清泉州阳光实验学校指数函数和对数函数部分教案 数学必修一

清泉州阳光实验学校萧县黄口中学
高一数学备课组集体教案
第三章
指数函数与对数函数
制作人陈华武
指数函数的图象和性质
底数a对图象的影响
授课人：陈华武
教学目的：〔1〕指数函数底数a对图象的影响；
〔2〕底数a对指数函数单调性的影响，
并利用它纯熟比较几个指数幂的大小；
〔3〕培养学生抽象概括才能，进步学生对数形结合思想认识。

教学重点：〔1〕指数函数底数a对图象的影响；
〔2〕利用指数函数单调性纯熟比较几个指数幂的大小。

教学难点：〔1〕底数a对指数函数图象的影响的概括；
〔2〕利用函数单调性比较指数幂的大小。

教学方法：引导归纳法〔利用几何画板演示a的变化导致指数函数的图象的变化，引导学生归纳出图象变化的特点，从而从感性认识上升到理性认识，最终纯熟利用这一特点比较几个指数幂的大小。

〕
教学过程：
（一）复习引入
指数函数的图象和性质
Y=ax
（二）新课讲解
（1）提出问题
指数函数y=ax(a>0,a≠1)底数a对函数图象的影响，我们通过两个实例来讨论
a>1和0<a<1两种情况。

〔2〕动手理论
动手理论一：
在同一直角坐标系下画出y=2x和y=3x的图象，
比较两个函数的增长快慢
一般地，a>b>1时，
〔1〕当x<0时，总有ax<bx<1；
〔2〕当x=0时，总ax=bx=1有；
〔3〕当x>0时，总ax>bx>1有；
〔4〕指数函数的底数a越大，当x>0时，其函数值增长越快。

动手理论二：
分别画出底数为0.2,0.3,0.5,2,3,5的指数函数图象.
总结y=a x(a>0,a≠1)，a对函数图象变化的影响。

结论：
〔1〕当X>0时,a越大函数值越大；
当x<0时,a越大函数值越小。

〔2〕当a>1时指数函数是增函数，
当x逐渐增大时，
函数值增大得越来越快；
当0<a<1时指数函数是减函数，
当x逐渐增大时，
函数值减小得越来越快。

例题分析
例4比较以下各题中两个数的大小：(1)0.6,0.81.6;(2)(1/3)-2/3,2-3/5. (1)解由指数函数性质知0.6>0=1,
0.81.6<0.80=1,所以
0.6>0.81.6
(2)解由指数函数性质知(1/3)-2/3>1,
2-3/5<1,所以
(1/3)-2/3>2-3/5
例5-1<x<0，比较3-x,0.5-x的大小，并说明理由。

解〔法1〕因为-1<x<0，所以0<-x<1。

而3>1，因此有3-x>1
又0<0.5<1，因此有0<0.5-x<1
故3-x>0.5-x
〔法2〕设a=-x>0,函数f(x)=xa当x>0时为增函数，而3>0.5>0,故f(3)>f(0.5)
即3-x>0.5-x
小结：
在比较两个指数幂大小时，常利用指数函数和幂函
数的单调性。

一样底数比较指数，一样指数比较底数。

故常用到中间量“1〞。

练习1，2
作业A组4,B组1
课后考虑B组2
课后反思：
对数函数的图象和性质
授课人：陈华武
教学目的：〔1〕对数函数的图象和性质
〔2〕对数函数底数a对图象的影响；
〔3〕底数a对对数函数单调性的影响，并利用它纯熟比较几个对数的大小；
〔3〕培养学生抽象概括才能，进步学生对数形结合思想认识。

教学重点：〔1〕对数函数底数a对图象的影响；
〔2〕利用对数函数单调性纯熟比较几个对数的大小。

教学难点：〔1〕底数a对对数函数图象的影响的概括；
〔2〕利用函数单调性比较对数的大小。

教学方法：引导归纳法〔利用几何画板或者者flash演示a的变化导致对数函数的图象的变化，引导学生归纳出图象变化的特点，从而从感性认识上升到理性认识，最终纯熟利用这一特点比较几个对数的
大小。

〕
教学过程：
（一）抽象概括：
〔二〕例题分析
例4求以下函数定义域：
〔1〕y=㏒ax2;〔2〕y=㏒a(4-x)解〔1〕因为x2>0,即x≠0，
所以函数的定义域为{x|x≠0};
〔2〕因为4-x>0即x<4，
所以函数的定义域为{x|x<4}.
例5比较以下各题中两个数的大小：
(1)㏒2,㏒2
(2)㏒0.27,㏒0.29
(3)㏒3∏,㏒∏3
(4)㏒a,㏒a(a>0,a≠1)
解〔1〕因为2>1，函数y=㏒2x是增函数，>,
所以
㏒2>㏒2;
〔2〕因为0<0.2<1，函数y=㏒0.2x是减函数，7<9,所以
㏒0.27>㏒0.29;
(3)因为函数y=㏒3x是增函数，∏>3所以
㏒3∏>㏒33=1,
同理1=㏒∏∏>㏒∏3，所以
㏒3∏>㏒∏3;
(4)(对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进展讨论)
当a>1时，函数y=㏒ax在(0,+∞)上为增函数，此时,
㏒a<㏒a
当0<a<1时函数y=㏒ax在(0,+∞)上为减函数，此时,
㏒a>㏒a
例6观察在同一坐标系内函数y=㏒2x与函数y=2x的图象，分析他们之间的关系
解可以看出，点P〔a,b〕与点Q〔b,a〕关于直线y=x对称。

函数y=㏒2x与函数y=2x互为反函数，
对应于函数图象y=㏒2x上任意一点P〔a,b〕，
P点关于直线y=x的对称点Q(b,a)总在函数y=2x图象上，
所以，函数y=㏒2x的图象与y=2x的图象关于直线对称。

考虑交流
〔1〕根据下表的数据〔准确到0.01〕，
画出函数y=㏒2Xy=㏒3X和y=㏒5X的图象并观察图象，
说明三个函数图象的一样与不同之处。

〔2〕对数函数y=㏒ax,当底数a>1时,a变化对函数图象有何影响？
〔3〕仿照前面的方法,请你猜想,对数函数y=㏒aX，当0<a<1时，变化对函数图象有何影响？结论
〔1〕一样点：都经过〔1，0〕点，
在〔0，+∞〕上单调递增，值域为R,
x>1时y>0，0<x<1时y<0；
不同点:随着x的增大,
它们的函数值增加的快慢不一样。

〔2〕当底数a>1时，a越大函数图象越靠近x轴.
〔3〕当0<a<1时，a越小函数图象越靠近x轴。

例7人们早就发现了放射性物质的衰减现象。

在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代，
放射性物质的衰减服从指数规律：C〔t〕=C0e–rt，
其中t表示衰减的时间是是，C0放射性物质的原始质量，
C〔t〕表示经衰减了t年后剩余的质量。

为了计算衰减的年代，通常给出该物质衰减一半的时间是是，称其为该物质的半衰期，14C的半衰期大约为5730年，由此可确定系数r。

人们又知道，放射性物质的衰减速度与质量成正比。

1950年在巴比伦发现一根刻有Hammurbi王朝字样的木炭，
当时测定，其14C分子衰减速度为4.09个〔g/min〕,
而新砍伐烧成的木炭中14C分子衰减速度为8个〔g/min〕,
请估算出Hammurbi王朝所在年代。

解14C的半衰期为5730年，所以建立方程
1/2=e-5730r
解得r=0.000121,由此可知14C的衰减服从指数型函数
C〔t〕=C0e-0.000121t
设发现Hammurbi王朝木炭的时间是是〔1950年〕为t0年，放射性物质的衰减速度是与质量成正比的，所以
C〔t0〕/C0=4.09/8
于是e-0.000121t0=4.09/8
两边取自然对数，得-0.000121t0=㏑4.09-㏑8,
解得t0≈4050〔年〕
即Hammurbi王朝大约存在于公元前2100年。

练习P961，2，3
作业P97A组4
课后反思
指数函数，幂函数，对数函数增长比较
授课人：陈华武
教学目的：〔1〕幂函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，
对数函数的图象和性质；
〔2〕指数函数，幂函数，对数函数增长比较；
〔3〕初步运用三个函数模型解决实际问题，为第四章做一根底；
〔4〕培养学生抽象概括才能，进步学生对数形结合思想认识。

教学重点：〔1〕指数函数，幂函数，对数函数增长比较；
〔2〕运用三个函数模型解决实际问题；
〔3〕培养学生抽象概括才能，进步学生对数形结合思想认识。

教学难点：〔1〕培养学生抽象概括才能，进步学生对数形结合思想认识。

〔2〕运用三个函数模型解决实际问题；
教学方法：引导归纳法〔利用几何画板演示在同一直角坐标系下x 的逐渐增加导致三个函数值的增长快慢，
引导学生归纳出函数值指数函数值增加最快的特点。

〕
教学过程： 〔一〕复习引入 〔1〕幂函数
y=x,y=x-1,y=x2,y=x3,2
1
x
y ，
幂函数y=xa ，
当a>0时函数在〔0，+∞〕单调递增； 当a<0时函数在〔0，+∞〕单调递减。

〔2〕指数函数y=ax
〔3〕对数函数
〔二〕问题提出
我们知道：
当a>1时,指数函数是增函数，当a逐渐增大时，函数值增大得越来越快；
当a>1时,对数函数是增函数，当a逐渐减小时，函数值增大得越来越快；
当x>0时，幂函数y=xn在〔0，+∞〕上单调递增；且当x>1，n逐渐增大时，函数值增大得越来越快。

那么，对于这三种增加的函数，它们的函数值的增加快慢有何差异呢？
我们通过三个详细的函数y=2x,y=x100,y=㏒2x的函数值〔取近似值〕的比较，来体会它们的增长的快慢。

〔三〕动手理论
1.完成表3-12(借助科学计算器或者者设计程序通过计算机完成)。

表3-12
2.利用表3-12中的数据完成表3-13
表3-13
结论：在这三个函数中，指数函数增长最快，人们常称这种现象为“指数爆炸〞。

练习：P1031，2
作业：习题3-61，2
课后反思。