2015年上海市闸北区中考数学一模试题

九年级数学学科期末练习卷（2015年1月）
（考试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1、本试卷含三个大题，共25题；
2、答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．如果点G 是△ABC 的重心，联结AG 并延长，交对边BC 于点D ，那么AG ︰AD 是………………………………………………………………………………………（ ▲ ） （A ）2︰3 ； （B ）1︰2； （C ）1︰3 ； （D ）3︰4．
2．已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，下列给出的条件中，不能判定DE ∥B C 的是……………………………………………………………………………………（ ▲ ）
（A ）BD ︰AB ＝ CE ︰AC ； （B ）DE ︰BC ＝ AB ︰AD ； （C ）AB ︰AC ＝ AD ︰AE ； （D ）AD ︰DB ＝ AE ︰EC ．
3．下列有关向量的等式中，不一定成立的是…………………………………（ ▲ ）
（A ）＝－； （B ）︱︱＝︱︱；
（C ） ＋＝； （D ）︱＋︱＝︱︱＋︱|． 4．在直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 与∠C 的对边分别是a 、b 和c ，那么下列关系中，正确的是 ……………………………………………………………………（ ▲ ）
（A ）cos A ＝
c a ； （B ）tan A ＝a b ； （C ）sin A ＝c a ； （D ）cot A ＝b
a ． 5．在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是…………………………（ ▲ ） （A ）2x y =； （B ）21
x
y =
； （C ）2kx y =； （D ）x k y 2=． 6．如图1，小明晚上由路灯A 下的点B 处走到点C 处时，测得自身影子CD 的长为1米．他继续往前走3米到达点E 处（即CE ＝3米），测得自己影子EF 的长为2米．已知小明的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 是…………………………………（ ▲ ）
（A ）4.5米； （B ）6米； （C ）7.2米； （D ）8米．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知
y x ＝25，则y
y x -的值是 ▲ ． 图1
8．如果点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，那么AP
BP
的比值是 ▲ ． 9．如图2，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上，且CE ︰BC ＝2︰3，AC 与DE 相交于点F ，若 S △AFD ＝9，则S △EFC ＝ ▲ ．
10．如果α是锐角，且tanα ＝cot20°，那么 α＝ ▲ 度．
11．计算：2sin60°＋tan45°＝ ▲ ． 12．如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的 坡度是 ▲ ．（请写成1︰m 的形式）．
13．如果抛物线2)1(x m y -=的开口向上，那么 m 的取值范围是 ▲ ．
14．将抛物线5)3(2+--=x y 向下平移6个单 位，所得到的抛物线的顶点坐标为 ▲ ．
15．已知抛物线经过A （0，－3）、B （2，－3）、C （4，5），判断点D （－2，5）是否在该抛物线上．你的 结论是： ▲ （填“是”或“否”）．
16．如图3，正方形DEFG 内接于Rt △ABC ，∠C ＝90°，AE ＝4，BF ＝9 ，则tan A ＝ ▲ ．
17．如图4，梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ， 点P 是AD 边上一点，联结PB 、PC ，且PD AP AB ⋅=2
， 则图中有 ▲ 对相似三角形．
18．如图5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边 AB 上，线段D C 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰巧落在边 AC 上的点E 处．如果
m DB AD =，n EC
AE
=．那么m 与n 满足的关系式是：m ＝ ▲ （用含n 的代数式表示m ）．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分） 解方程：
4322
--x x －x
-21
＝2． 图2
A B
C
E
D
F
A
B
D E C
图5
C A
B
D
F
G
图3
图4
已知二次函数c bx x y ++-=22的图像经过点A （0，4）和B （1，－2）．
（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为y ＝a （x ＋m ）2＋k 的形式；
（2）写出该抛物线顶点C 的坐标，并求出△CAO 的面积．
21．（本题满分10分）
如图6，已知点E 在平行四边形ABCD 的边AD
上，AE ＝3ED ，延长CE 到点F ，使得EF ＝CE ，设
＝a ，BC ＝b ，试用a
、b 分别表示向量CE 和AF ．
22．（本题满分10分）
如图7，某人在C 处看到远处有一凉亭B ，在凉亭 B 正东方向有一棵大树A ，这时此人在C 处测得B 在北偏 西45°方向上，测得A 在北偏东35°方向上．又测得A 、C 之间的距离为100米，求A 、B 之间的距离．（精确到1米）．
（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.
23．（本题满分12分， 第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 如图8，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3， AB ＝CD ＝2，点E 在BC 边上，AE 与BD 交于点F ，∠BAE ＝∠DBC （1）求证：△ABE ∽△BCD ；
（2）求tan ∠DBC 的值； （3）求线段BF 的长．
图8
A
B
F
E D
C
图6
A
图7
如图9，在平面直角坐标系内，已知直线4+=x y 与x 轴、 y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线12-++=k kx x y 图像过点 A 和点C ，抛物线与x 轴的另一交点是B ，
（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B 点坐标； （2）若在y 轴负半轴上存在点D ，能使得以A 、C 、
D 为顶点的三角形与△ABC 相似，请求出点D 的坐标．
25．（本题满分14分 ，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）
如图10，已知在等腰 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边AB ＝2，若将△ABC 翻折，折痕EF 分别交边AC 、边BC 于点E 和点F （点E 不与A 点重合，点F 不与B 点重合），且点C 落在AB 边上，记作点D ．过点D 作DK ⊥AB ，交射线AC 于点K ，设AD ＝x ，y ＝cot ∠CFE ，
（1）求证：△DEK ∽△DFB ；
（2）求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；
（3）联结CD ，当EF CD ＝2
3时，求x 的值．
A
C
备用图
A
B
C
备用图
A
B
C
E K
F
图10
九年级数学学科期末练习卷（2015年1月）
答案及评分参考
（考试时间：100分钟，满分：150分）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7、
23． 8、2
15-． 9、4． 10、70． 11、3+1． 12、1︰3． 13、m ＞1． 14、（3，－1）． 15、是． 16、
2
3
． 17、3． 18、2n ＋1．
三、解答题（本大题共12题，满分78分）
19．（本题满分10分）
解方程：
4322--x x －x -21
＝2． 解：4322--x x +2
1-x ＝2……………………………………（2分）
)4(22322-=++-x x x ………………………………………………………（3分）
062
=-+x x ………………………………………………………………（2分） 解得：x 1＝2，x 2＝－3…………………………………………（2分） 经检验x ＝2是增根，舍去
∴x ＝－3是原方程的根．………………………………………（1分） 20．（本题满分10分， 第（1）小题6分，第（2）小题4分） 解：（1）∵二次函数y ＝－2x 2＋bx ＋c 的图像经过点A （0，4）和B （1，－2） ∴根据题意，得⎩⎨
⎧-=++-=224c b c 可以解得⎩⎨⎧=-=4
4
c b ……………………（2分）
∴这个抛物线的解析式是y ＝－2x 2－4x ＋4；……………………………………（1分）
y ＝－2x 2
－4x ＋4
=4)2(22++-x x ………………………（1分） =42)1(22
+++-x
=6)1(22++-x ……………………（2分）
（2）顶点C 的坐标（-1,6）………………（2分） S △CAO ＝
2142
1
21=⨯⨯=⋅⋅C x AO ………………（2分）
21．（本题满分10分）
解：∵平行四边形ABCD
∴A B ∥CD,AD ∥BC ，A B=CD,AD =BC ……………（2分）
A B
F
E
D
C
图6
∵＝a ，＝b ，∴＝a
，＝b ，………………（2分）
又∵AE=3ED ∴b 41=，b
43=………………………（1分）
CE = CD + DE = b a
4
1-…………………………（2分）
又∵EF=CE ∴= CE = b a
4
1-…………………（1分）
∴AF = AE +EF = b a b a b
2
14143+=-+…………………………（2分）
22．（本题满分10分）
解：作CD ⊥AB 于点D ．根据题意，…………………（1
在Rt △ADC 中，sin ∠ACD ＝
AC
AD
，……（1
分） ∠ACD ＝35°，AC ＝100米，
∴AD ＝AC ·sin35°≈100×0.574＝57.4(米)……（2分） cos ∠ACD ＝
AC
CD
， …………（1分） CD ＝AC ·cos35°≈100×0.819＝81.9(米)，……………（2分） 在Rt △BDC 中，∠BCD ＝45°，∴∠B ＝45° ∴BD ＝CD ＝81.9(米)， …………（1分）
∴AB ＝AD ＋BD ＝57.4＋81.9＝139.3(米)≈139(米)．……………（2分） 答：AB 之间的距离是139米
23．（本题满分12分， 第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
解：（1）∵等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ABE ＝∠C ……………（2分）
又∵∠BAE ＝∠DBC ∴△ABE ∽△BCD ……………（2分）
（2）分别过点A 、D 向BC 边作垂线段，垂足分别为点G 、H ……（1∵AD ∥BC ∴AG=DH, 矩形AGHD 中AG=DH, 又∵AB=CD ∴△ABG ≌△DCH ∴BG=HC
∵AD ＝1，BC ＝3 ,GH =1∴HC=(3-1)÷2=1, BH=2 ……………（1分）
∴在Rt △HDC 中, HD=2212-=3……………（1分） ∴在Rt △BHD 中, tan ∠DBC=
BH DH = 2
3
……………（1分） （3）∵△ABE ∽△BCD ∴
BC
AB CD BE =……………（1分） 又∵BC ＝3，AB ＝CD ＝2，∴BE=3
4
……………（1分）
∵AD ∥BC , AD ＝1，BF DF BE AD ==4
3
……………（1分）
A
图7 图8
又∵BD=2
2)3(2+=7, ∴BF =
7
7
4 ……………（1分） 24．（本题满分12分第（1）小题6分，第（2）小题6分） （1）∵直线4+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点C ∴得：A(-4，0), C(0，4) …………………（2分） ∵抛物线12
-++=k kx x y 图像过点A 和点C ， 代入点A 或点C 坐标得：k=5…………………（1分） ∴452
++=x x y …………………（1分）
对称轴：直线2
5
-=x …………………（1分）
令y=0，得0452
=++x x
解方程得1,421-=-=x x ∴B(-1,0) …………………（1分）
（2）AC ＝42，AB ＝3．
根据题意, AO=CO=4，∴∠CAB ＝∠ACD= 45°……………（1
当△CAD ∽△ABC 时，CD ︰AC ＝CA ︰AB ， 即CD ︰42＝42︰3，∴CD ＝
3
32 ∴点1D （0，－320）；……………（2分）
当△CDA ∽△ABC 时，CD ︰AB ＝CA ︰AC ，
即CD ＝AB ＝3 , ∴点2D （0，1）；……………（2分） ∵点D 在y 轴负半轴上∴2D （0，1）舍去……………（1分） ∴综上所述：D 点坐标是（0，－
3
20
） 25．（本题满分14分 ，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）
解：（1）在等腰 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴∠A ＝∠B=45°
又∵DK ⊥AB,∴∠EKD ＝45°∴∠EKD ＝∠B …………（2分） ∵将△ABC 翻折后点C 落在AB 边上的点D 处 ∴∠EDF=∠C ＝90° ………………………………（1分）
∵∠KDA= ∠KDB=90°
∴∠EDK=90°－∠KDF, ∠FDB=90°－∠KDF
∴∠EDK=∠FDB …………………………………………（1分） ∴△DEK ∽△DFB …………………………………………（1分）
(说明：点K 在线段AC 延长线上时等同于在线段上的相似的情况，故不必分类证明)
（2）∵△DEK ∽△DFB ，∴
DE DF ＝DK
DB
…………（1分） ∵∠DFE ＝∠CFE ，∴y ＝cot ∠CFE ＝cot ∠DFE ＝DE DF ＝DK
DB
…………（1分）
（图一）
A
B
C
E K
F
图10
∵AD ＝x ，AB ＝2，∴DK ＝AD ＝x ，DB ＝2－x ，∴
DK
DB ＝x x -2，∴y ＝x x
-2……（1分）
定义域：2－2＜x ＜2……………………………（2分）
（3）方法一：设CD 与EF 交于点H ，CD 被折痕EF 垂直平分，CD=2 CH
∵EF CD ＝23，∴EF CH =4
3，设CH=k 3，EF=4k ∵CD ⊥EF,∠C ＝90° ∴∠EHC ＝∠CHF=90°, ∠ECH=∠CFH=90°－∠HCF ∴△ECH ∽△CFH, 得：∴
CH EH =FH
CH , 即FH EH CH ⋅=2
设EH=a ，则得：),4(32a k a k -= ,03422=+-k ka a 解得：k a k a 3,21==……（2分） 当EH=k 时，∠ECH=∠CFE=30°, ∴y ＝
x
x
-2＝cot30°＝3，∴x ＝3－1； 当EH=3k 时，∠ECH=∠CFE=60°, ∴y ＝
x x -2＝cot60°＝3
3
，∴x ＝3－3； 经检验：x ＝3－1，x ＝3－3分别是原各方程的根，且符合题意； 综上所述，x ＝3－1或x ＝3－3．……………………………（2分）
方法二：设CD 与EF 交于点H ，取EF 的中点O ，联结OC ， ∴CH ⊥EF ，CH ＝
21CD ，CO ＝2
1
EF ． ∵
EF CD ＝23，∴CO CH ＝2
3
．……………………………（2分） 当0＜AD ＜1时（如图备一），在Rt △COH 中，∠COH ＝60°， ∴∠CFE ＝30°，∴y ＝
x
x
-2＝cot30°＝3，∴x ＝3－1；………（1分） 当1＜AD ＜2时（如图备二），在Rt △COH 中，∠COH ＝60°，
∴∠CFE ＝60°，∴y ＝x x -2＝cot60°＝3
3，∴x ＝3－3．
经检验：x ＝3－1，x ＝3－3分别是原各方程的根，且符合题意； 综上所述，x ＝3－1或x ＝3－3．……………………（1分）
H
A
B
C
D
E K F
O
（
备一）
A
B
C
F K E H O
（
备二）
H A
C
E F。