的周长等于△A 1B 1C 1周长的一半.进而推出第n 个三角形的周长
【详解】 解：∵114A B =，115AC =，117B C =,
∴△A 1B 1C 1的周长是16,
∵点2A 、2B 、2C 分别是边11B C 、11A C 、11A B 的中点,
∴B 2C 2，A 2B 2，A 2C 2分别等于12B 1C 1，12A 1B 1，12
A 1C 1, 以此类推，则△A 4
B 4
C 4的周长是
31×16=22 , ∴△A n B n C n 的周长是4
n 122
- , ∴当n=2019时，第2019个三角形的周长是=42018201421=22
, 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了三角形的中位线，解题的关键是找出题目的规律.
7．D
解析：D
【分析】
①由同角的余角相等可证出EPF BAP ≅，由此即可得出EF BP =，再根据正方形的性质即可得出①成立；②根据平行线的性质可得出GFP EPF ∠=∠，再由EPF BAP ∠=∠即可得出②成立；③在Rt ABP ∆中，利用勾股定理即可得出③成立；④结合③即可得出④成立．
【详解】
解：①90EPF APB ∠+∠=︒，90APB BAP ∠+∠=︒，
EPF BAP ∴∠=∠，
在EPF ∆和BAP ∆中，
EPF BAP FEP PBA PA PF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()EPF BAP AAS ∴∆≅∆，
EF BP ∴=，
四边形CEFG 为正方形，
EC EF BP ∴==，即①成立；
②//FG EC ，
GFP EPF ∴∠=∠，
又EPF BAP ∠=∠，
BAP GFP ∴∠=∠，即②成立；
③由①可知EC BP =，
在Rt ABP ∆中，222AB BP AP +=，
PA PF =，且90APF ∠=︒，
APF ∴∆为等腰直角三角形，
22222AF AP FP AP ∴=+=，
22222212
AB BP AB CE AP AF ∴+=+==，即③成立； ④由③可知：222AB CE AP +=，
2APF ABCD CGFE S S S ∆∴+=正方形正方形，即④成立．
故成立的结论有①②③④．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是逐条分析五条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键．
8．C
解析：C
【分析】
连接BQ ，由矩形的性质，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，利用勾股定理得到
222PQ PB BQ +=，然后得到y 与x 的关系式，判断关系式，即可得到答案.
【详解】
解，如图，连接BQ ，
由题意可知，△OPQ ，△QPB ，△ABP 是直角三角形，
在矩形ABCO 中，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，则
OP=a x -，CQ b y =-，
由勾股定理，得：
222()PQ y a x =+-，222PB x b =+，222()BQ a b y =+-，
∵222
PQ PB BQ +=，
∴222222()()y a x x b a b y +-++=+-，
整理得：2by x ax =-+，
∴221()24a a y x b b
=--+， ∵10b
-<， ∴当2a x =时，y 有最大值24a b
； ∴随x 的增大，y 先增大后减小；
故选择：C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理找到y 与x 的关系式，从而得到答案.
9．B
解析：B
【分析】
根据题意，有OP=AQ ，即可得到8OP OQ OA +==，①正确；当4t =时，OP=OQ=4，此时四边形PBQO 是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，即点B 坐标为（4，4），②正确；四边形PBQO 的面积为：4416⨯=，在P 、Q 运动过程面积没有发生变化，故③正确；由正方形PBQO 的性质，则此时对角线PQ=OB ，故④错误；即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，点P 与点Q 同时以1个单位长度/秒的速度运动，
∴OP=AQ ，
∵OQ+AQ=OA=8，
∴OQ+OP=8，①正确；
由题意，点P 与点Q 运动时，点B 的位置没有变化，四边形PBQO 的面积没有变化， 当4t =时，如图：
则AQ=OP=4，
∴OQ=844-=，
∴点B 的坐标为：（4，4），②正确；
此时四边形PBQO 是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，
∴四边形PBQO 的面积为：4416⨯=，③正确；
∵四边形PBQO 是正方形，
∴PQ=OB，
即当4
t 时，PQ=OB，故④错误；
∴正确的有：①②③，共三个；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键是根据点P、Q的运动情况，进行讨论分析来解题.
10．B
解析：B
【分析】
由折叠的性质可得∠DCA＝∠ACF，由平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，可得FA＝FC，设BF＝x，在Rt△BCF中，根据CF2＝BC2+BF2，可得方程（8﹣x）2＝x2+42，可求BF＝3，AF＝5，即可求解．
【详解】
解：设BF＝x，
∵将矩形沿AC折叠，
∴∠DCA＝∠ACF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，
∴FA＝FC＝8﹣x，
在Rt△BCF中，∵CF2＝BC2+BF2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴BF＝3，
∴AF＝5，
∴AF：BF的值为5
3
，
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
11． 4
【解析】
分析：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜
边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=22
；
84=43
②当∠A'FE=90°时，如图2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
综上所述，AB的长为43或4；
故答案为43或4.
点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
12．102
【分析】
根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB的度数．
【详解】
连接BD，BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA．
∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，
∴AF=BF，BF=DF，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，
∵∠CDF=27°，
∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，
∴∠DAB=2∠DAC=102°．
故答案为：102°．
【点睛】
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．
13．(1) (2) (4)
【分析】
由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；
由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得
出CF=1 2
EM=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF，得出(2)正确；
证出S△EFC=S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出(3)错误；
由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．
【详解】
(1)∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD=AB，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=
1
2
∠BCD，
∴∠DCF+
1
2
∠D=90°，故(1)正确；
(2)延长EF，交CD延长线于M，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DMF中，
A FDM
AF DF
AFE DFM
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AEF≌△DMF(ASA)，
∴EF=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴CF=1
2
EM=EF，
∴∠FEC=∠ECF，
∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；
(3)∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，故(3)错误；
(4)∵∠B=80°，
∴∠BCE=90°-80°=10°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=180°-80°=100°，
∴∠BCF=1
2
∠BCD=50°，
∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，
∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．
故答案为：(1)(2)(4)．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明
△AEF≌△DMF是解题关键．
14．25
【分析】
作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，则四边形BEDF是矩形，证明△ABE≌△CBF（AAS），得出BE=BF，△ABE的面积=△CBF的面积，则四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，求出BE=10，即可求得BD的长．
【详解】
解：作BE⊥AD交DA延长线于E，BF⊥CD于F，如图所示：
则∠BEA=∠BFC=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴∠EBF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF ，
在△ABE 和△CBF 中，
BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CBF （AAS ），
∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，
∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，
∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，
∴BE=10(cm)， ∴
BD=2BE=25(cm)．
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
15．42a - 23 【分析】
先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB =2，AC =4，从而得CG 的长，作辅助线，构建矩形ABHM 和高线GM ，如图2，通过画图发现：当GE ⊥BC 时，AG 最小，即a 最小，可计算a 的值，从而得结论．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B =90°，
∵∠ACB =30°，BC =23，
∴AB =2，AC =4，
∵AG =a ，
∴CG =4a -，
如图1，过G 作MH ⊥BC 于H ，交AD 于M ，
Rt △CGH 中，∠ACB =30°，
∴GH=1
2
CG=
4
2
a
-
，
则点G到BC边的距离为4
2
a
-
，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH=
4
2
2
a
-
-=
2
a
，
∴S△ADG
113
23
2222
a a
AD MG
=⋅=⨯⨯=，
当a最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，
∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴4
2
a
a -
=，
∴
4
3
a=，
∴△ADG 3423
3
=，
故答案为：4
2
a
-23
．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
16．1或7．
【分析】
存在2种情况满足条件，一种是点P在BC上，只需要BP=CE即可得全等；另一种是点P 在AD上，只需要AP=CE即可得全等
【详解】
设点P 的运动时间为t 秒，
当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，
∵四边形ABCD 为长方形，
∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，
此时有ABP DCE ∆∆≌，
∴BP CE =，即22t =，解得1t =；
当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，
∵4AB =，6AD =，
∴6BC =，4CD =，
∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，
∴162AP t =-，
此时有ABP CDE ∆∆≌，
∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；
综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.
故答案为：1或7．
【点睛】
本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可
17．663
【分析】
通过四边形ABCD 是矩形以及CE CB BE ==，得到△FEM 是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM ，NK ，KE 的值，进而得到NE 的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN ，BE 即可．
【详解】
解：如图，设NE 交AD 于点K ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，
∴∠MFE=∠FCB ，∠FME=∠EBC
∵CE CB BE ==，
∴△BCE 为等边三角形，
∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，
∵∠FEM=∠BEC ，
∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，
∴△FEM 是等边三角形，FM=FE=EM=2，
∵EN ⊥BE ，
∴∠NEM=∠NEB=90°，
∴∠NKA=∠MKE=30°，
∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，
∴在Rt △KME 中，KE=2223KM EM -=，
∴NE=NK+KE=6+23，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴BN=2NE=12+43，
∴BE=22663BN NE -=+，
∴BC=BE=663，
故答案为：663
【点睛】
本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．
18．①②④．
【分析】
利用折叠性质得∠CBE=∠FBE ，∠ABG=∠FBG ，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH ，则可得到∠EBG=12
∠ABC ，于是可对①进行判断；在Rt △ABF 中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x ，则GH=x ，GF=8-x ，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x 2+42=（8-x ）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF ∽△DFE ，利用相似比得到43DE AF DF AB ==，而623AB AG ==，所以AB DE AG DF
≠，所以△DEF 与△ABG 不相似，于是可对③进行判断.
【详解】
解：∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，
将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，
∴∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，BF ＝BC ＝10，BH ＝BA ＝6，AG ＝GH ，
∴∠EBG ＝∠EBF+∠FBG ＝12∠CBF+12∠ABF ＝12
∠ABC ＝45°，所以①正确； 在Rt △ABF 中，AF 22BF AB -22106-＝8，
∴DF ＝AD ﹣AF ＝10﹣8＝2，
设AG ＝x ，则GH ＝x ，GF ＝8﹣x ，HF ＝BF ﹣BH ＝10﹣6＝4，
在Rt △GFH 中，
∵GH 2+HF 2＝GF 2，
∴x 2+42＝（8﹣x ）2，解得x ＝3，
∴GF ＝5，
∴AG+DF ＝FG ＝5，所以④正确；
∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，
∴∠BFE ＝∠C ＝90°，
∴∠EFD +∠AFB ＝90°，
而∠AFB +∠ABF ＝90°，
∴∠ABF ＝∠EFD ，
∴△ABF ∽△DFE ， ∴AB DF ＝AF DE ， ∴DE DF ＝AF AB ＝86＝43
， 而AB AG ＝63
＝2， ∴AB AG ≠DE DF ， ∴△DEF 与△ABG 不相似；所以③错误．
∵S △ABG ＝
12×6×3＝9，S △GHF ＝12×3×4＝6， ∴S △ABG ＝32
S △FGH ，所以②正确． 故答案是：①②④．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．
19．6.5或8或18
【分析】
根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点
∴13BQ =
∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，
则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形
∴ 6.5AP BM ==
②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，
过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=
∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=
同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'=
==，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置
∴8AP =或18
∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18． 故答案是：6.5或8或18
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．
20．①②③⑤
【分析】
根据三角形中位线定理得到EF＝1
2
AB，EF∥AB，根据直角三角形的性质得到DF＝
1
2
AC，
根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．【详解】
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF＝1
2
AB，EF∥AB，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，故①正确；
∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，
∴DF＝CF=1
2 AC，
∵AB=AC，EF＝1
2 AB，
∴EF＝DF，故②正确；
∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，
∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，∴∠DFC=90°，
∵EF//AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，
∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，
∵∠FDC＝45°，
∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，
∴∠FDE=∠CDE，
∴DE平分∠FDC，故③正确；
∵AB＝AC，∠CAB＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴AC2=2CD2，
∴CD，
∵AB=AC，
∴AB CD，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
三、解答题
21．（1）详见解析；（2）18
【分析】
（1）根据正方形的性质得出BC=BD ，AB=BF ，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF ，根据全等三角形的判定得出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC ，AD=FC=6，求出AD ⊥CF ，根据三角形的面积求出即可．
【详解】
解：（1）四边形ABFG 、BCED 是正方形，
AB FB ∴=，CB DB =，90ABF CBD ∠=∠=︒，
ABF ABC CBD ABC ∴∠+∠=∠+∠，
即ABD CBF ∠=∠
在ABD ∆和FBC ∆中，
AB FB ABD CBF DB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABD FBC SAS ∴∆≅∆；
图1 图2
（2）
ABD FBC ∆≅∆，
BAD BFC ∴∠=∠，6AD FC ==， 180AMF BAD CNA ∴∠=︒-∠-∠
180()BFC BNF =︒-∠+∠
1809090=︒-︒=︒
AD CF ∴⊥
-ACD ACF DFM ACM ACDF S S S S S ∆∆∆∆∴=++四边形
11112222
AD CM CF AM DM FM AM CM =⋅+⋅+⋅-⋅ 1133(6)(6)1822
CM AM AM CM AM CM =++---⋅= 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD ≌△FBC 是解此题的关键．
22．（1）见解析；（2）四边形EGCF 为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB ．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF 即可证得结论；
（2）利用AOE COF ∆≅∆得到∠EAO=∠FCO ，AE=CF ，由此推出AE ∥CF ，EG=CF 即可证得四边形EGCF 是平行四边形；
（3）AC=2AB ，根据平行四边形的性质推出AB=AO ，利用点E 是OB 的中点，得到AG ⊥OB ，即可得到四边形EGCF 是矩形.
【详解】
（1）四边形ABCD 为平行四边形，
OA OC ∴=，OB OD =，
点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，
12OE OB ∴=，12
OF OD =， 则OE OF =，
在AOE ∆与COF ∆中
OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
AOE COF ∴∆≅∆；
（2）AOE COF ∆≅∆，
EAO FCO ∴∠=∠，AE CF =，
//AE CF ∴，
又GE AE =，
GE CF ∴=，
∴四边形EGCF 为平行四边形；
（3）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形.
∵AC=2AB ，AC=2AO ，
∴AB=AO ，
∵点E 是OB 的中点，
∴AG ⊥OB ，
∴∠GEF=90°，
∴四边形EGCF 是矩形.
故答案为：AC=2AB .
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的判定定理，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.
23．（1
）AH 2）①证明见解析；②证明见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到∠DAE ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠DAH ＝∠EAH ，求出∠HAB ＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；
（2）①根据线段垂直平分线的性质得到CB ＝CE ，根据平行四边形的性质得到AD ＝BC ，得到DE ＝CE ，利用SAS 定理证明结论；
②根据全等三角形的性质得到EN ＝EG ，根据等边三角形的判定定理证明即可．
【详解】
（l ）∵ADE ∆是等边三角形，∴60DAE ∠=︒.
∵AH BD ⊥，∴1
302
DAH HAE DAE ︒∠=∠=∠=. ∵75DAB ∠=︒，∴753045BAH BAD DAH ︒︒︒∠=∠-∠=-=.
∴AH BH === （2）①∵点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，
∴线段CF 是线段BE 的垂直平分线.
∴CE CB =，ECF BCF ∠=∠.
∵ADE ∆是等边三角形，∴DE AD =.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD BC =，∴DE CE =.∴EDC ECD ∠=∠.
在DEG ∆和CEN ∆中，DG CN GDE NCE DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()CEN DEG SAS ∆∆≌.
②由①知：CEN DEG ∆∆≌，∴EN EG =.
∵AD BC ∥，∴180ADC BCD ︒∠+∠=.
∵60ADE ∠=︒，∴120EDC BCD ︒∠+∠=.
∵ECF BCF ∠=∠，EDC ECD ∠=∠，∴60DCF ∠=︒.
∵CF MN ，∴60DNE DCF ∠=∠=︒.
∴ENG ∆是等边三角形.
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，。