等差数列讲解
等差数列的认识及公式运用
一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1知识点拨等差数列的认识与公式运用由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识例题精讲【例 1】下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
高中数学必修五-等差数列
等差数列知识集结知识元等差数列的性质知识讲解1．等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1+n（n﹣1）或S n＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴a n＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．【等差数列的性质】（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．例题精讲等差数列的性质例1.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15-a5，则S9等于（）A．18B．36C．45D．60例2.记等差数列{a n}的前n项和为S n．若a5=3，S13=91，则a1+a11=（）A．7B．8C．9D．10例3.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12等差数列的通项公式知识讲解1．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．例题精讲等差数列的通项公式例1.在等差数列{a n}中，a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根，则a8=（）A．B．C．D．不能确定例2.在等差数列{a n}中，a2+a10=0，a6+a8=-4，a100=（）A．212B．188C．-212D．-188例3.在等差数列{a n}中，若a2=5，a4=3，则a6=（）A．-1B．0C．1D．6当堂练习单选题练习1.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12练习2.等差数列{a n}中，已知a2+a6=4，则a4=（）A．1B．2C．3D．4练习3.在等差数列{a n}中，若a3+a9=17，a7=9，则a5=（）A．6B．7C．8D．9练习4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章∙大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为（）A．116B．131C．146D．161练习5.已知2，b的等差中项为5，则b为（）A．B．6C．8D．10练习6.数列{a n}是等差数列，a1=1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16=15，则实数λ的最大值为（）A．B．C．D．练习7.等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，a2+a3=10，S6=54，则该数列的公差d为（）A．2B．3C．4D．6练习8.等差数列{a n}中，a1+a8=10，a2+a9=18，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4练习9.在等差数列{a n}中，已知a2+a6=18，则a4=（）A．9B．8C．81D．63。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解34 等差数列通项公式及性质
高考数学复习考点知识与结论专题讲解 第34讲 等差数列通项公式及性质【知识通关】通关一、等差数列的定义1.文字语言形式一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母d 表示. 要点诠释：(1)公差d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;(2)共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数d （即公差）. 2.符号语言形式对于数列{}n a ,若(*1,2,n n a a d n n d --=∈N …为常数)或1(n n a a d n +-=∈*,d N 为常数),则此数列是等差数列,其中常数d 叫作等差数列的公差.要点诠释：定义中要求“同一个常数d ”,必须与n 无关.通关二、等差中项如果,,a A b 成等差数列,那么A 叫作a 与b 的等差中项,即2a bA +=. 要点：诠释(1)两个数的等差中项就是两个数的算术平均数.任意两实数,a b 的等差中项存在且唯一. (2)三个数,,a A b 成等差数列的充要条件是2a bA +=.首项为1a ,公差为d 的等差数列{}n a 的通项公式为:()*1(1)n a a n d n =+-∈N推导过程：(1) 归纳法根据等差数列定义1n n a a d --=可得1n n a a d -=+,所以211(21)a a d a d =+=+-,()321112(31)a a d a d d a d a d =+=++=+=+-, ()4311123(41)a a d a d d a d a d =+=++=+=+-,1(1)n a a n d =+-.当1n =时,上式也成立.所以归纳得出等差数列的通项公式为:()*1(1)n a a n d n =+-∈N .(2) 叠加法根据等差数列定义1n n a a d --=,有:21a a d -=, 32a a d -=, 43a a d -=,1n n a a d --=.把这1n -个等式的左边与右边分别相加(叠加),并化简得1(1)n a a n d -=-,所以1(1)n a a n d =+-. (3) 迭代法()12212()(1)n n n n a a d a d d a d d d a n d---=+=++==++++=+-.所以1(1)n a a n d =+-. 要点诠释：(1) 通项公式由首项1a 和公差d 完全确定,一日一个等差数列的首项和公差确定, 该等差数列就唯一确定了.(2) 通项公式中共涉及1,,,n a n d a 四个量,已知其中任意三个量,通过解方程,便可求出第四个量.等差数列{}n a 中,()11(1)n a a n d dn a d =+-=+-,令1a d b -=, 则 : n a dn b =+（,d b 是常数且d 为公差）.(1) 当0d =时,n a b =为常数函数,{}n a 为常数列;它的图像是在直线y b =上均匀排列的一群孤立的点.(2)当0d ≠时, n a dn b =+是n 的一次函数; 它的图像是在直线y dx b =+上均 匀排列的一群孤立的点.(1)当0d >时,一次函数单调增,{}n a 为递增数列; (2)当0d <时,一次函数单调减,{}n a 为递减数列.结论一、通项公式理解由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-可知：(1) 已知等差数列的首项和公差, 可以求得这个数列的任何一项; (2)已知1,,,n a n d a 这四个量中的任意三个, 可以求得第四个量. 【例1】在等差数列{}n a 中, (1)若3731,76a a ==, 求1a 和d ; (2) 若16412,7a a a +==, 求9a . 【答案】(1)11745,24a d ==(2) 917a = 【解析】(1)等差数列的公差7376314573734a a d --===--,首项134517231242a a d =-=-⨯=. (2)由161412512,37a a a d a a d +=+==+=联立得11,2a d ==,所以918a a d =+18217=+⨯= 【变式】在等差数列{}n a 中,首项10a =,公差0d ≠,若129m a a a a =+++,则m 的值为（）.A.37B. 36C. 20D. 19【答案】A【解析】因为{}n a 为等差数列,首项11290,m a a a a a ==+++,所以0m a +=()511(1)9943636m d a a d d a d -==+==+,又公差0d ≠, 所以37m =. 故选 A.结论二、通项公式变形等差数列{}n a 满足:()*(),n m a a n m d m n =+-∈N .【例2】已知等差数列{}n a 前9项的和为1027,8a =,则100a =（）.A.100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 前9项的和为()1959599227,922a a a S a +⨯===,所以59a 527,3a ==.又因为108a =,所以1d =,所以10059598a a d =+=.故选C . 【变式】{}n a 是公差为2-的等差数列,如果1479750a a a a ++++=,那么36a a ++999a a ++等于（）. A.182- B. 78- C. 148- D. 82-【答案】D【解析】由两式的性质可知,36999147222a a a a a d a d a d ++++=+++++++972a d +, 则36999506682a a a a d ++++=+=-.故选D .结论三、公差的几何意义公差等于等差数列中任意两项之差与序号之差之比 (即斜率),表示为:d =n ma a n m--. 【例3】(1)在等差数列{}n a 中,已知1612,27a a ==,求d . (2)在等差数列{}n a 中,已知3910,28a a ==,求12a .【答案】(1)3(2)37 【解析】(1)2712361d -==-;(2)12928103,33793d a a d -===+=-.【变式】已知等差数列{}n a 中,3813381312,28a a a a a a ++==,则n a =____________.【答案】3455n -或34455n -+【解析】因为31382a a a +=,所以38138312a a a a ++==,即84a =,代人已知,有31331387a a a a +=⎧⎨⋅=⎩,解得31317a a =⎧⎨=⎩或3137.1a a =⎧⎨=⎩ 当3131,7a a ==时,133713133105a a d --===-,所以3334(3)555n a a n n =+-=-; 当3137,1a a ==时,133173133105a a d --===--,所以34455n a n =-+. 结论四、下标和相等, 项之和相等等差数列{}n a 中,若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+;若2m p q =+,则有2m a =()*,,,p q a a p q m n +∈N【例4】已知等差数列{}n a 中,79416,1a a a +==,则12a 的值是（）. A.15 B. 30C. 31D. 64【答案】A【解析】因为7941212161a a a a a +=+==+,所以1215a =.故选A.【变式】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1221S =,则25811a a a a +++=____________. 【答案】7 【解析】因为()()11212112126212a a S a a +==+=, 所以()11227a a +=, 而25a a ++()81111227a a a a +=+=.结论五、等差数列线性组合仍为等差数列若{}n a 和{}n b 均为等差数列,则{}n n a b λμ±（,λμ为常数)也是等差数列.【例5】已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+,则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若数列{}n a 是等差数列,设其公差为1d ,则()(112n n n n n b b a a a +++-=+-+)1212n n n a a a d ++=-=,所以数列{}n b 是等差数列.若数列{}n b 是等差数列,设其公差为2d ,则()()112122n n n n n n n n b b a a a a a a d +++++-=+-+=-=,不能推出数列{}n a 是等差数列.所以“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的充分不必要条件.故选A.【变式】设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=,则55a b +=____________. 【答案】35【解析】因为数列{}{},n n a b 都是等差数列,设数列{}n a 的公差为1d ,设数列{}n b 的公差为()2331112,221d a b a b d d +=+++=,而117a b +=,故()12221714d d +=-=. 所以()5533122211435a b a b d d +=+++=+=.故答案为35 .结论六、下标成等差, 项也成等差若{}n a 是等差数列,则()*2,,,,k k m k m a a a k m ++∈N 组成公差为md 的等差数列.【例6】若{}n a 为等差数列,15608,20a a ==,则75a =___________. 【答案】24【解析】因为{}n a 为等差数列,设其公差为d ,所以1530456075,,,,a a a a a 成等差数列,公差为15d .因为60154520812a a d -==-=,所以415d =,故75601520424a a d =+=+=. 【变式】已知等差数列{}n a 中,3753,44a a ==-,则15a =___________.【答案】194-【解析】解法一:设数列{}n a 首项为1a ,公差为d ,则11524364a d a d ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩,解得11294d a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以15191191414424a a d ⎛⎫=+=+⨯-=- ⎪⎝⎭. 解法二:因为734a a d =+, 所以35444d -=+, 解得12d =-, 所以157(157)a a d =+-194=- 解法三:因为{}n a 为等差数列,所以371115,,,,a a a a ,也成新的等差数列,由354a =,734a =-知上述新数列首项为54,公差为2-,所以15519(41)(2)44a =+-⨯-=-. 结论七、对称项设法1.当等差数列{}n a 的项数为奇数时,可设中间一项为a ,再以公差为d 向两边分别设项:,2,,,,2,a d a d a a d a d --++;2.当等差数列{}n a 的项数为偶数时,可设中间两项分别为,a d a d -+,再以公差为2d 向两边分别设项:,3,,,3,a d a d a d a d --++.【例7】设有四个数的数列1234,,,a a a a 前三个数构成一个等比数列,其和为k ,后三个数构成一个等差数列,其和为15,且公差非零.对于任意固定的实数k ,若满足条件的数列个数大于1,则k 的取值范围为__________.【答案】15,5(5,15)(15,)4⎛⎫⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】因为后3个数成等差数列且和为15 ,故可依次设后3个数为5,5,5d d -+(0d ≠且5)d ≠,又前3个数构成等比数列,则第一个数为2(5)5d -,即2(5)55d d -+-+5k =,化简得2157550d d k -+-=,因为满足条件的数列的个数大于1,需要0∆>,所以154k >.再由0d ≠且5d ≠,得5k ≠,且15k ≠.故答案为15,5(5,15)(15,)4⎛⎫⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭.【变式】一等差数列由3个数组成,3个数之和为9,3个数的平方和为 35 ,求这个数列. 【答案】1,3,5或5,3,1【解析】设这三个数分别为,,a d a a d -+,则222()()9()()35a d a a d a d a a d -+++=⎧⎨-+++=⎩,解得3a =,2d =±.所以所求数列为1,3,5或5,3,1.结论八、等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法有以下四种：1. 定义法:1n n a a d +-=（常数) ()n N *∈或(){}*1,2n n n a a d n N n a --=∈⇔…为等差数列. 2. 等差中项法: (){}*122n n n n a a a n N a ++=+∈⇔为等差数列.3. 通项公式法: n a an b =+（,a b 是常数,n N *∈）{}n a ⇔为等差数列.4. 前n 项和公式法:2(,n S an bn a b =+为常数{})n a ⇔为等差数列.若判断一个数列不是等差数列,只需找出三项12,,n n n a a a ++,使得这三项不满足122n n n a a a ++=+即可.【例8】已知数列{}n a 满足()*12211,3,32n n n a a a a a n ++===-∈N .(1)求证:数列{}1n n a a +-是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式;(3)若数列{}n b 满足()()*312*1111*44441bb b b b n a n ----⋅⋅⋅=+∈N ,求证:数列{}n b 是等差数列.【解析】(1) 证明因为2132n n n a a a ++=-,所以()2112n n n n a a a a +++-=-.又11a =, 23a =,得212a a -=,所以()*2112n n n na a n a a +++-=∈-N .故{}1n n a a +-是以2为首项,以2为公比的等比数列.(2) 由(1)得()*12n n n a a n +-=∈N , 故12112212,2,,n n n n n n a a a a a a ------=-=-=12, 其中2n ….将1n -个等式左右分别相加得()112122212n n n a a -⨯--==--. 故n a =12222121(2),1n n n a n n -+=-+=-=…时也成立, 所以()*21n n a n =-∈N .(3) 证明由(2)可知()*3012111144441bb b b b n a ----⋅⋅⋅⋅=+, 即()124b b b n -+++-()2112nb n nb =-+=, 故有()1222n n b b b n nb +++-=. 设n S 为{}n b 的前n 项之和,则22n n S n nb -=①,1122(1)(1)n n S n n b ++-+=+②, 由②-①得122n b +-=1(1)n n n b nb ++-,即12(1)n n nb n b +-=-③, 所以1(1)2(2)n n n b n b ---=-（2n …,*n ∈N 4）④, 由④-③得112(1)(1)(1)n n n n b n b n b -+-=-+-, 即112n n n b b b -+=+()*2,n n ∈N …. 故数列{}n b 是等差数列.【变式】在数列{}n a 中, ()*142n n S a n +=+∈N 且11a =.(1) 设12n n n b a a +=-, 求证:数列{}n b 是等比数列; (2) 设2nn na c =, 求证:数列{}n c 是等差数列. 【解析】证明 (1)142n n S a +=+①()*1,422,n n S a n n -=+∈N …②, 由①-②得1144n n n aa a +-=-,所以()11122422n n n n n n a a a a a a +---=-=-. 当1n =时,2142S a =+126a a ==+,则25a =,所以2125230a a -=-=≠,所以11222n n n n a a a a +--=-,令1n n b a +=-2n a ,所以()*122,n n bn n b -=∈N ….又12123b a a =-=,故数列{}n b 是首项为3,公比为2的等比数列.(2)因为数列{}n b 是等比数列,12123b a a =-=. 所以111132n n n n b b q a --+=⋅=⋅=-2n a , 则11232n n n a a -+-=⋅, 所以113224n n n n a a ++-=. 令2n n na c =, 又0n S ≠, 故134n n c c +-=. 又11122a c ==, 因此数列{}n c 是首项为12, 公差为34的等差数列.。
小学奥数等差数列资料讲解
一、 等差数列的定义定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如： 2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列关键词：首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、 三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）拓展公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 等差数列的基本概念及公式11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 (思路1) 1239899100++++++L11002993985051=++++++++L 1444444442444444443共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++LL L和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=三、 一个重要定理：中项定理1、项数为奇数的等差数列，和=中间项×项数．譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=L （），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．2、项数是偶数的等差数列，中间一项等于中间两项的平均数。
第二讲：等差数列及其前n项和
第二讲：等差数列及其前n 项和知识体系：一、等差数列1、等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
定义的表达式为1,n n a a d d +-=为常数。
2、等差中项：若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
3、等差数列的通项公式及其变形： 通项公式：，其中1a 是首项，d 是公差。
通项公式的变形：(),n m a a n m d n m =+-≠注意：等差数列通项公式的应用：（1）由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可知： ① 已知等差数列的首项和公差，可以求得这个数列的任何一项； ② 已知1,,,n a d n a ,这四个量中的任意三个，可以求得另一个量；（2）由等差数列通项公式变形可知，已知等差数列中的任意两项就可以确定等差数列中的任何一项。
4、等差数列和一次函数的关系由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-可得1()n a dn a d =+-，如果设1,p d q a d ==-那么n a pn q =+，其中p ，q 是常数。
当p ≠0时，（n ，a ）在一次函数y=px+q 的图像上，即公差不为零的等差数列的图像是直线y=px+q 上的均匀排开的一群孤立的点。
当p=0时，n a q =，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x 轴的直线（或x 轴）上的均匀排开的一群孤立的点。
等差数列的单调性：当d ＞0时，数列{}n a 为递增数列；当d ＜0时，数列{}n a 为递减数列；当d =0时，数列{}n a 为常数列； 二、等差数列的前n 和：1、等差数列的前n 项和：等差数列的前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+； 等差数列前n 项和公式与函数的关系：由1(1)2n n n S na d -=+可得21()22n d dS n a n =+-，设1,22d da b a ==-，则有2n S an bn =+。
(完整word版)等差数列-简单难度-讲义
等差数列知识讲解一、等差数列概念概念:如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：*1()n n a a d n N +-=∈． 二、等差数列的通项公式及推导1.等差数列的通项公式为：*1(1)n a a n d n N =+-∈，． 2。
等差数列的公式的推导：累加法3。
等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-．三、等差中项定义：如果三个数x A y ，，组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA += 四、等差数列的常用性质1.在等差数列中，若p q m n +=+，则p q m n a a a a +=+，该性质推广到三项，即m ，n ,t ,p ，q ，*s N ∈，m n s p q t ++=+++p q s m n t a a a a a a ⇒+=++． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可．2。
若{}{},n n a b 均为等差数列,且公差分别为12,d d ，则数列{}{}{},,n n n n pa a q a b +±也为等差数列，且公差分别为1112,,pd d d d ±．3。
如果等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔是递增数列;{}0n d a <⇔是递减数列；{}=0n d a ⇔ 是常数列．4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,n n m n m a a a ++，．．．．,为等差数列，公差为md ．五、等差数列的前n 项和及推导过程1.等差数列前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 2.等差数列前n 项和公式的推导:倒序相加1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--,将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+,从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．六、等差数列前n 项和的性质1.在等差数列的前n 项和也构成一个等差数列,即n S ，232,n n n n S S S S --，．．．为等列，公 差为2n d ． 2。
等差数列的认识与公式运用
和:一个数列的前 项的和，常用 来表示 ．
二、等差数列的相关公式
(1）三个重要的公式
①通项公式：递增数列:末项 首项 (项数 ) 公差,
递减数列：末项 首项 (项数 ) 公差,
回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白末项其实就是首项加上(末项与首项的）间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手.同时还可延伸出来这样一个有用的公式： ,
②项数公式：项数 （末项 首项) 公差+1
由通项公式可以得到: (若 ); (若 ）.
找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的.
譬如:找找下面数列的项数：4、7、10、1３、 、4０、4３、46 ,
分析：配组:(4、5、6)、(7、８、9）、(10、11、12)、(1３、14、15)、 、(４6、47、４8)，注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到４8有 项,每组3个数，所以共 组,原数列有15组．当然还可以有其他的配组方法.
② ,
题中的等差数列有３3项,中间一项即第17项的值是3３,而和恰等于 .
模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用
等差数列的基本认识
【例 1】下面的数列中,哪些是等差数列？若是,请指明公差，若不是,则说明理由。
①６,10，14，1８，２２,…,９8；
②1，2,1,2，３，4,5,６;
③１,2,4，8,１6,32，６4；
【例 12】小马虎计算1到20０6这2０06个连续整数的平均数。在求这20０6个数的和时，他少算了其中的一个数，但他仍按2００6个数计算平均数,结果求出的数比应求得的数小１。小马虎求和时漏掉的数是。
2023年新高考数学一轮复习7-2 等差数列及其前n项和(知识点讲解)解析版
专题7.2 等差数列及其前n 项和（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．【知识点展示】（一）等差数列1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . 2d 1(2)n n a a d n --=≥1(1)n n a a d n +-=≥1(1)n a a n d =+-A P d 0>0d =0d <a A b A a b 2a bA +=，，成等差数列. 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． （二）等差数列的前和的求和公式：. （三）等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数． (2)当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． （四）等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． （五）等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．（8）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①-S S nd =奇偶； ②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①S S -偶奇(中间项)；②. （9）等差数列中，(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.a Ab ⇔2a bA +=n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+{}n a {}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a {}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n 1n n S a S a +=奇偶21n -n a a ==中1S nS n =-奇偶（10）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．（11）若与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a Sb S --=. （12）等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．【常考题型剖析】题型一：等差数列基本量的运算例1.（2019·全国·高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ． 【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．例2．（2022·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______． 【答案】2 【解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解. 【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2.{}n a【总结提升】1.解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a 1和公差d ，通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a 1，d 表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程． 2.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.题型二：等差数列的判定与证明例3. （2020·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决. 【答案】140里. 【解析】 【分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前n 项和公式，列式求解.【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同， 所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列， 设该数列为{}n a ，第1天走的路程数为首项1a ，公差为d ， 则91260S =，147390a a a ++=. 因为1(1)2n n n S na d -=+，1(1)n a a n d =+-， 1(1)n a a n d =+-11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+所以11119(91)91260236390a d a a d a d ⨯-⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩，则514100410140a a d =+=+⨯=， 所以该男子第5天走140里.例4.（2021·全国·高考真题（文））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】的公差d，进一步写出的通项，从而求出{}n a 的通项公式，最终得证. 【详解】∵数列是等差数列，设公差为d(n -()n *∈N∴12n S a n =，()n *∈N∴当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=- 当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-， ∴{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N ∴()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦∴{}n a 是等差数列.例5．（2021·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{}n a是等差数列：②数列是等差数列；③213a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】选①②作条件证明③时，结合,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选②③作条件证明①时，an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d -，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a =．所以213a a =． 选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=， 所以()21112n n n S na d n a -=+=，)1n =+=所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a +-03a=-<不合题意，舍去. 综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a =，因为也为等差数列，所以公差1d()11n d =-=故21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意. 【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d =12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a两项的差1d11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论. 【总结提升】等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件.题型三：等差数列的前n 项和例6．【多选题】（2022·湖南永州·三模）已知等差数列{}n a 是递减数列，n S 为其前n 项和，且78S S =，则（ ）A ．0d ＞B ．80a =C ．150S >D ．7S 、8S 均为n S 的最大值【答案】BD 【解析】【分析】根据等差数列的性质以及其前n 项和的性质，逐个选项进行判断即可求解 【详解】因为等差数列{}n a 是递减数列，所以，10n n a a +-<，所以，0d <，故A 错误； 因为78S S =，所以8870a S S =-=，故B 正确； 因为()115158151502a a S a +===，故C 错误； 因为由题意得，789000a a a >⎛ = <⎝，所以，*78()n S S S n N =≥∈，故D 正确；故选：BD例7.（2020·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________． 【答案】25 【解析】 【分析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=∴1025S =. 故答案为：25.例8.（2018·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）n a =2n –9，（2）Sn =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】 【详解】分析：（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n 项和公式得nS 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{n a }的通项公式为n a =2n –9． （2）由（1）得Sn =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，Sn 取得最小值，最小值为–16．例9.（2021·全国·高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值． 【答案】(1)26n a n =-；(2)7. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-， 从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->， 解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.例10．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，11a =，0n a >，141n n n a a S +=-． (1)计算2a 的值，求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】(1)23a =，21n a n =- (2)24(21)n T n n =+ 【解析】 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到24n n a a +-=，再根据等差数列通项公式计算可得；（2）由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，利用并项求和法计算可得； (1)解：当1n =时，12141a a a =-，解得23a =， 由题知141n n n a a S +=-①，12141n n n a a S +++=-②，由②-①得121()4n n n n a a a a +++-=，因为0n a >，所以24n n a a +-=， 于是：数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，以4为公差的等差数列， 即()2114(1)432211n a n n n -=+-=-=--，偶数项是以23a =为首项，以4为公差的等差数列，即234(1)41n a n n =+-=- 所以{}n a 的通项公式21n a n =-； (2)解：由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，212(43)(41)(41)(41)4(41)n n b b n n n n n -=---+-+=-+21234212(341)()()()4[37(41)]44(21)2n n n n n T b b b b b b n n n -+-=++++++=+++-=⨯=+. 【总结提升】1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设为最小项，则有11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 题型四：等差数列性质及应用例11.（2020·浙江·高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ．2428a a a = D ．2428b b b =【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立． 【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-， 当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，n a n a()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.例12．（2014·北京高考真题（理））若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8 【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.例13．（2016·北京·高考真题（理））已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【答案】6 【解析】 【详解】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以35420a a a +==，即40a =，又4136a a d -==-，所以2d =-， 所以616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=．故答案为6．例14.（2021·江西新余四中高二月考（理））等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则2517208101214a a a ab b b b +++=+++________．【答案】4365【分析】 证明得出2121n n n n a S b T --=，结合等差中项的基本性质可求得结果. 【详解】因为等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，则()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，所以，25172011218101214112142211434321265a a a a a Sb b b b b T +++⨯+====+++⨯+.故答案为：4365. 【温馨提醒】等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n 项和公式求解．。
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习40 等差数列
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题40 等差数列考点知识1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识梳理1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为a n－a n－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1)2d或Sn＝n(a1＋a n)2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n . (6)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 为等差数列．常用结论1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2．在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．3．等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．4．数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．这里公差d ＝2A . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (3)在等差数列{a n }中，若a m ＋a n ＝a p ＋a q ，则m ＋n ＝p ＋q .(×)(4)若无穷等差数列{a n }的公差d >0，则其前n 项和S n 不存在最大值．(√)教材改编题1．在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，a 8＝5，则a 10等于() A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案C解析设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧11＝a 1＋4d ，5＝a 1＋7d ，解得⎩⎨⎧a 1＝19，d ＝－2.∴a n ＝－2n ＋21.∴a 10＝－2×10＋21＝1.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12等于() A ．12 B ．8 C ．20 D ．16 答案D解析等差数列{a n }中，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8仍为等差数列，即8,20－8，a 9＋a 10＋a 11＋a 12为等差数列，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝16.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝10，S 4＝28，则S n 的最大值为________． 答案30解析由a 1＝10，S 4＝4a 1＋6d ＝28，解得d ＝－2，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋11n .当n ＝5或6时，S n 最大，最大值为30.题型一等差数列基本量的运算例1(1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{a n }中，a 25＝a 3a 6，若该数列的前n 项和S n ＝0，则n 等于()A ．10B ．11C ．12D ．13 答案D解析由题意知(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋5)，na1＋n(n－1)2＝0，解得a1＝－6，n＝13.(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块答案C解析设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知S n，S2n－S n，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－S n)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋27×262×9＝3402(块)．思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，a n，S n，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.跟踪训练1(1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)()A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸 答案B解析由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{a n }，设公差为d ，∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，∴⎩⎨⎧a 1＋a 4＋a 7＝3a 1＋9d ＝315，S 9＝9a 1＋9×82d ＝855，解得⎩⎨⎧a 1＝135，d ＝－10，∴芒种日影长为a 12＝a 1＋11d ＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸．(2)数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n ＋1是等差数列，且a 1＝1，a 3＝－13，那么a 2024＝________.答案－10111012解析设等差数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n ＋1的公差为d ，因为a 1＝1，a 3＝－13，所以2a 1＋1＝1，2a 3＋1＝3.所以3＝1＋2d ，解得d ＝1.所以2a n ＋1＝1＋n －1＝n ，所以a n ＝2n －1.所以a 2 024＝22 024－1＝－2 0222 024＝－1 0111 012.题型二等差数列的判定与证明例2(2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解①③⇒②.已知{a n}是等差数列，a2＝3a1.设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以S n＝na1＋n(n－1)2d＝n2a1.因为数列{a n}的各项均为正数，所以S n＝n a1，所以S n＋1－S n＝(n＋1)a1－n a1＝a1(常数)，所以数列{S n}是等差数列．①②⇒③.已知{a n}是等差数列，{S n}是等差数列．设数列{a n}的公差为d，则S n＝na1＋n(n－1)2d＝12n2d＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n.因为数列{S n}是等差数列，所以数列{S n}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－d 2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{S n}的公差为d，d>0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以S n＝S1＋(n－1)d＝nd，所以S n＝n2d2，所以a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{a n}是等差数列．思维升华判断数列{a n}是等差数列的常用方法(1)定义法．(2)等差中项法．(3)通项公式法．(4)前n项和公式法．跟踪训练2已知数列{a n}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{a n}是等差数列，公差为d，且b n是a n和a n＋1的等比中项，设c n＝b2n＋1－b2n，n∈N*，求证：数列{c n}是等差数列；(2)若a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，S n为数列{a n}的前n项和，求数列{a n}的通项公式．(1)证明由题意得b2n＝a n a n＋1，则c n＝b2n＋1－b2n＝a n＋1a n＋2－a n a n＋1＝2da n＋1，因此c n＋1－c n＝2d(a n＋2－a n＋1)＝2d2(常数)，∴{c n}是等差数列．(2)解当n＝1时，a31＝a21，∵a1>0，∴a1＝1.a3＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，①1当n≥2时，a31＋a32＋a33＋…＋a3n－1＝S2n－1，②①－②得，a3n＝S2n－S2n－1＝(S n－S n－1)(S n＋S n－1)．∵a n >0，∴a 2n ＝S n ＋S n －1＝2S n －a n ，③∵a 1＝1也符合上式，∴当n ≥2时，a 2n －1＝2S n －1－a n －1，④③－④得a 2n －a 2n －1＝2(S n －S n －1)－a n ＋a n －1＝2a n －a n ＋a n －1＝a n ＋a n －1，∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，可得a n ＝n . 题型三等差数列的性质 命题点1等差数列项的性质例3(1)已知在等差数列{a n }中，若a 8＝8且log 2(1211222a a a ⋅⋅⋅…)＝22，则S 13等于() A ．40B ．65C ．80D ．40＋log 25 答案B解析log 2(1211222a a a ⋅⋅⋅…)＝log 212a ＋log 222a ＋…＋log 2112a ＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝11a 6＝22，所以a 6＝2，则S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 6＋a 8)2＝65. (2)已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝2，b 1＝－3，a 7－b 7＝17，则a 2024－b 2024的值为________． 答案4051解析令c n ＝a n －b n ，因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以{c n }也是等差数列．设数列{c n }的公差为d ，由已知，得c 1＝a 1－b 1＝5，c 7＝17，则5＋6d ＝17，解得d ＝2.故a 2024－b 2024＝c 2024＝5＋2023×2＝4051. 思维升华等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质． (2)项的性质常与等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2相结合．跟踪训练3(1)若等差数列{a n }的前15项和S 15＝30，则2a 5－a 6－a 10＋a 14等于() A ．2B ．3C ．4D ．5 答案A解析∵S 15＝30，∴152(a 1＋a 15)＝30， ∴a 1＋a 15＝4，∴2a 8＝4，∴a 8＝2.∴2a 5－a 6－a 10＋a 14＝a 4＋a 6－a 6－a 10＋a 14＝a 4－a 10＋a 14＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝2. (2)(2023·保定模拟)已知等差数列{a n }满足a 8a 5＝－2，则下列结论一定成立的是()A.a 9a 4＝－1B.a 8a 3＝－1C.a 9a 3＝－1D.a 10a 4＝－1 答案C解析由a 8a 5＝－2得a 5≠0,2a 5＋a 8＝a 4＋a 6＋a 8＝3a 6＝0， 所以a 6＝0，a 3＋a 9＝2a 6＝0， 因为a 5≠0，a 6＝0，所以a 3≠0，a 9a 3＝－1.命题点2等差数列前n 项和的性质例4(1)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11的值为() A.2945B.1329C.919D.1930答案C解析由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.(2)已知等差数列{a n}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为()A．30B．29C．28D．27答案B解析奇数项共有(n＋1)项，其和为a1＋a2n＋12·(n＋1)＝2a n＋12·(n＋1)＝290，∴(n＋1)a n＋1＝290.偶数项共有n项，其和为a2＋a2n2·n＝2a n＋12·n＝na n＋1＝261，∴a n＋1＝290－261＝29.思维升华等差数列前n项和的常用的性质是：在等差数列{a n}中，数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；S2n－1＝(2n－1)a n.跟踪训练4(1)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝20，S5＝30，a m＝40，则m等于()A．6B．10C．20D．40答案C解析由S4＝20，S5＝30，得a5＝S5－S4＝10，由等差数列的性质，得S5＝30＝5a3，故a3＝6，而a5－a3＝10－6＝4＝2d，故d＝2，a m＝40＝a5＋2(m－5)，解得m＝20.(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2020，S 20202020－S 20142014＝6，则S 2023等于()A ．2023B ．－2023C ．4046D ．－4046 答案C解析∵⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 为等差数列，设公差为d ′，则S 20202020－S 20142014＝6d ′＝6，∴d ′＝1， 首项为S 11＝－2020，∴S 20232023＝－2020＋(2023－1)×1＝2， ∴S 2023＝2023×2＝4046，故选C.课时精练1．首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d 的取值范围是() A ．(3，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3，72D.⎝ ⎛⎦⎥⎤3，72答案D解析a n ＝－21＋(n －1)d ，因为从第8项起为正数，所以a 7＝－21＋6d ≤0，a 8＝－21＋7d >0，解得3<d ≤72.2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 50－S 47＝12，则S 97等于() A ．198B ．388C ．776D ．2023 答案B解析∵S 50－S 47＝a 48＋a 49＋a 50＝12，∴a 49＝4， ∴S 97＝97×(a 1＋a 97)2＝97a 49＝97×4＝388.3．已知等差数列{a n }的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为() A ．28B ．29C ．30D ．31 答案B解析设等差数列{a n }共有2n ＋1项， 则S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ， 该数列的中间项为a n ＋1，又S 奇－S 偶＝a 1＋(a 3－a 2)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2n ＋1－a 2n )＝a 1＋d ＋d ＋…＋d ＝a 1＋nd ＝a n ＋1，所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝319－290＝29.4．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为()A．己丑年B．己酉年C．丙寅年D．甲寅年答案A解析根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年．5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若3a5＝7a11，且a1>0.则使S n<0的n的最小值为() A．30B．31C．32D．33答案B解析根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，若3a5＝7a11，且a1>0，则3(a1＋4d)＝7(a1＋10d)，变形可得4a1＋58d＝0，则a1＝－292 d，所以S n＝na1＋n(n－1)d2＝－292nd＋n(n－1)d2＝d2(n2－30n)，因为a1＝－292d>0，所以d<0，若S n<0，必有n2－30n>0，又由n∈N*，则n>30，故使S n<0的n的最小值为31.6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1tan A ，1tan B，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是() A．a，b，c依次成等差数列B.a，b，c依次成等差数列C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a3，b3，c3依次成等差数列答案ABD解析在△ABC中，若1tan A，1tan B，1tan C依次成等差数列，则2tan B＝1tan A＋1tan C，整理得2cos Bsin B＝cos Csin C＋cos Asin A，利用正弦定理和余弦定理得2·a2＋c2－b22abc＝a2＋b2－c22abc＋b2＋c2－a22abc，整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列，此时对等差数列a2，b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或a，b，c或a3，b3，c3，这些数列都不一定是等差数列，除非a＝b＝c，但题目中未说明△ABC是等边三角形．7．(2022·全国乙卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.答案2解析由2S3＝3S2＋6，可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.8．设S n是等差数列{a n}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.答案200解析依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝8 9，因此S100＝10S10＋10×92d＝10×16＋10×92×89＝200.9．已知{a n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S n，且a5＝1，________.若存在正整数n，使得S n有最小值．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n的最小值．从①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解选择①作为补充条件：(1)因为a5＝1，a3＝－1，所以d＝1，所以a n＝1＋(n－5)×1＝n－4(n∈N*)．(2)由(1)可知a1＝－3，所以S n＝n(a1＋a n)2＝12n(n－7)．因为n∈N*，所以当n＝3或4时，S n取得最小值，且最小值为－6.故存在正整数n＝3或4，使得S n有最小值，且最小值为－6.选择②作为补充条件：(1)因为a5＝1，d＝2，所以a n＝1＋(n－5)×2＝2n－9(n∈N*)．(2)由(1)可知a1＝－7，所以S n＝n(a1＋a n)2＝n2－8n.所以当n＝4时，S n取得最小值，且最小值为－16.故存在正整数n＝4，使得S n有最小值，最小值为－16. 不可以选择③作为补充条件．10．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解(1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴数列{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∵a 1＝8，a 4＝2， ∴d ＝a 4－a 14－1＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n ，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则由(1)可得，S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝9n －n 2，n ∈N *.由(1)知a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5， ∴当n >5时，a n <0， 则T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2×(9×5－25)－(9n －n 2)＝n 2－9n ＋40； 当n ≤5时，a n ≥0， 则T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2，∴T n ＝⎩⎨⎧9n －n 2，n ≤5，n ∈N *，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N *.11．(多选)已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有()A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12D．S20＝0答案AC解析根据题意，数列{a n}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d.又由a n＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，得a10＝0，故A正确；不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由S n＝na1＋n(n－1)d2＝－9nd＋n(n－1)d2＝d2×(n2－19n)，得S7＝S12，故C正确；S 20＝20a1＋20×192d＝－180d＋190d＝10d.因为d≠0，所以S20≠0，故D不正确．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＋2a7＋a8a3＋a6＝2011，则S11S8等于()A.37B.16C.511D.54答案D解析a2＋2a7＋a8a3＋a6＝2a5＋2a7a3＋a6＝4a6a3＋a6＝2011，所以a6a3＋a6＝511，所以S11S8＝11a64(a1＋a8)＝11a64(a3＋a6)＝54.13．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________．答案3n2－2n解析将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}是以1为首项，以6为公差的等差数列，故它的前n项和为S n＝n×1＋n(n－1)2×6＝3n2－2n.14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6>S7>S5，则满足S n S n＋1<0的正整数n的值为______．答案12解析由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7<S6，S7＝S5＋a6＋a7>S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝13(a1＋a13)2＝13a7<0，S12＝12(a1＋a12)2＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足S n S n＋1<0的正整数n的值为12.15．将正奇数排成一个三角形阵，按照如图排列的规律，则第15行第3个数为()A．213B．215C．217D．219答案B解析由题意知，在三角形数阵中，前14行共排了1＋2＋3＋ (14)14×(1＋14)2＝105个数，则第15行第3个数是数阵的第108个数，即所求数字是首项为1，公差为2的等差数列的第108项，则a 108＝1＋(108－1)×2＝215.16．对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn 为{a n }的“优值”，已知数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －20}的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为() A ．－70B ．－72C ．－64D ．－68 答案B解析∵数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，∴H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n ＝2n ＋1，∴a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ＋1， ∴2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n (n ≥2)，∴a n ＝4n －2(n －1)＝2n ＋2(n ≥2)，又a 1＝4，满足上式， ∴a n ＝2n ＋2(n ∈N *)， ∴a n －20＝2n －18，∴{a n －20}是以－16为首项，2为公差的等差数列， 所以{a n －20}的前n 项和S n ＝n 2－17n . 由⎩⎨⎧a n －20＝2n －18≤0，a n ＋1－20＝2n －16≥0，得8≤n ≤9，∴S n 的最小值为S 8＝S 9＝－72.。
等差数列的性质与计算
等差数列的性质与计算等差数列是数学中常见的一种数列形式，也被广泛应用在各个领域中。
本文将介绍等差数列的一些基本性质，并讲解如何进行等差数列的计算。
一、等差数列的定义和性质等差数列指的是一个数列中的每个元素与它的前一个元素之差都相等。
通常，等差数列的首项记为 a，公差记为 d。
数列的通项公式可以表示为：An = a + (n - 1)d其中 An 表示数列的第 n 项。
等差数列的性质如下：1. 公差：等差数列中相邻两项的差值称为公差，公差常用字母 d 表示。
2. 首项和末项：等差数列的首项是数列中的第一个元素，记为 a；末项是数列中的最后一个元素。
3. 通项公式：等差数列的通项公式是用来表示数列中任意一项的公式。
4. 项数：指的是等差数列中的项的个数。
5. 数列的和：等差数列的和表示数列中所有项的总和，常用字母 S 表示。
二、等差数列的计算1. 求某一项的值可以使用通项公式来计算等差数列中的任意一项的值。
例如，对于等差数列 3, 6, 9, 12, ...，如果需要计算第 7 项的值，可以使用通项公式An = a + (n - 1)d，代入 a = 3，d = 3，n = 7 进行计算。
A7 = 3 + (7 - 1)3= 3 + 6*3= 3 + 18= 21所以，等差数列 3, 6, 9, 12, ... 的第 7 项的值为 21。
2. 求前 n 项的和对于等差数列的前 n 项和，可以使用以下公式进行计算：Sn = (n/2)(2a + (n - 1)d)其中，Sn 表示等差数列的前 n 项和，a 表示首项，d 表示公差，n 表示项数。
例如，对于等差数列 2, 4, 6, 8, ...，如果需要计算前 5 项的和，可以使用上述公式计算。
S5 = (5/2)(2*2 + (5 - 1)*2)= (5/2)(4 + 4*2)= (5/2)(4 + 8)= (5/2)(12)= 30所以，等差数列 2, 4, 6, 8, ... 的前 5 项的和为 30。
等差数列帮助小学生理解等差数列的规律
等差数列帮助小学生理解等差数列的规律等差数列是数学中一种重要的数列形式，对于小学生来说，理解等差数列的规律有助于提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
本文将通过具体的例子和讲解，帮助小学生们理解等差数列的规律。
一、什么是等差数列？等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
我们可以用公式来表示等差数列：a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...，其中a为首项，d为公差，n表示项数。
例如，数列1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，其中首项a为1，公差d为2。
二、等差数列的规律1. 公差公差是等差数列中两项之间的差值，它是等差数列的一个重要特征。
可以通过计算前两项之差来得到公差。
例如，数列1, 3, 5, 7, 9的公差为2。
2. 首项与末项等差数列中的首项是指数列中的第一个数，末项是指数列中的最后一个数。
首项和公差决定了一个等差数列的所有项。
3. 第n项等差数列中的第n项可以通过公式an = a + (n-1)d来求得。
例如，对于数列1, 3, 5, 7, 9，我们可以通过an = 1 + (n-1)2来求得第n项。
三、理解等差数列规律的方法1. 观察数列的项之间的关系通过观察数列的项之间的关系，可以发现等差数列的规律。
对于数列1, 3, 5, 7, 9，我们可以发现每个数加2就可以得到下一个数。
这个规律告诉我们等差数列中的每一项都比前一项大2。
2. 利用公式计算数列的项通过利用等差数列的公式an = a + (n-1)d，我们可以快速计算数列中的任意一项。
例如，对于数列1, 3, 5, 7, 9，我们可以利用an = 1 + (n-1)2来计算第n项的值。
3. 通过练习加深理解通过练习等差数列的题目，小学生们可以更好地理解等差数列的规律。
老师可以为学生们设计一些有趣的练习题，帮助他们巩固所学的知识，并提高他们的问题解决能力。
四、应用等差数列的场景等差数列在现实生活中有很多应用场景。
等差数列讲解
课前自助餐
等差数列的基本概念
(1)定义：数列{an}满足_当__n_≥_2_时__an_－__an_－_1＝__d_(常__数__) _，则称数列
{an}为等差数列． (2)通项公式：an＝____a_1＋__(_n－__1_)d____＝am＋__(_n_－__m_)_d___
(m，n∈N*，且n>m)． (3)前n项和公式：Sn＝_n_a1_＋__n（__n_2－_1_）__d_＝__（__a1_＋_2a_n_）_n_____．
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×
2．(课本习题改编)【多选题】由下列各表达式给出的数列 {an}(n∈N*)中能表示等差数列的是( AD )
A．Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2 B．Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2－1 C．an＋12＝an·an＋2 D．2an＋1＝an＋an＋2
am＝a1＋（m－1）d＝2， 由Sm＝a1m＋12m（m－1）d＝0， 得aa11＋ m＋m－12m1（＝m2，－1）＝0，解得am1＝＝－5，2，故选C.
方法二：已知Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
由等差数列求和公式得
Sm－1＝（m－1）a1＋（m－1）2（m－2）d＝－2， ① Sm＝ma1＋m（m2－1）d＝0， ② Sm＋1＝（m＋1）a1＋m（m2＋1）d＝3. ③ ②－①，得a1＋(m－1)d＝2， ④
(3)(2021·重庆市南开中学模拟)设等差数列{an}的前n项和为 Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( C )
A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】 方法一：由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3， 得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3， 所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，
高中数学《等差数列的性质》知识点讲解及重点练习
第2课时 等差数列的性质学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．知识点一 等差数列通项公式的变形及推广设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则①a n＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②a n＝a m＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝a n－a mn－m(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的几何意义是点(n，a n)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.③可用来由等差数列任两项求公差．知识点二 等差数列的性质1．若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋a n}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·a n}公差为cd的等差数列(c为任一常数){a n＋a n＋k}公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*){pa n＋qb n}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)2.下标性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有a m＋a n＝2a p.3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．4．等差数列{a n}的公差为d，则d>0⇔{a n}为递增数列；d<0⇔{a n}为递减数列；d＝0⇔{a n}为常数列．思考 若{a n}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则a m＋a n＝a p一定成立吗？答案 不一定．如常数列{a n},1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.1．在等差数列{a n}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于( )A．5 B．8 C．10 D．14答案 C解析 a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10.2．在等差数列{a n }中，a 100＝120，a 90＝100，则公差d 等于( )A ．2B ．20C ．100D ．不确定答案 A解析 ∵a 100－a 90＝10d ，∴10d ＝20，即d ＝2.3．在等差数列{a n }中，若a 5＝6，a 8＝15，则a 14＝________.答案 33解析 由题意得d ＝a 8－a 58－5＝15－68－5＝3.∴a 14＝a 8＋6d ＝15＋18＝33.4．已知在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________.答案 15解析 由等差数列的性质，得a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16，又∵a 4＝1，∴a 12＝15.一、a n ＝a m ＋(n －m )d 的应用例1 已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.解 方法一 (利用a n ＝a m ＋(n －m )d )设数列 {a n }的公差为d ，则a 60＝a 15＋(60－15)d ＝8＋45d ，所以d ＝20－845＝1245＝415，所以a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.方法二 (利用隔项成等差数列)因为{a n }为等差数列，所以a 15，a 30，a 45，a 60，a 75也成等差数列，设其公差为d ，a 15为首项，则a 60为第四项，所以a 60＝a 15＋3d ，得d ＝4，所以a 75＝a 60＋d ＝24.反思感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m ＝1，a n ＝a m ＋(n －m )d 即变为a n＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．跟踪训练1 已知{b n}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.答案 8解析 方法一 ∵{b n}为等差数列，∴可设其公差为d，则d＝b10－b310－3＝12－(－2)7＝2，∴b n＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.方法二 由b8－b38－3＝b10－b310－3＝d，得b8＝b10－b310－3×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.二、等差数列性质的应用例2 (1)已知数列{a n}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( )A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)答案 B解析 因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.(2)已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{a n＋b n}的第37项为( )A．0 B．37 C．100 D．－37答案 C解析 设等差数列{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，则(a n＋1＋b n＋1)－(a n＋b n)＝(a n＋1－a n)＋(b n＋1－b n)＝d1＋d2，所以数列{a n＋b n}仍然是等差数列．又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.反思感悟 等差数列运算的两种常用思路(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q＝2a r.跟踪训练2 (1)数列{a n}满足3＋a n＝a n＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )A．－2 B．－12C．2 D.12答案 C解析 由3＋a n＝a n＋1，得a n＋1－a n＝3.所以{a n}是公差为3的等差数列．又a2＋a4＋a6＝9，且a2＋a6＝2a4，所以3a4＝9，则a4＝3，所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2.(2)设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.答案 35解析 因为数列{a n}，{b n}都是等差数列，所以数列{a n＋b n}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.三、等差数列中对称设项法的应用例3 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解 (1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，则Error!解得Error!所以这三个数为4,3,2.(2)设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.反思感悟 等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式．(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出．(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出．跟踪训练3 已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．解 设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有Error!整理得Error!解得a ＝1，d ＝±23.当d ＝23时，这5个数分别是－13，13，1，53，73；当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.数列问题如何选择运算方法典例 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＋2a 15＝40，求a 10.解 方法一 设数列{a n }的公差为d .则a 3＋a 7＋2a 15＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋2(a 1＋14d )＝4a 1＋36d ＝4(a 1＋9d )＝4a 10＝40，∴a 10＝10.方法二 ∵a 3＋a 7＋2a 15＝a 3＋a 7＋a 15＋a 15＝a 10＋a 10＋a 10＋a 10＝40，∴a 10＝10.[素养提升] (1)等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a 1，d ，n )，然后解方程(组)；二是借助等差数列的性质简化计算．前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法．(2)本例中明确题目的运算对象，选择适当的运算方法，灵活运用运算技巧，充分体现数学运算的数学核心素养．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( )A ．3B ．－6C ．4D ．－3答案 B解析 由等差数列的性质得a8－a3＝(8－3)d＝5d，所以d＝－20－105＝－6.2．在等差数列{a n}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )A．3 B．－3 C.32D．－32答案 A解析 由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.3．在等差数列{a n}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13的值为( )A．20 B．30 C．40 D．50答案 C解析 ∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴a1＋a13＝2a7＝40.4．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，a n组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是( )A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为d的等差数列C．新数列是公差为2d的等差数列D．新数列是公差为3d的等差数列答案 C解析 因为(a n＋1＋a n＋3)－(a n＋a n＋2)＝(a n＋1－a n)＋(a n＋3－a n＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．5．在等差数列{a n}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________.答案 10解析 由5是a3和a6的等差中项，可得a3＋a6＝2×5＝10，则由等差数列的性质可得a1＋a8＝a3＋a6＝10.1．知识清单：(1)等差数列通项公式的变形运用．(2)等差数列的性质．(3)等差数列中项的设法.2．方法归纳：解方程组法．3．常见误区：(1)对等差数列的性质不理解而致错．(2)不注意运用性质而出错或解法烦琐．1．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m的值为( ) A．12 B．8 C．6 D．4答案 B解析 由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.2．已知数列{a n}，{b n}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2a n－3b n}的公差为( )A．7 B．5C．3 D．1答案 D解析 由于{a n}，{b n}为等差数列，故数列{2a n－3b n}的公差d＝(2a n＋1－3b n＋1)－(2a n－3b n)＝2(a n＋1－a n)－3(b n＋1－b n)＝2d1－3d2＝1.3．若等差数列{a n}的首项a1＝5，a m＝3，则a m＋2等于( )A．13 B．3－4m－1C．3－2m－1D．5－2m－1答案 B解析 设等差数列{a n}的公差为d，因为a1＝5，a m＝3，所以d＝a m－a1m－1＝－2m－1.所以a m＋2＝a m＋2d＝3＋－4m－1＝3－4m－1.4．(多选)若{a n}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的是( )A．{|a n|} B．{a n＋1－a n}C．{pa n＋q}(p，q为常数) D．{2a n＋n}答案 BCD解析 数列－1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A不成立．若{a n}是等差数列，利用等差数列的定义，{a n＋1－a n}为常数列，故是等差数列，B成立．若{a n}的公差为d，则(pa n＋1＋q)－(pa n＋q)＝p(a n＋1－a n)＝pd为常数，故{pa n＋q}是等差数列，C成立．(2a n＋1＋n＋1)－(2a n＋n)＝2(a n＋1－a n)＋1＝2d＋1，故{2a n＋n}是等差数列，D成立．5．已知等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( ) A．无实根B．有两个相等的实根C．有两个不等的实根D．不能确定有无实根答案 A解析 因为a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，所以a5＝3，则方程为x2＋6x＋10＝0，因为Δ＝62－4×10＝－4<0，所以方程无实根．6．已知数列{a n}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15 ＝________，若a k＝15，则k＝________.答案 11 21解析 ∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝17 3 .又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝a9－a79－7＝7－1732＝23.∴a15＝a9＋(15－9)d＝7＋6×23＝11，∵a k ＝a 9＋(k －9)d ＝15，∴15－7＝(k －9)×23，∴k ＝21.7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．答案 －21解析 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则Error!解得Error!或Error!∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.8．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．答案 1或2解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.9．在等差数列{a n }中．(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13；(2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d .解 (1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，得4a 13＝48，∴a 13＝12.(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34，即a 2＋a 5＝17，由Error!解得Error!或Error!∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.10．四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数．解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，得Error!解得Error!或Error!又四个数成递减等差数列，所以d <0，所以d ＝－32，故所求的四个数为11,8,5,2.11．设等差数列的公差为d ，若数列{}12n a a 为递减数列，则( )A ．d >0B ．d <0C ．a 1d >0D ．a 1d <0答案 D解析 由数列{}12n a a 为递减数列，得11122,n n a a a a <－再由指数函数性质得a 1a n －1>a 1a n ，由等差数列的公差为d 知，a n －a n －1＝d ，所以a 1a n －1>a 1a n ⇒a 1a n －a 1a n －1<0⇒a 1(a n －a n －1)<0⇒a 1d <0.12．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14 B ．15 C ．16 D ．17答案 C解析 设公差为d ，∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.13．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 101<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51答案 C解析 由等差数列的性质得：a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51，由于a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，所以a 51＝0，故a 3＋a 99＝2a 51＝0.14．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17等于较小的两份之和，则最小的一份为( )A.53B.103C.56D.116答案 A 解析 设五个人所分得的面包个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，其中d >0，则(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5a ＝100，∴a ＝20.由17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，得3a ＋3d ＝7(2a －3d )，∴24d ＝11a ，∴d ＝556，∴最小的一份为a －2d ＝20－1106＝53.15．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则数列的公差d ＝________，m ＋n 的值为________．答案 16 3172解析 设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1(且1－4m >0,1－4n >0)．设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x 2.由题意知x 1＝14，∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16，∴数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712.∴x 1·x 2＝m ＝316，x 3·x 4＝n ＝512×712＝35144.∴m ＋n ＝316＋35144＝3172.16．已知两个等差数列{a n }：5,8,11，…与{b k }：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？解 由题意，知a n ＝3n ＋2(n ∈N *)，b k ＝4k －1(k ∈N *)，两数列的共同项可由3n ＋2＝4k －1求得，所以n＝43k－1.而n∈N*，k∈N*，所以设k＝3r(r∈N*)，得n＝4r－1.由已知Error!且r∈N*，可得1≤r≤25.所以共有25个相同数值的项.。
等差数列的性质和前n项和
等差数列的性质和前n 项和[概念与规律]1．等差数列}a {n 具有如下性质： （1）通项公式：dn a a n )1(1-+=，)N m ,n (d )m n (a a m n*∈-+=；（2）若qp mn +=+，则q p m n a a a a +=+（其中m 、n 、p 、*∈Nq ）。
反之未必成立；（3）公差d 的计算方法：① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a m n --2．在等差数列}a {n 中，序号成等差的项又组成一个等差数列，即l a ，k l a +，k l a 2+，…，1)k -(m +l a ，mkl a +，…是等差数列，公差为kd 。
3．在等差数列}a {n 中，依次k 个项之和仍组成一个等差数列。
即k S ，kkS S -2，kkS S 23-，…，k)l (lk S S 1--，…（2≥k ，*∈N k ）成等差数列。
4．等差数列的判断方法：①定义法：1+n a －n a =d （d 为常数），②),(为常数q p q pn a n +=⇔数列}a {n 是首项为p+q ，公差为p 的等差数列；③等差中项的定义；④前n 项和Sn=An 2+Bn （A ，B 为常数）⇔数列}a {n 是首项为A+B ，公差为2A 的等差数列。
（附：求n a 和n S 都可用待定系数法）[讲解设计]·重点与难点例1 （1）已知}a {n 是等差数列，且21512841=+-+-a a a a a ，求133a a +的值。
（2）已知在等差数列}a {n 中，若80a 49=，100a 59=，求79a 。
解 ：点评 若由已知去求首项1a 与公差d ，则运算量较大。
例2 已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-14-n a (n ≥2),令b n =21-n a .求证：数列{b n }是等差数列.练习：{a n }为等差数列，公差d ≠0,a n ≠0,(n ∈N *),且a k x 2+2a k +1x +a k +2=0(k ∈N *) (1)求证：当k 取不同自然数时，此方程有公共根； (2)若方程不同的根依次为x 1,x 2,…,x n ,…,求证：数列11,,11,1121+++n x x x 为等差数列.例3 已知等差数列}a {n 的前n 项和为n S ，且100S 10=，10100=S ，试求110S 。
等差数列教案(多篇)
一、等差数列的定义1. 导入：引导学生回顾数列的概念，进而引出等差数列的定义。
2. 讲解：等差数列是一种特殊的数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。
3. 举例：给出几个等差数列的例子，让学生观察并找出它们的公差。
4. 练习：让学生练习判断一些数列是否为等差数列，并找出它们的首项和公差。
二、等差数列的通项公式1. 导入：引导学生思考如何表示等差数列的任意一项。
2. 讲解：等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
3. 推导：引导学生利用等差数列的定义和通项公式，推导出前$n$ 项和的公式。
4. 练习：让学生运用通项公式计算等差数列的任意一项，以及求前$n$ 项和。
三、等差数列的性质1. 导入：引导学生思考等差数列有哪些性质。
2. 讲解：等差数列的性质有：①首项和末项的平均值等于中项；②相邻两项的差等于公差；③前$n$ 项和的公式为$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$。
3. 举例：给出一些等差数列，让学生观察并运用性质进行判断。
4. 练习：让学生运用等差数列的性质解决问题，如求等差数列的中项、判断两个数列是否为等差数列等。
四、等差数列的应用1. 导入：引导学生思考等差数列在实际问题中的应用。
2. 讲解：等差数列在实际问题中的应用举例：①计算等差数列的前$n$ 项和；②求等差数列的通项公式；③解决与等差数列相关的实际问题，如工资增长、人口增长等。
3. 举例：给出一些实际问题，让学生运用等差数列的知识进行解决。
4. 练习：让学生运用等差数列的知识解决实际问题，如计算工资总额、预测人口增长等。
五、等差数列的综合练习1. 给出一些关于等差数列的练习题，让学生独立完成。
2. 针对学生的练习情况，进行讲解和解答疑惑。
3. 总结本节课所学内容，强调等差数列的定义、通项公式、性质和应用。
高考数学总复习考点知识专题讲解27---等差数列
最新考纲：1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的 通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数 列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等 差数列与一次函数、二次函数的关系．
基础
知识回顾Βιβλιοθήκη 1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义
则数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝－12n＋2， ∴a5＝－12×5＋2＝－12.故选B.
2．(2019·合肥市一检)已知等差数列{an}的前n项和为
Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则m＝( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] ∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
项，且有A＝ 2 .
2．等差数列的有关公式
(1)等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通 项公式是 an＝a1＋(n－1)d(n∈N*) ．
(2)等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝ __n_a_1_＋__n_n_2_－__1_d___或Sn＝ na12＋an(n∈N*) ．
a1≠0，a2＝3a1，则SS150＝___4_____.
[解析] (1)解法一：设等差数列{an}的公差为d，
∵
S4＝0， a5＝5，
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得
a1＝－3， d＝2，
∴
an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋
nn－1 2
d
＝n2－4n.故选A.
[解析]
(1)由am－1－a
等差数列及其前n项和(解析版)
等差数列及其前n 项和一、学习目标1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 二、知识讲解知识点一 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． 知识点二 等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝ 通项公式的推广：a n ＝ (2)等差数列的前n 项和公式 S n ＝知识点三 等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． 知识点四 等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 知识点五 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． 三、例题辨析考点一 等差数列基本量的运算【典例1】记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则( )A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n=- D ．2122n S n n =-【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A 。
等差数列讲解
等差数列基础知识：1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。
⑴．对于数列⑴．对于数列{{n a },},若若n a －1-n a =d (=d (与与n 无关的数或字母无关的数或字母))，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d d 为公差。
为公差。
为公差。
2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 3．有几种方法可以计算公差d① d=n a －1-n a ②② d =11--n a a n ③ d =mn aa m n -- 4．结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q m+n=p+q，则，，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q Þq p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )但通常但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q m+n=p+q ，②，②n m n m a a a +=+ 例1：⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列是不是等差数列-5-5-5，，-9-9，，-13-13…的项？如果是，是第几项？…的项？如果是，是第几项？练习1：已知数列已知数列{{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？若是，首项与公差分别是什么？练习2：100是不是等差数列2，9，1616，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.例2：求等差数列3，7，1111，……的第，……的第4项与第10项.练习：求等差数列1010，，8，6，……的第20项.应满足什么条件？例3：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？在等差数列{{n a}中，若1a+6a=9, 4a=7,练习：在等差数列a , 9a .求3=7, 求家庭作业：1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（的值为（ ）A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（，则此数列是（ ）A．以7为首项，公差为2的等差数列的等差数列 B．以7为首项，公差为5的等差数列的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列是等差数列的等差数列 D．不是等差数列3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（等于（ ）A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（的等差中项是（ ）A．1B．3C．2D．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（的公差为（ ）A．1B．2C．3D．48．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（项，则它们的公共项的个数为（ ）A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．111．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（是等差数列，则（ ）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a512．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．13．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（等于（ ）A．﹣1 B．1C．3D．714．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（项和等于（ ）A．B．C．D．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（的值为（ ）A．6B．7C．8D．916．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（的值为（ ）A．30 B．35 C．36 D．24 17．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（是（ ）A．5B．6C．5或6 D．6或7 18．（2012•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176 19．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）A．﹣1 B．0C．1D．220．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．921．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（的值为（ ）A．4或5 B．5或6 C．4D．522．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（等于（ ）A．12 B．10 C．8D．423．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（项和为（ ）A．230 B．140 C．115 D．95 24．等差数列{a n}中，a3+a8=5，则前10项和S10=（）A．5B．25 C．50 D．100 25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（等于（ ）A．1B．2C．3D．426．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（从首项到第几项的和最大（ ）A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项二．填空题（共4小题）27．如果数列{a n}满足：=_________．28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=_________．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为项之和为 _________．30．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：的通项公式：（Ⅱ）若数列{a n}和数列{b n}满足等式：a n==（n为正整数），求数列{b n}的前n项和S n．。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解44---等差数列
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第44讲等差数列考向预测核心素养等差数列的基本运算、性质，等差数列的证明是考查的热点．选择、填空题难度较低．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，中等难度.数学抽象、逻辑推理、数学运算一、知识梳理1．等差数列的概念(1)定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．(2)等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a 与b的等差中项且a＋b＝2A．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d．(2)前n项和公式：S n＝na1＋n（n－1）2d＝n（a1＋a n）2．3．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d 是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.常用结论1．已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若p ＋q ＝s ＋t ，则a p ＋a q ＝a s ＋a t .特别地，若p ＋q ＝2m ，则2a m ＝a p ＋a q (p ，q ，s ，t ，m ∈N *)．(3)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (4)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(5)数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 成等差数列；数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列．2．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n. 二、教材衍化1．(人A 选择性必修第二册P 15练习T 4改编)已知在等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝20，a 7＝12，则a 10＝( )A ．18 B.16 C.20D.17解析：选A.因为a 4＋a 8＝2a 6＝20，所以a 6＝10.又a 7＝12，所以d ＝2，所以a 10＝a 7＋3d ＝12＋6＝18.2．(人A 选择性必修第二册P 21例6改编)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝2，且S 6＝30，则S 9＝________．解析：由已知可得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝2，2a 1＋5d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝－10，d ＝6.所以S 9＝9a 1＋9×82d ＝－90＋36×6＝126. 答案：1263．(人A 选择性必修第二册P 24练习T 3改编)设等差数列－4.2，－3.7，－3.2，…的前n项和为S n，则当n＝________时，S n取得最小值．解析：由已知得，a1＝－4.2，d＝0.5，所以a9＝a1＋8d＝－4.2＋4＝－0.2＜0.a10＝－4.2＋4.5＝0.3＞0，所以当n＝9时，S n取得最小值．答案：9一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列．( )(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.( )(4)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．( )(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)×二、易错纠偏1．(多选)(不会判断项的符号致误)设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是( )6A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值解析：选ABD.S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.则a7＋a8＜0，S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5.由a7＝0，a6＞0知S6，S7均是S n中的最大值．从而ABD均正确．2．(忽视相邻项的符号致误)首项为30的等差数列{a n}，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是________．解析：由题意知a 1＝30，a 8<0，a 7≥0.即⎩⎨⎧30＋7d <0，30＋6d ≥0，解得－5≤d <－307.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－307考点一 等差数列基本量的运算(综合研析)[学生用书P152]复习指导：探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．(链接常用结论1)(2021·新高考卷Ⅱ)记S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n项和，若a 3＝S 5，a 2a 4＝S 4.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求使S n ＞a n 成立的n 的最小值．【解】 (1)由等差数列的性质可得S 5＝5a 3，则a 3＝5a 3，所以a 3＝0， 设等差数列的公差为d ，从而有a 2a 4＝(a 3－d )(a 3＋d )＝－d 2，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(a 3－2d )＋(a 3－d )＋a 3＋(a 3＋d )＝－2d ， 从而－d 2＝－2d ，由于公差不为零，故d ＝2， 数列的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －6.(2)由数列的通项公式可得a 1＝2－6＝－4，则S n ＝n ×(－4)＋n （n －1）2×2＝n 2－5n ，则不等式S n ＞a n 即n 2－5n ＞2n －6，整理可得(n －1)·(n －6)＞0， 解得n ＜1或n ＞6，又n 为正整数，故n 的最小值为7.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．|跟踪训练|1．(2022·福州市质量检测)已知在数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 为等差数列，则a 9＝( )A.12 B.54 C.45 D.－45解析：选C.因为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 为等差数列，a 3＝2，a 7＝1， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的公差d ＝1a 7－1a 37－3＝1－127－3＝18，所以1a 9＝1a 7＋(9－7)×18＝54，所以a 9＝45.2．(2020·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2. 因为a 1＝－2，所以d ＝1. 所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25. 答案：25考点二 等差数列的判定和证明(综合研析)复习指导：判定一个数列是否为等差数列，可以根据数列的定义，也可以利用等差中项、等差数列的通项公式、前n 项和公式等．(链接常用结论1)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设公差为d ，因为{a n }为等差数列，所以a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，又公差d ＞0，所以a 2＜a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎨⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)存在．由(1)知，S n ＝n ＋n （n －1）2×4＝2n 2－n ，假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列． 由S 1＋k ＋S 3＋3k ＝2S 2＋2k ，得1＋k ＋15＋3k ＝26＋2k ，解得k ＝1. 所以S n ＋kn ＝2n 2＝2n ，当n ≥2时，2n －2(n －1)＝2，则d 为常数， 所以数列{S n ＋kn }为等差数列．故存在常数k ＝1，使得数列{S n ＋kn }为等差数列．(1)等差数列的判定与证明的常用方法①定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数，n ∈N *)或a n －a n －1＝d (d 是常数，n ∈N *，n ≥2)⇔{a n }为等差数列．②等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．③通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． ④前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔{a n }为等差数列．(2)根据数列的条件证明或判断等差数列，进而利用等差数列的公式解题，体现了逻辑推理的核心素养．[提醒] 若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项a n ，a n ＋1，a n ＋2，使得这三项不满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2即可；但如果要证明一个数列是等差数列，则必须证明任意n ∈N *都满足．|跟踪训练|(2021·高考全国卷乙)记S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2 S n ＋1bn＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．解：(1)证明：因为b n是数列{S n}的前n项积，所以当n≥2时，S n＝bnbn－1，代入2Sn＋1bn＝2可得，2b n－1bn＋1bn＝2，整理可得2b n－1＋1＝2b n，即b n－b n－1＝12(n≥2)．又2S1＋1b1＝3b1＝2，所以b1＝32，故{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列．(2)由(1)可知，b n＝n＋22，则2Sn＋2n＋2＝2，所以S n＝n＋2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝32，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n＋2n＋1－n＋1n＝－1n（n＋1）.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n＝1，－1n（n＋1），n≥2.考点三等差数列的性质及应用(多维探究)复习指导：了解等差数列与一次函数的关系，并能用等差数列的有关知识解决相应问题．角度1 等差数列项的性质(1)在公差不为0的等差数列{a n}中，4a3＋a11－3a5＝10，则15a4＝( )A．－1 B.0C.1D.2(2)(2020·高考北京卷)在等差数列{a n}中，a1＝－9，a5＝－1.记T n＝a1a2…a n(n＝1，2，…)，则数列{T n}( )A．有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项【解析】(1)由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a 5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以15a4＝1.(2)设等差数列{a n}的公差为d，因为a1＝－9，a5＝－1，所以a5＝－9＋4d＝－1，所以d＝2，所以a n＝－9＋(n－1)×2＝2n－11.令a n＝2n－11≤0，则n≤5.5，所以n≤5时，a n<0；n≥6时，a n>0.所以T1＝－9<0，T2＝(－9)×(－7)＝63>0，T3＝(－9)×(－7)×(－5)＝－315<0，T4＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)＝945>0，T5＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)×(－1)＝－945<0，当n≥6时，a n>0，且a n≥1，所以T n＋1<T n<0，所以T n＝a1a2…a n(n＝1，2，…)有最大项T4，无最小项．【答案】(1)C (2)B角度2 等差数列和的性质中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千五百二十岁，….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为( )A ．71 B.72 C.89D.90【解析】 设这些老人的年龄形成数列{}a n ，设最年长者的年龄为a 1， 则由题可知数列{}a n 是公差为－1的等差数列，且S 19＝1 520， 则S 19＝19a 1＋19×182×()－1＝1 520，解得a 1＝89.故选C. 【答案】 C角度3 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11.则当n 为多少时，S n最大？【解】 方法一：设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.所以S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大．方法二：易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称．由方法一可知A ＝－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大．求等差数列前n 项和最值的常用方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值． (3)项的符号法(邻项变号法)：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .|跟踪训练|1．(多选)(2022·济宁邹城期中)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，公差为d ，若S 9＝a 5＋a 12，a 1>0，则以下结论一定正确的是( )A ．d <0 B.S 2＝S 5C ．|a 1|>|a 9|D.S n 取得最大值时，n ＝3解析：选AB.因为数列{a n }是等差数列， 所以S 9＝a 5＋a 12⇒9a 1＋36d ＝2a 1＋15d ⇒a 1＝－3d . 对于A ：因为a 1>0，所以d <0，故A 对．对于B ：S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝－5d ，S 5＝－5d ，故B 对． 对于C: |a 9|＝|a 1＋8d |＝53|a 1|，因此|a 1|<|a 9|，故C 错误．对于D ：S n ＝d2n 2－7d 2n ，当n ＝72时S n 取到最大值，因为n ∈N *，所以n ＝3或4，故D错误．2．(链接常用结论1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 020，S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6，则S 2 023＝( )A ．2 023 B.－2 023 C ．4 046 D.－4 046解析：选C.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 为等差数列，设公差为d ′，则S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6d ′＝6，所以d ′＝1，首项为S 11＝－2 020，所以S 2 0232 023＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，所以S 2 023＝2 023×2＝4 046.3．(2022·广东韶关一模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＋a 7＝1，则S 12＝________，若a 7＜0，则使得不等式S n ＜0成立的最小整数n ＝________．解析：根据{a n }为等差数列，且a 6＋a 7＝1，得S 12＝6(a 6＋a 7)＝6； 若a 7＜0，则S 13＝（a 1＋a 13）×132＝13a 7＜0，又S 12＞0，所以使不等式S n ＜0成立的最小整数n ＝13. 答案：6 134．(链接常用结论2)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －13n －2，则a 11b 6＋b 10＋a 5b 7＋b 9的值为________．解析：a 11b 6＋b 10＋a 5b 7＋b 9＝a 11＋a 52b 8＝2a 82b 8＝a 8b 8， 又a 8b 8＝S 2×8－1T 2×8－1＝S 15T 15＝2×15－13×15－2＝2943.答案：2943[A 基础达标]1．(2022·新高考模拟)等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.14 B.12 C.2D.－12解析：选A.由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14.2．数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，且1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1(n ∈N *)，则a 10＝( )A ．－5B.－15C.5D.15 解析：选D.因为1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1(n ∈N*)，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是等差数列，又因为a 1＝2，a 2＝1，所以1a 1＝12，1a 2－1a 1＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列，所以1a n ＝n 2，a n ＝2n ，所以a 10＝15.故选D.3．两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为正整数的n 的个数是( )A ．5 B.4 C.3D.2解析：选A.因为a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以当n ＋1＝2，3，4，6，12，即n＝1，2，3，5，11时，a nb n为正整数．故选A.4．若等差数列{a n }首项为2，公差为2，其前n 项和记为S n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的前n 项和为( )A.2nn ＋1 B.n n ＋1C.1n （n ＋1）D.n 2（n ＋1）解析：选B.由题意得S n ＝2n ＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)，所以1S n＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的前n 项和为T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(多选)已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且2a 1＋3a 3＝S 6，则以下结论正确的是( )A ．a 10＝0 B.S 10最小 C ．S 7＝S 12D.S 19＝0解析：选ACD.因为2a 1＋3a 3＝S 6，所以2a 1＋3a 1＋6d ＝6a 1＋15d ， 所以a 1＋9d ＝0，即a 10＝0，A 正确； 当d ＜0时，S n 没有最小值，B 错误；S 12－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝5a 10＝0， 所以S 12＝S 7，C 正确；S 19＝（a 1＋a 19）×192＝19a 10＝0，D 正确．故选ACD.6．(一题多解)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝____________．解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，所以S 10＝10×1＋10×92×2＝100.优解：由题意，得公差d ＝14(a 7－a 3)＝2，所以a 4＝a 3＋d ＝7，所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(a 4＋a 7)＝100.答案：1007．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 11，则S n 取最大值时n 的值是________． 解析：设S n ＝An 2＋Bn .由a 1＞0，S 4＝S 11可知，d ＜0，则d2＝A ＜0.易知{S n }是y ＝Ax 2＋Bx 图象上一系列孤立的点的纵坐标，y ＝Ax 2＋Bx 的图象开口向下，对称轴是直线x ＝4＋112＝152.故S n 取最大值时n 的值是7或8. 答案：7或88．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝1，则a n＝________．解析：因为S n －S n －1＝1，所以{S n }为等差数列， 又S 1＝a 1＝1，所以S n ＝n ，即S n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又a 1＝1满足上式，所以a n ＝2n －1. 答案：2n －19．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解：(1)设{a n }的公差为d ， 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0， 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4， 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由题意得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n （n －9）d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}．10．(2021·新高考卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数.(1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式； (2)求{a n }的前20项和．解：(1)因为b n ＝a 2n ，且a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n 为奇数，a n＋2，n 为偶数，所以b 1＝a 2＝a 1＋1＝2，b 2＝a 4＝a 3＋1＝a 2＋2＋1＝5.因为b n ＝a 2n ，所以b n ＋1＝a 2n ＋2＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋1＋1＝a 2n ＋2＋1＝a 2n ＋3， 所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋3－a 2n ＝3，所以数列{b n }是以2为首项，3为公差的等差数列，b n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，n ∈N *. (2)因为a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n 为奇数，a n＋2，n 为偶数，所以k ∈N *时，a 2k ＝a 2k －1＋1＝a 2k －1＋1，即a 2k ＝a 2k －1＋1 ①，a 2k ＋1＝a 2k ＋2 ②，a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1＝a 2k ＋1＋1，即a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1 ③， 所以①＋②得a 2k ＋1＝a 2k －1＋3，即a 2k ＋1－a 2k －1＝3，所以数列{a n }的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； ②＋③得a 2k ＋2＝a 2k ＋3，即a 2k ＋2－a 2k ＝3，又a 2＝2，所以数列{a n }的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．所以数列{a n }的前20项和S 20＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20)＝10＋10×92×3＋20＋10×92×3＝300. [B 综合应用]11．(多选)设正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，则( ) A ．a 2a 9的最大值为10 B ．a 2＋a 9的最大值为210 C.1a 22＋1a 29的最大值为15D ．a 42＋a 49的最小值为200解析：选ABD.由题意得(a 2＋a 9)2＝2a 2a 9＋20，即a 22＋a 29＝20.A ．a 2a 9≤a 22＋a 292＝202＝10，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故A 选项正确；B ．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 922≤a 22＋a 292＝10，所以a 2＋a 92≤10，a 2＋a 9≤210，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故B 选项正确；C.1a 22＋1a 29＝a 22＋a 29a 22·a 29＝20a 22·a 29≥20⎝⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2922＝20102＝15，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立， 所以1a 22＋1a 29的最小值为15，故C 选项错误；D ．结合A 的结论，有a 42＋a 49＝(a 22＋a 29)2－2a 22·a 29＝400－2a 22·a 29≥400－2×102＝200，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故D 选项正确．12．(多选)(2022·石家庄二中一模)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( )A ．a n ＝－12n －1B ．a n＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *C ．数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 为等差数列D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 050解析：选BCD.由题意得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1， 整理得1S n ＋1－1S n＝－1(常数)，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C 正确；所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，故S n ＝－1n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1n －1－1n(首项不符合通项公式)， 故a n＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *，故B 正确，A 错误； 所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5 050，故D 正确．13．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为________．解析：因为所给数列为高阶等差数列，设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列．如图：由图可得⎩⎨⎧y －36＝12x －107＝y ，解得⎩⎨⎧x ＝155y ＝48.答案：15514．(2022·河北桃城衡水中学检测)已知在数列{a n }中，a 6＝11，且na n －(n －1)a n ＋1＝1，则a n＝________；a 2n ＋143n的最小值为________． 解析：因为na n －(n －1)a n ＋1＝1， 所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2＝1， 两式相减得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0， 所以a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1， 所以数列{a n }为等差数列．当n ＝1时，由na n －(n －1)a n ＋1＝1得a 1＝1，由a 6＝11得公差d ＝2， 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a 2n ＋143n ＝（2n －1）2＋143n＝4n ＋144n －4≥24n ·144n－4＝44，当且仅当4n ＝144n，即n ＝6时等号成立．答案：2n －1 44[C 素养提升]15．已知数列{a n }满足：a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4(n ＞1，n ∈N *)． (1)求a 1，a 2及通项公式a n ；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列S 1，S 2，S 3，…中哪一项最小？ 解：(1)由题意得a n －a n －1＝4(n ＞1，n ∈N *)， 即数列{a n }是公差d ＝4的等差数列， 所以a 2＝a 3－d ＝－13－4＝－17，a 1＝a 2－d ＝－17－4＝－21，所以通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－21＋4(n －1)＝4n －25. (2)令a n ＝4n －25≥0，解得n ≥254， 所以数列{a n }的前6项为负值，从第7项开始为正数， 所以数列S 1，S 2，S 3，…中S 6最小．16．(2022·青岛高三模拟)已知{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数都不在下表的同一列．请从①a 1＝2，②a 1＝1，③a 1＝3的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{a n}存在；并在此存在的数列{a n}中，试解答下列两个问题．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n＝(－1)n＋1a2n，求数列{b n}的前n项和T n.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)若选择条件①，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝6，a3＝7，不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝8，不是等差数列；当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝4，a3＝7，不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝12，不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝4，a3＝8，不是等差数列，a1＝2，a2＝6，a3＝12，不是等差数列，则a1＝2放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在．若选择条件②，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝1，a2＝6，a3＝7，不是等差数列，a1＝1，a2＝9，a3＝8，不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝1，a2＝4，a3＝8，不是等差数列，a1＝1，a2＝6，a3＝12，不是等差数列，当放在第一行第二列时，由题意知，可能的组合有a1＝1，a2＝9，a3＝12，不是等差数列，a1＝1，a2＝4，a3＝7，是等差数列，则公差d＝a2－a1＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝3n－2，n∈N*.若选择条件③，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝6，a3＝7，不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝8，不是等差数列；当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝4，a3＝7，不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝12，不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝4，a3＝8，不是等差数列，a1＝3，a2＝6，a3＝12，不是等差数列，则a1＝3放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在．综上可知，a n＝3n－2，n∈N*.(2)由(1)知，b n＝(－1)n＋1(3n－2)2，所以当n为偶数时，T＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝a21－a22＋a23－a24＋…＋a2n－1－a2nn＝(a1＋a2)(a1－a2)＋(a3＋a4)(a3－a4)＋…＋(a n－1＋a n)(a n－1－a n)＝－3(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝－3×n （1＋3n －2）2＝－92n 2＋32n ；当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝－92(n －1)2＋32(n －1)＋(3n －2)2＝92n 2－32n －2，所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－92n 2＋32n ，n ＝2k ，k ∈N *，92n 2－32n －2，n ＝2k －1，k ∈N *.。
高中数学(人教a版)等差数列的概念
等差数列等差数列的含义1.等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)．2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.3．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d.4．从函数角度认识等差数列{a n}若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位．例题讲解1．已知等差数列{a n}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝________.2．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________．等差数列的判定与证明1.已知数列{a n}的通项公式a n＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意实数p和q，数列{a n＋1－a n}是等差数列．等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．2．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．等差中项的应用例1已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求p ，q 的值．2．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________.等差数列的性质1.等差数列的图象等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，a n是一固定常数；当d≠0时，a n相应的函数是一次函数；点(n，a n)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．等差数列的性质(1){a n}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝2a k.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q 是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(5){a n}的公差为d，则d>0⇔{a n}为递增数列；d<0⇔{a n}为递减数列；d＝0⇔{a n}为常数列．课间练习1．下列说法中正确的是________(填序号)．①若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列．②若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列．③若{a n}是等差数列，则对任意n∈N*都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.④数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．2．在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________.3．在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.4．已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.灵活设元解等差数列例1已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a ＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.2．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.等差数列的实际应用例1.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图2-2-1.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．甲乙请你根据提供的信息回答问题．(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由．2．某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？等差数列的性质探究1数列2,4,6,8,10,12,14,16，…是等差数列吗？2,6,10,14，…是等差数列吗？4,8,12,16是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？探究2在等差数列{a n}中，若a n＝3n＋1，那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？探究3在等差数列{a n}中，2a n＝a n＋1＋a n－1(n>1)成立吗？2a n＝a n＋k＋a n－(n>k>0)是否成立？k课后练习1.在公差为d的等差数列{a n}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.2．(1)设数列{a n}，{b n}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.(2)已知{a n}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.3．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是()A．b n＝－a n B．b n＝a2n C．b n＝a n D．b n＝1 a n4．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于() A．40 B．42 C．43 D．455．在等差数列{a n}中，a2＋a5＝9，a8＝6，则a2＝______________________.6．若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________.7．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.。
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求ห้องสมุดไป่ตู้数公式
若一个公差为d的等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列中的数的个数为：
1k2k3k4k5k6k(n-1)knk
┴┴┼┴┴┴┴┼┴┴┴┴┼┴┴┴┴┼┴┴┴┴┼┴┴┴┴┼┴┴┴ … ┴┴┴┼┴┴┴┴┼┴┴┴
a1a2a3a4a5a6… an-1an
补充： 已知公差d和第m项的值求第n项的值
实例：等差数列：1,3,5,7,9,11,13,15,17……2n-1
已知其首项a1为1，公差d为2，则第5项为：
已知其第3项a3为5，公差d为2，则第8项为：
求和公式
若一个有n个数的等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：
等差数列前N项求和，实际就是梯形面积公式的妙用：
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
例如：1,3,5,7,9……2n-1。
通项公式（各项的数值）为：an=a1+(n-1)*d。首项a1=1，公差d=2。
如果一个等差数列的首项为a1，公差为d，那么该等差数列第n项的表达式为：
计算上面刻度尺中1k点至nk点之间的距离：
刻度尺上1k点至nk点之间连接了多少个“┼”：
刻度值1k→等差数列中的首项a1
刻度值nk→等差数列中的末项an
刻度单位k→等差数列中的公差d