高中数学新北师大版精品教案《1.1 利用函数性质判定方程解的存在》

§利用函数性质判定方程解的存在
江西师大附中数学组肖贤民
教学目标：1、了解函数零点的定义，领会零点与方程的根、函数图形与轴交点的横坐标
之间的等价关系。

2、掌握零点定理存在的判定方法。

教学
环节
教学活动设计意图
感受·体验情景
导入
你看到了什么？有何启发？这幅图学生从一个
角度看是美女，另一
个角度看是老太婆。

让学生感受不同角
度看问题，效果是大
不同。

同时让学生猜图，可
以引发他们上课的
积极性，活跃气氛。

感受
从不
同角
度看
问题
感受从不同角度看问题
请从不同角度看21
y x
=-。

21
y x
⎧
⎪
=-⎨
⎪
⎩
一次函数
二元一次方程
一条直线
令0
y=，则210
x-=。

0.5
x
∴=
请从不同角度看
210
0.521
21
x
y x x
y x
-=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=-
⎩
方程的根————
函数的图像与轴交点的横坐标——
数的角度
形的角度
零点
函数的
让学生从“数”的角
度和“形”的角度感
受数学之妙。

同时很自然的引出
零点的定义。

归
纳•提炼零点
定义
函数的零点
函数()
y f x
=的零点：使函数()
y f x
=的值为0的实数。

由定义可知函数()
y f x
=的零点⇔方程()0
f x=的根。

——
数的角度。

函数()
y f x
=的零点⇔函数()
y f x
=的图像与轴交点的横
坐标——形的角度。

学生归纳定义。

让学
生体验零点与方程
（数的角度）和图形
（形的角度）的等价
关系。

检测
•提升巩固
定义
理解定义：
思考：1、零点是不是点？2、函数都有零点？
求函数零点的方法：代数法与图像法（让学生自主挑战其一）
1、代数法练习
()1()21
x
f x=-()2
2()23
f x x x
=+-
()2
3()23
f x x x
=++
2、图像法练习
由练习可知，函数零点的个数可能是0个、1个、2个、多个。

进一步探究：
1、函数零点的个数；
2、函数零点的存在性
让一男一女通过竞
争选择题型（男生的
亲友团是全班男同
学，女生的亲友团是
全班女生），看哪一
方用时少？
体验函数零点的个
数，为进一步探究零
点的个数与存在性
作铺垫。

其中图像法练习的
三个图还为后面零
点存在性定理判断
正误的反例埋下伏
笔。

精讲提升
角度
探究一、函数零点的个数
1、确定二次函数222
y x x
=--零点的个数。

引导学生从数的角度和形的角度两方面考虑。

并小结已学过
的函数（一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、幂函
数、对数函数）在定义域内的零点个数。

探究二、函数零点的存在性
变1判定二次函数222
y x x
=--在区间（2,3）是否存在零点。

让学生体验“数”与
“形”的两种方法。

形的直观、数的精
•探究
·
讨论
互助
数的角度——求根法
形的角度——用符号语言来刻画这一
图形特征
学：(2)0,(3)0
f f
<>；图像不间断
⇒函数在区间（2,3）上存在零点。

由具体到一般：
细、互为印证、相得
益彰。

由具体到一般，让学
生体验数学的严谨
性和逻辑性。

自学•检测零点
存在
性定
理
零点存在性定理
若函数()
y f x
=在区间[a，b]上的图像是一条不间断的曲线，
且()()0
f a f b
⋅<，则函数()
y f x
=在区间（a，b）上有零点。

思考：定理中的闭区间[a，b]能不能改为开区间（a，b）？
用图给出反例，为下
面的判断正误提供
举反例的方法——
图像法。

反例与图像法练习
题中的三个图像相
互辉映。

定理理解：判断正误
（1）fa·fb<0则函数=f在区间a,b内有零点。

（2）函数=f在区间a,b内零点，则fa·fb<0。

（3）fa·fb<0，则函数=f在区间a,b内只有一个零点。

学：全错。

反例见图像法练习的三个图。

小结：函数零点存在定理的三个注意点：
1 函数是连续的。

2 定理不可逆。

3 至少存在一个零点。

自学课本P116 例2、例3完成下列练习：
例2已知函数2
()3x
f x x
=-，问：方程()0
f x=在区间[-1，
0]内没有实数解？为什么？培养学生自主学习
y
x
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