茄子河区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

茄子河区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． “a ＞0”是“方程y 2=ax 表示的曲线为抛物线”的（ ）条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
2． 已知命题p 和命题，若p q ∧为真命题，则下面结论正确的是（ ）
A ．p ⌝是真命题
B ．q ⌝是真命题
C ．p q ∨是真命题
D ．()()p q ⌝∨⌝是真命题 3． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 4． 一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圈，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A ．π
B ．3π+4
C ．π+4
D ．2π+4
5． 已知奇函数()f x 是[1,1]-上的增函数，且1(3)()(0)3
f t f t f +->，则t 的取值范围是（ ）
A 、1163t t ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭
B 、2433t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
C 、16t t ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭
D 、2
13
3t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
6． 已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A ∪B 等于（ ）
A ．{﹣1，0，1，2，4}
B ．{﹣1，0，2，4}
C ．{0，2，4}
D ．{0，1，2，4}
7． 等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，则a 6=（ ）
A ．3
B ．
C ．±
D ．以上皆非
8． 下列哪组中的两个函数是相等函数（ ）
A ．()()4
f x x =
g B ．()()24
=
,22
x f x g x x x -=-+
C ．()()1,01,1,0
x f x g x x >⎧==⎨<⎩ D ．()()=f x x x =，g
9． （+
）2n （n ∈N *
）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）
A ．120
B ．210
C ．252
D ．45
10．若f （x ）=sin （2x+θ），则“f （x ）的图象关于x=对称”是“θ=﹣
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
11．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
B ．18
C ．
D ． 12．有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．
②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越小，说明模型的拟合效果越好．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
其中正确命题的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题
13．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为 ．
14．抛物线y 2=4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF|=4，则点M 的横坐标x= ．
15．若命题“∃x ∈R ，x 2
﹣2x+m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是 ． 16．设全集
______.
17．设集合A={﹣3，0，1}，B={t 2﹣t+1}．若A ∪B=A ，则t= ．
18．已知条件p：{x||x﹣a|＜3}，条件q：{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是．
三、解答题
19．已知函数f（x）=lnx﹣ax﹣b（a，b∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值1，求a，b的值
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性
（Ⅲ）对于函数f（x）图象上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），不等式f′（x0）＜k恒成立，其中k为直线AB的斜率，x0=λx1+（1﹣λ）x2，0＜λ＜1，求λ的取值范围．
20．已知函数f（x）=|x﹣a|．
（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．
（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．
21．某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如
（Ⅰ）该同学为了求出y关于x的回归方程=x+，根据表中数据已经正确算出=0.6，试求出的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）
（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲现从该零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品都有质量问题，而3月份的产品都没有质量问题．记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X ，求X 的分布列和数学期望．
22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相 交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2． （Ⅰ）求证：P EDF ∠=∠；
（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．
【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
23．（本题12分）如图，D 是Rt BAC ∆斜边BC 上一点，AC . （1）若22BD DC ==，求AD ； （2）若AB AD =，求角B .
24．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且经过点（1，），抛物线C2：x2=2py（p＞0）
的焦点F与椭圆C1的一个焦点重合．
（Ⅰ）过F的直线与抛物线C2交于M，N两点，过M，N分别作抛物线C2的切线l1，l2，求直线l1，l2的交点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）从圆O：x2+y2=5上任意一点P作椭圆C1的两条切线，切点为A，B，证明：∠APB为定值，并求出这个定值．
茄子河区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：若方程y 2
=ax 表示的曲线为抛物线，则a ≠0． ∴“a ＞0”是“方程y 2
=ax 表示的曲线为抛物线”的充分不必要条件．
故选A ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义是解决本题的关键，比较基础．
2． 【答案】C 【解析】]
试题分析：由p q ∧为真命题得,p q 都是真命题．所以p ⌝是假命题；q ⌝是假命题；p q ∨是真命题；
()()p q ⌝∨⌝是假命题．故选C.
考点：命题真假判断． 3． 【答案】B
【解析】
试题分析：因为(1,2)a =，(1,0)b =，所以()()1,2a b λλ+=+，又因为()//a b c λ+，所以
()1
4160,2
λλ+-==
，故选B. 考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.
4． 【答案】B
【解析】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开） 由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，
故其表面积为S=2×π×12
+2×2+×2π×1×2=3π+4
故选：B
【点评】本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基础题．
5． 【答案】A 【解析】
考
点：函数的性质。

6． 【答案】A
【解析】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B={0，2，4}， ∴A ∪B={﹣1，0，1，2}∪{0，2，4}={﹣1，0，1，2，4}． 故选：A ．
【点评】本题考查并集及其运算，是基础的会考题型．
7． 【答案】C
【解析】解：∵a 3，a 9是方程3x 2
﹣11x+9=0的两个根， ∴a 3a 9=3，
又数列{a n }是等比数列，
则a
62
=a 3a 9=3，即a 6=±
．
故选C
8． 【答案】D111] 【解析】
考点：相等函数的概念.
9．【答案】
B
【解析】
【专题】二项式定理．
【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项．
【解答】解：由已知（+）2n（n∈N*）展开式中只有第6项系数为最大，
所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，
又展开式的通项为=，
令5﹣=0解得k=6，
所以展开式的常数项为=210；
故选：B
【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项．10．【答案】B
【解析】解：若f（x）的图象关于x=对称，
则2×+θ=+kπ，
解得θ=﹣+kπ，k∈Z，此时θ=﹣不一定成立，
反之成立，
即“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．
11．【答案】D
【解析】解：由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：
故该几何体的表面积为：3×22
+3×（）+=，
故选：D．
12．【答案】C
【解析】解：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．
②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．
综上可知：其中正确命题的是①③．
故选：C．
【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球
故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，
方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=，
设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2
再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，
根据条件概率公式，得：P2==，
故答案为：
【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．
14．【答案】3．
【解析】解：∵抛物线y2=4x=2px，
∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=4=x+=4，
∴x=3，
故答案为：3．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
15．【答案】m＞1．
【解析】解：若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，
则命题“∀x∈R，x2﹣2x+m＞0”是真命题，
即判别式△=4﹣4m＜0，
解得m＞1，
故答案为：m＞1
16．【答案】{7，9}
【解析】∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，
∴（∁U A）={4，6，7，9 }，∴（∁U A）∩B={7，9}，
故答案为：{7，9}。

17．【答案】0或1．
【解析】解：由A∪B=A知B⊆A，∴t2﹣t+1=﹣3①t2﹣t+4=0，①无解
或t2﹣t+1=0②，②无解
或t2﹣t+1=1，t2﹣t=0，解得t=0或t=1．
故答案为0或1．
【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．
18．【答案】[0，2]．
【解析】解：命题p：||x﹣a|＜3，解得a﹣3＜x＜a+3，即p=（a﹣3，a+3）；
命题q：x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，即q=（﹣1，3）．
∵q是p的充分不必要条件，
∴q⊊p，
∴，
解得0≤a≤2，
则实数a的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定与应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=﹣a，
由题意可得f′（1）=0，且f（1）=1，
即为1﹣a=0，且﹣a﹣b=1，
解得a=1．b=﹣2，经检验符合题意．
故a=1，b=﹣2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=﹣a，x＞1，0＜＜1，
①若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增；
②0＜a＜1，x∈（1，），f′（x）＞0，x∈（，+∞），f′（x）＜0；
③a≥1，f′（x）＜0．f（x）在（1，+∞）递减．
综上可得，a≤0，f（x）在（1，+∞）递增；
0＜a＜1，f（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减；
a≥1，f（x）在（1，+∞）递减．
（Ⅲ）f′（x0）=﹣a=﹣a，
直线AB的斜率为k===﹣a，
f′（x0）＜k⇔＜，
即x2﹣x1＜ln[λx1+（1﹣λ）x2]，
即为﹣1＜ln[λ+（1﹣λ）]，
令t=＞1，t﹣1＜lnt[λ+（1﹣λ）t]，
即t﹣1﹣tlnt+λ（tlnt﹣lnt）＜0恒成立，
令函数g（t）=t﹣1﹣tlnt+λ（tlnt﹣lnt），t＞1，
①当0＜λ时，g′（t）=﹣lnt+λ（lnt+1﹣）=，
令φ（t）=﹣tlnt+λ（tlnt+t﹣1），t＞1，
φ′（t）=﹣1﹣lnt+λ（2+lnt）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1，
当0＜λ≤时，φ′（t）＜0，φ（t）在（1，+∞）递减，则φ（t）＜φ（1）=0，
故当t＞1时，g′（t）＜0，
则g（t）在（1，+∞）递减，g（t）＜g（1）=0符合题意；
②当＜λ＜1时，φ′（t）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1＞0，
解得1＜t＜，
当t∈（1，），φ′（t）＞0，φ（t）在（1，）递增，φ（t）＞φ（1）=0；
当t∈（1，），g′（t）＞0，g（t）在（1，）递增，g（t）＞g（1）=0，
则有当t∈（1，），g（t）＞0不合题意．
即有0＜λ≤．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用，不等式恒成立思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）≤m，
∴|x﹣a|≤m，
即a﹣m≤x≤a+m，
∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，
∴，解得a=2，m=3．
（2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，
则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．
当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．
当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0，成立．
当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．
综上不等式的解集为（﹣∞，]．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，要求熟练掌握绝对值的化简技巧．
21．【答案】
【解析】解：（1），=5…
且，代入回归直线方程可得
∴=0.6x+3.2，
x=6时，=6.8，…
（2）X的取值有0，1，2，3，则
，，
，…
0 1 2 3
【点评】本题考查线性回归方程、离散型随机变量的分布列及其数学期望，考查学生分析解决问题的能力．22．【答案】
【解析】（Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠ ∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠……………………2分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得P EDF ∠=∠，又PEA DEF ∠=∠，∴EDF ∆∽EPA ∆，
∴
ED
EP
EF EA =，∴EP EF ED EA ⋅=⋅，又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅． ∵EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE ，∴ 2
9
=EC ，∵2:3:=BE CE ，∴3=BE ，解得427=EP .
∴4
15
=-=EB EP BP ．∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2
∴)29427(4152
+⨯=PA ，解得4
315=PA ．……………………10分 23．【答案】（1）2=AD ；（2）3
π
=
B .
【
解
析
】
考点：正余弦定理的综合应用，二次方程，三角方程.
【方法点晴】本题主要考查三角形中的解三角形问题，解题的关键是合理选择正、余弦定理..当有三边或两边及其夹角时适合选择余弦定理，当有一角及其对边时适合选择正弦定理求解，解此类题要特别注意，在没有明确的边角等量关系时，要研究三角形的已知条件，组建等量关系，再就是根据角的正弦值确定角时要结合边长关系进行取舍，这是学生们尤其要关注的地方.
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则，即，则，
椭圆方程为，将点的坐标代入得c2=1，
故所求的椭圆方程为焦点坐标为（0，±1），
故抛物线方程为x2=4y…
设直线MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4=0，
则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由于，所以，故直线l1的斜率为，l1的方程为
，即，
同理l2的方程为，
令，即，显然x1≠x2，
故，即点Q的横坐标是，
点Q的纵坐标是，即点Q（2k，﹣1），
故点Q的轨迹方程是y=﹣1…
（Ⅱ）证明：①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，
则此时P点横坐标为，代入圆的方程得P点的纵坐标为，
此时两条切线方程分别为，此时，
若∠APB的大小为定值，则这个定值只能是…
②当两条切线的斜率都存在时，即时，设P（x0，y0），切线的斜率为k，
则切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），
与椭圆方程联立消元得…
由于直线y﹣y0=k（x﹣x0）是椭圆的切线，
故，
整理得…
切线PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的两个实根，故，…
点P在圆x2+y2=5上，故，所以k1k2=﹣1，所以．
综上可知：∠APB的大小为定值，得证…
【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆以及抛物线的方程的求法，考查转化是以及计算能力．。