2014高考数学考前押题抛物线

2014高考数学考前押题：抛物线
抛物线的定义和标准方程
1. O 为坐标原点,F 为抛物线C:y 2
x 的焦点,P 为C 上一点,若,则△POF 的面积
为( )
(A)2
(D)4
解析:设P(x P ,y P )(y P >0)由抛物线定义知,x P ,
∴x P ,y P ,
因此S △POF =
1
2
×故选C. 答案:C
2.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( )
(C)4
解析:由题意设抛物线方程为y 2
=2px(p>0),则M 到焦点的距离为x M +2p =2+2
p
=3,∴p=2,∴y 2
=4x.
∴20y =4×2,∴故选B.
答案:B
3.已知F 是抛物线y 2
=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )
(A)
34 (B)1 (C) 54 (D)74
解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +1
2
=3,
∴x A +x B =5
2
.
∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2A B x x +=5
4
.故选C.
答案:C
4.抛物线y 2
=8x 的焦点到准线的距离是( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8
解析:抛物线y 2
=8x 的焦点为(2,0),准线方程为x=-2,焦点到准线的距离为4.故选C. 答案:C
5.设抛物线y 2
=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)12
解析:如图所示,抛物线的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,由抛物线的定义知:|PF|=|PE|=4+2=6.
故选B. 答案:B
6.若抛物线y 2
=2px 的焦点坐标为(1,0),则p= ;准线方程为 . 解析:因为抛物线方程为y 2
=2px,所以焦点坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
,又焦点坐标为(1,0),则p=2,准线方程为x=-1.
答案:2 x=-1
7.如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降 1 m 后,水面宽 m.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为
x 2
=-2py(p>0),
则A(2,-2),将其坐标代入 x 2
=-2py,得p=1. ∴x 2
=-2y.
当水面下降1 m,得D(x 0,-3)(x 0>0),
将其坐标代入x 2
=-2y 得2
0x =6,
∴x 0,∴水面宽 m.
答案
8.动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程是 . 解析:由抛物线的定义知,点P 的轨迹是以F 为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准
方程为y 2
=8x.
答案:y 2
=8x
9.已知过抛物线y 2
=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点,|AF|=2,则|BF|= . 解析:设A(x 0,y 0),由抛物线定义知x 0+1=2,∴x 0=1,则直线AB ⊥x 轴,∴|BF|=|AF|=2. 答案:2
抛物线的几何性质及其应用
1.已知抛物线y 2
=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( ) (A)x=1 (B)x=-1
(C)x=2 (D)x=-2
解析:∵y 2
=2px 的焦点坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
, ∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-2p ,即x=y+2
p ,将其代入y 2=2px 得y 2=2py+p 2
,即y 2-2py-p 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=2p,∴122
y y +=p=2,∴抛物线的方程为y 2
=4x,其准
线方程为x=-1.故选B. 答案:B
2.设M(x 0,y 0)为抛物线C:x 2
=8y 上一点,F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则y 0的取值范围是( ) (A)(0,2) (B)[0,2] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞)
解析:∵x 2
=8y,
∴焦点F 的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.
由抛物线的定义知|MF|=y 0+2.以F 为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x 2+(y-2)2=(y 0+2)2
. 由于以F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心F 到准线的距离为4,故4<y 0+2,∴y 0>2.故选C. 答案:C
3.在抛物线y=x 2
+ax-5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4,x 2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于
该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2+5y 2
=36相切,则抛物线顶点的坐标为( ) (A)(-2,-9) (B)(0,-5) (C)(2,-9) (D)(1,-6)
解析:当x 1=-4时,y 1=11-4a;当x 2=2时,y 2=2a-1,所以割线的斜率k=
11421
42
a a --+--=a-2.设直
线与抛物线的切点横坐标为x 0,由y ′=2x+a 得切线斜率为2x 0+a,∴2x 0+a=a-2,∴x 0=-1. ∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1), 即(a-2)x-y-6=0.
圆5x 2
+5y 2
=36的圆心到切线的距离d=
.由题意得
=
,即(a-2)2+1=5.
又a ≠0,∴a=4,此时y=x 2+4x-5=(x+2)2
-9,顶点坐标为(-2,-9).故选A. 答案:A
4.已知抛物线C:y 2
=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)l 相交于点A,与C
的一个交点为B,若AM =MB ,则p= .
解析:如图所示,由AB ,
知∠α=60°, 又AM =MB ,
∴M 为AB 的中点.
过点B 作BP 垂直准线l 于点P, 则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°.
∴|BP|=
1
2
|AB|=|BM|, ∴M 为焦点,即2
p
=1,∴p=2.
答案:2
直线与抛物线位置关系
1.)已知点A(2,0),抛物线C:x 2
=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|等于( )
(A)2 (B)1∶2
(C)1 (D)1∶3
解析:过点M 作MM ′垂直于准线y=-1于点M ′, 则由抛物线的定义知|MM ′|=|FM|,
所以FM MN =MM MN
=sin ∠MNM ′,
而∠MNM ′为直线FA 的倾斜角θ的补角. 因为直线FA 过点A(2,0)、F(0,1), 所以k FA =-
1
2
=tan θ, 所以sin θ
所以sin ∠MNM ′
,
即|FM|∶|MN|=1故选C.
答案:C
2.设抛物线C:y 2
=4x 的焦点为F,直线l 过F 且与C 交于A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( )
(A)y=x-1或y=-x+1
(x-1)或
(x-1)
(x-1)或
(x-1)或
(x-1)
解析:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
又F(1,0),
则AF =(1-x 1,-y 1), FB =(x 2-1,y 2), 由题意知AF =3FB , 因此()1212131,
3,
x x y y ⎧-=-⎪⎨
-=⎪⎩
即1212
43,3,x x y y =-⎧⎨=-⎩
又由A 、B 均在抛物线上知()()2
222
224,
3443.
y x y y ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩
解得221,3x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
直线l
3
, 因此直线l 的方程为
(x-1)或
故选C. 答案:C
3．已知抛物线C:y 2
=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点,若
MA ·MB =0,则k 等于( )
(A)
1
2
(D)2
解析:法一 设直线方程为y=k(x-2),A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),
由()22,
8,
y k x y x ⎧=-⎪⎨
=⎪⎩
得k 2x 2
-4(k 2
+2)x+4k 2
=0, ∴x 1+x 2=()22
42k k +,
x 1x 2=4,
由MA ·MB =0,
得(x 1+2,y 1-2)·(x 2+2,y 2-2)=
(x 1+2)(x 2+2)+[k(x 1-2)-2][k(x 2-2)-2]=0,
代入整理得k 2
-4k+4=0, 解得k=2.故选D.
法二 如图所示,设F 为焦点,取AB 中点P, 过A 、B 分别作准线的垂线,垂足分别为G
、H, 连接MF,MP,
由MA ·MB =0, 知MA ⊥MB, 则|MP|=
12|AB|=1
2
(|AG|+|BH|), 所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线,
所以MP ∥AG ∥BH,
所以∠GAM=∠AMP=∠MAP, 又|AG|=|AF|, |AM|=|AM|,
所以△AMG ≌△AMF, 所以∠AFM=∠AGM=90°, 则MF ⊥AB,所以k=-
1MF
k =2.
答案:D
4.设抛物线y 2
=8x 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为
,那么|PF|等于( )
(B)8
(D)16
解析:如图所示,直线AF 的方程为与准线方程x=-2联立得).
设P(x 0代入抛物线y 2
=8x,
得8x 0=48,∴x 0=6, ∴|PF|=x 0+2=8,选B. 答案:B
5.(2009年大纲全国卷Ⅱ,文11)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y 2
=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则k 等于( )
(A)
13 (C)2
3
解析:将y=k(x+2)代入y 2
=8x,得
k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2
=0.
设交点的横坐标分别为x A ,x B , 则x A +x B =
2
8
k -4,① x A ·x B =4.
又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2, |FA|=2|FB|, ∴2x B +4=x A +2. ∴x A =2x B +2.② ∴将②代入①得x B =2
8
3k -2, x A =
2163k -4+2=2
16
3k
-2. 故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫
-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4. 解之得k 2
=
89
.
而k>0,∴,满足Δ>0.故选D. 答案:D
6.过抛物线y 2
=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点.若|AF|=3,则|BF|= . 解析:由题意知,抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A 到准线x=-1
的距离为3
∴点A 的横坐标为2.
将x=2代入y 2=4x 得y 2
=8, 由图知点A 的纵坐标
, ∴
),
∴直线AF 的方程为
(x-1).
由)21,4,y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
解得1,2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
或2,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
由图知,点B
的坐标为1,2⎛ ⎝, ∴|BF|=12-(-1)= 3
2
. 答案:
32
7.已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点为
F(0,1).
(1)求抛物线C 的方程;
(2)过点F 作直线交抛物线C 于A,B 两点,若直线AO,BO 分别交直线l:y=x-2于M,N 两点,求|MN|的最小值.
解:(1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2
=2py(p>0),则
2
p =1,所以抛物线C 的方程为x 2
=4y. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 的方程为y=kx+1. 由2
1,
4y kx x y
=+⎧⎨
=⎩消去y,整理得x 2
-4kx-4=0,
所以x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4.从而|x 1-x 2
.
由11,2,y y x x y x ⎧=⎪
⎨
⎪=-⎩
解得点M 的横坐标x M =
1112x x y -=12
1
124
x x x -=1
84x -. 同理,点N 的横坐标x N =
2
8
4x -. 所以
|x M -x N
2
8
4x --
令4k-3=t,t ≠0,则k=
3
4
t +. 当t>0时
. 当t<0时
.
综上所述,当t=-
253,即k=-43时,|MN|
. 8.如图所示,抛物线C 1:x 2
=4y,C 2:x 2
=-2py(p>0).点M(x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A,B(M 为原点O 时,A,B 重合于O).当x
0时,切线
MA 的斜率为-
1
2
.
(1)求p 的值;
(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O). 解:(1)因为抛物线C 1:x 2
=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为y ′=
2x ,且切线MA 的斜率为-12
,
所以A 点坐标为11,
4⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 故切线MA 的方程为y=-
12(x+1)+14
. 因为点
y 0)在切线MA 及抛物线C 2上,于是
y 0=-
12
)+14
, ① y 0
. ② 由①②得p=2.
(2)设N(x,y),A 211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭,B 2
2
2,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,
x 1≠x 2,由N 为线段AB 中点知 x=
12
2
x x +, ③ y=22
128
x x +. ④
切线MA,MB 的方程为
y=1
2
x (x-x 1)+ 214x , ⑤
y=2
2
x (x-x 2)+ 224x . ⑥
由⑤⑥得MA,MB 的交点M(x 0,y 0)的坐标为 x 0=
122x x +,y 0=124
x x . 因为点M(x 0,y 0)在C 2上,
即2
0x =-4y 0,
所以x 1x 2=-22
12
6
x x +. ⑦ 由③④⑦得 x 2
=
4
3
y,x ≠0. 当x 1=x 2时,A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O,坐标满足x 2
=
43
y.
因此AB中点N的轨迹方程为
x2=4
3
y.
9.已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0设P为直
线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
解:(1)∵抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0
,得c=1,
∴F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),
由x2=4y得y′=1
2
x,
∴切线PA:y-y1=1
2
x1(x-x1),
有y=1
2
x1x-2
1
1
2
x+y1,而2
1
x=4y1,
即切线PA:y=1
2
x1x-y1,
同理可得切线PB:y=1
2
x2x-y2.
∵两切线均过定点P(x0,y0),
∴y0=1
2
x1x0-y1,y0=
1
2
x2x0-y2,
由此两式知点A,B均在直线y0=1
2
xx0-y上,
∴直线AB的方程为y0=1
2
xx0-y,
即y=1
2
x0x-y0.
(3)设点P的坐标为(x′,y′), 由x′-y′-2=0,
得x′=y′+2,
则|AF|·
=(y 1+1)·(y 2+1) =y 1y 2+(y 1+y 2)+1.
由24,1
2
x y y x x y
⎧=⎪⎨''=-⎪⎩ 得y 2
+(2y ′-x ′2
)y+y ′2
=0,
有y 1+y 2=x ′2-2y ′,y 1y 2=y ′2
,
∴|AF|·|BF|=y ′2+x ′2
-2y ′+1
=y ′2+(y ′+2)2
-2y ′+1
=212y ⎛⎫'+
⎪⎝⎭2+92
, 当y ′=-12,x ′=3
2
时, 即P 31,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
时,|AF|·|BF|取得最小值92.
10.如图,等边三角形
OAB 的边长为
且其三个顶点均在抛物线E:x 2
=2py (p>0)上.
(1)求抛物线E 的方程;
(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.
(1)
解:依题意,∠BOy=30°. 设B(x,y),
则x=|OB|sin 30°, y=|OB|cos 30
°=12.
因为点,12)在x 2
=2py
上,
所以2
=2p ×12,解得p=2.
故抛物线E 的方程为x 2
=4y. (2)证明:由(1)知y=
14x 2,y ′=12
x.
设P(x 0,y 0),则x 0≠0,y 0=
2
014
x ,且l 的方程为 y-y 0=12x 0(x-x 0),即y=12x 0x-2
014
x .
由20011,24
1,y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得2
004,21,x x x y ⎧-=⎪
⎨⎪=-⎩
所以Q 为2
004
,12x x ⎛⎫--
⎪⎝⎭
. 设M(0,y 1),令MP ·MQ =0对满足y 0=
2
014
x (x 0≠0)的x 0,y 0恒成立. 由于MP =(x 0,y 0-y 1), MQ =20104
,12x y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭
, 由MP ·MQ =0,
得2
042
x --y 0-y 0y 1+y 1+21y =0,
即(21y +y 1-2)+(1-y 1)y 0=0.(*) 由于(*)式对满足y 0=
2
014
x (x 0≠0)的y 0恒成立, 所以211
10,20,y y y -=⎧⎨+-=⎩
解得y 1=1.
故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0,1).
11.如图所示,在直角坐标系xOy 中,点P 11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
到抛物线C:y 2
=2px(p>0)的准线的距离为54
.点M(t,1)是C 上的定点,A,B 是C 上的两动点,且线段AB 被直线OM 平分
.
(1)求p,t 的值;
(2)求△ABP 面积的最大值.
解:(1)由题意知21,5
1,24pt p =⎧⎪⎨+=⎪⎩得1,21.
p t ⎧=⎪
⎨⎪=⎩ (2)由(1)知M(1,1),
直线OM 的方程为
y=x,
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),线段AB 的中点为Q(m,m). 由题意知,
设直线AB 的斜率为k(k ≠0).
由211222,,
y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩
得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=x 1-x 2, 故k ·2m=1,
所以直线AB 的方程为y-m=1
2m
(x-m), 即x-2my+2m 2
-m=0.
由2
2220,x my m m y x
⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩消去x,
整理得y 2-2my+2m 2
-m=0,
所以Δ=4m-4m 2
>0,
y 1+y 2=2m,y 1y 2=2m 2
-m. 从而
·|y 1-y 2
. 设点P 到直线AB 的距离为d, 则
设△ABP 的面积为S,则 S=
12
|AB|·d=|1-2(m-m 2
)|
. 由Δ=4m-4m 2
>0,得0<m<1.
令
≤
12,则S=u(1-2u 2
). 设S(u)=u(1-2u 2),0<u ≤12
,则S ′(u)=1-6u 2
.
由S ′(u)=0,得10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
,
因此S(u)在⎛ ⎝单调递增,在12⎫⎪⎪⎭
单调递减,
所以S(u)max =S
故△ABP 12.如图所示,直线l:y=x+b 与抛物线C:x 2
=4y 相切于点A.
(1)求实数b 的值;
(2)求以点A 为圆心,且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.
解:(1)由2,4y x b x y
=+⎧⎨=⎩得x 2
-4x-4b=0.(*)
因为直线l 与抛物线C 相切,
所以Δ=(-4)2
-4×(-4b)=0, 解得b=-1.
(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即为x 2
-4x+4=0,
解得x=2.将其代入x 2
=4y,得y=1. 故点A(2,1).
因为圆A 与抛物线C 的准线相切,
所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y=-1的距离, 即r=|1-(-1)|=2,
所以圆A 的方程为(x-2)2+(y-1)2
=4.
13.已知抛物线C:y 2
=2px(p>0)过点A(1,-2). (1)求抛物线C 的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O 为坐标原点)的直线l,使得直线l 与抛物线C 有公共点,且直线OA 与
l 若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由. 解:(1)将(1,-2)代入y 2
=2px,得(-2)2
=2p ·1, 所以p=2.
故所求的抛物线C 的方程为y 2
=4x, 其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.
由2
2,
4y x t y x
=-+⎧⎨
=⎩得y 2
+2y-2t=0.
因为直线l 与抛物线C 有公共点, 所以Δ=4+8t ≥0, 解得t ≥-
12
.
另一方面,由直线OA 与l 的距离
解得t=±1. 因为-1∉1,2⎡⎫-
+∞⎪⎢⎣⎭,1∈1,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
, 所以符合题意的直线l 存在,其方程为2x+y-1=0.
抛物线的定义和标准方程及其应用
1.已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点,P 是圆x 2+y 2
-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:圆x 2+y 2
-8x-8y+31=0的圆心C 坐标为(4,4),半径为1, ∵|PF|≥|CF|-1,
∴当P 、C 、F 三点共线时,|PF|取到最小值,
由y 2
=4x 知F(1,0),
∴|PF|min 故选B. 答案:B
2.已知抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点F 与双曲线24x -2
5
y =1的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴
的交点为K,点A 在抛物线上且|AF|,则A 点的横坐标为( )
(B)3 (D)4
解析:由24x -25
y =1得c 2=4+5=9.
∴双曲线右焦点为(3,0),
∴抛物线焦点坐标为(3,0),抛物线方程为y 2
=12x. 设d 为点A(x 0,y 0)到准线的距离, 由抛物线定义知d=|AF|=x 0+3, 由题意得|y 0|=x 0+3,
代入抛物线方程得(x 0+3)2
=12x 0, 解得x 0=3.故选B. 答案:B
抛物线几何性质的应用
1.在直角坐标系xOy 中,有一定点A(2,1),若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是 . 解析:线段OA 的斜率k=
12,中点坐标为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 所以线段OA 的垂直平分线的方程是
y-1
2
=-2(x-1), 令y=0得到x=5
4
.
即抛物线的焦点为5,04⎛⎫
⎪⎝⎭
. 所以该抛物线的准线方程为x=-5
4
. 答案:x=-
54
2.已知点A(4,4)在抛物线y 2
=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A 作直线l:x=-
4
p
的垂线,垂足为M,则∠MAF 的平分线所在直线的方程为 .
解析:点A 在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF 的平分线所在的直线就是线段MF 的垂直平分线,k MF =
4011---=-2,所以∠MAF 的平分线所在的直线方程为y-4=1
2
(x-4),即x-2y+4=0. 答案:x-2y+4=0
直线与抛物线的位置关系
1.已知抛物线x 2
=4y 上有一条长为6的动弦AB,则AB 中点到x 轴的最短距离为( ) (A)
34 (B)3
2
(C)1 (D)2
解析:易知,AB 的斜率存在,设AB 方程为y=kx+b.
由2,4y kx b x y
=+⎧⎨=⎩得x 2
-4kx-4b=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
则x 1,x 2是上述方程的两个根, ∴x 1+x 2=4k,x 1·x 2=-4b, 又|AB|=6,
化简得b=
()
2
941k +-k 2
, 设AB 中点为M(x 0,y 0),
则y 0=
122y y +=122
kx b kx b +++=()122k x x ++b
=2k 2
+
()
2
941k +-k 2
=k 2
+
()2941k +=(k 2
+1)+ ()2941k +-1
≥2×
3
2
-1=2. 当且仅当k 2
+1=
()
2
9
41k +, 即k 2
=
1
2
时,y 0取到最小值2.故选D. 答案:D
2.)已知E(2,2)是抛物线C:y 2
=2px 上一点,经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点(不同于点E),直线EA,EB 分别交直线x=-2于点M,N. (1)求抛物线方程及其焦点坐标;
(2)已知O 为原点,求证:∠MON 为定值.
解:(1)∵点E(2,2)在抛物线y 2
=2px 上, ∴4=2p ×2,∴p=1.
∴抛物线方程为y 2
=2x,焦点坐标为1,02⎛⎫
⎪
⎝⎭
.
(2)显然,直线l 斜率存在,且不为0.
设l 斜率为k,则l 方程为y=k(x-2). 由()22,
2.
y k x y x ⎧=-⎪⎨
=⎪⎩
得ky 2
-2y-4k=0,
设A 211,2y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 222,2y y ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 则y 1+y 2=
2
k
,y 1·y 2=-4.
∵k EA =
121222y y --=121242
y y --=12
2y +. ∴EA 方程为y-2=
12
2
y +(x-2). 令x=-2,得y=2-
18
2y +=11242
y y -+. ∴M 11242,
2y y ⎛⎫
-- ⎪+⎝⎭
. 同理可求得N 22242,2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭
.
∴OM ·ON =11242,
2y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭·22242,2y y ⎛⎫
-- ⎪+⎝⎭
=4+
()()()()
1212242422y y y y --++ =4+()()121212124816
24
y y y y y y y y -+++++
=0
∴OM ⊥ON . 即∠MON=90°, ∴∠MON 为定值.
综合检测
1.若抛物线y 2
=2px(p>0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p 的值为( )
(A)2 (B)18 (C)2或18 (D)4或16
解析:设P(x 0,y 0),则002
0010,26,2,p x y y px ⎧+=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
∴36=2p 102p ⎛⎫-
⎪⎝⎭
,
即p 2
-20p+36=0.
解得p=2或18.故选C. 答案:C
2.已知抛物线y 2
=4x 的焦点为F,过F 的直线与该抛物线相交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点,则
21y +2
2
y 的最小值是( ) (A)4 (B)8 (C)12 (D)16
解析:抛物线的准线方程为x=-1, ∴|AF|=x 1+1,|BF|=x 2+1,
∴21y +2
2y =4x 1+4x 2=4(|AF|+|BF|)-8=4|AB|-8.
∵|AB|的最小值为4(当AB ⊥x 轴时取得),
∴21y +22y 的最小值为8.故选B.
答案:B
3.设动点P(x,y)(x ≥0)到定点F 1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
的距离比到y 轴的距离大12.记点P 的轨迹为曲线C.
(1)求点P 的轨迹方程;
(2)设圆M 过A(1,0),且圆心M 在P 的轨迹上,BD 是圆M 在y 轴上截得的弦,当M 运动时弦长BD 是否为定值?说明理由; (3)过F 1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
作互相垂直的两直线交曲线C 于G 、H 、R 、S,求四边形GRHS 面积的最小值. 解:(1)由题意知,所求动点P(x,y)的轨迹为以F 1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
为焦点,直线l:x=-12为准线的抛物线,
其方程为y 2
=2x.
(2)是定值.解法如下:设圆心M 2,2a a ⎛⎫
⎪⎝⎭,
半径圆的方程为2
22a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+(y-a)2=a 2+2
212a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭, 令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),
∴BD=2,即弦长BD 为定值.
(3)设过F 的直线GH 的方程为y=k 12x ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
,G(x 1,y 1),H(x 2,y 2),
由21,22,y k x y x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩
得k 2x 2-(k 2+2)x+24k =0, ∴x 1+x 2=1+22k ,x 1x 2=14
, ∴
=2+22k , 同理得|RS|=2+2k 2.
S 四边形GRHS =21222k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2+2k 2)=22212k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥8(当且仅当k=±1时取等号). ∴四边形GRHS 面积的最小值为8.。