2022年北京市中考数学学业水平练习试题及答案解析

2022年北京市中考数学学业水平练习试卷（3月份）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是( )
A. 圆柱
B. 圆锥
C. 三棱柱
D. 正方体
2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014−2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为( )
A. 0.1692×1012
B. 1.692×1012
C. 1.692×1011
D. 16.92×1010
3. 下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是( )
A.
B.
C.
D.
4. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率为( )
A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
8
5. 如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BC//OP交⊙O于点C.若∠B=70°，则∠OPC 的度数为( )
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
6. 实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. a+b>0
B. |b|=|c|
C. a<−d
D. ab<0
7. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
若圆的半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x).下列描述正确的是( )
A. d(25%)=1
B. 当x>50%时，d(x)>1
C. 当x1>x2时，d(x1)>d(x2)
D. 当x1+x2=100%时，d(x1)=d(x2)
8. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx−6与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y=kx+2k 与x轴，y轴分别交于点C，D，其中k>0，M，N为线段AB上任意两点，P，Q为线段CD上任意两点，记点M，N，P，Q组成的四边形为图形G.下列四个结论中，不正确结论的序号是( )
A. 对于任意的k，都存在无数个图形G是平行四边形
B. 对于任意的k，都存在无数个图形G是矩形
C. 存在唯一的k，使得此时有一个图形G是菱形
D. 至少存在一个k，使得此时有一个图形G是正方形
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若1
在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．
√3−x
10. 分解因式：6x2y−3xy=．
11. 已知a2−8=3a，代数式3(a−1)2−3(a+1)的值为．
12. 盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如
，则x和y满足的关系式为．
果它是黑棋的概率是2
7
13. 如图，两条射线AM//BN，点C，D分别在射线BN，AM上，只需添加一个条件，即可证明四边形ABCD是平行四边形，这个条件可以是(写出一个即可)．
14. 已知三角形ABC是锐角三角形，其中∠A=30°，BC=4，设BC边上的高为ℎ，则ℎ的取值范围是．
15. 甲、乙、丙三人进行乒乓球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行.半天训练结束
时，发现甲共当裁判4局，乙、丙分别打了9局、14局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了局比赛，其中第7局比赛的裁判是．
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点Q(5,2)，Z(5,3)，⊙Q的半径为1，直线l：y=ax，给出下列四个结论：
①当a=1时，直线l与⊙Q相离；
②若直线l是⊙Q的一条对称轴，则a=2
5
；
③若直线l与⊙Q只有一个公共点T，则OT=2√7；
④若直线l上存在点Y，⊙Q上存在点C，使得∠ZYC=90°，则a的最大值为3
4
．
其中所有正确结论的序号是．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
17. 计算：3cos30°+|1−√3|−(π+2)0．
18. 解不等式组：{−3(x−2)≥4−x 1+2x
3
>x−1．
四、解答题（本大题共10小题，共58.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题5.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−2mx+n=0．
(1)若此方程总有两个相等的实数根，求n的值．(用含m的代数式表示)；
(2)当m=2时，此方程有两个不相等的整数根，写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
20. (本小题5.0分)
如图，在平面上存在两点Z，C．
(1)请用直尺和圆规作出圆Z(保留作图痕迹)，使得圆Z上存在点Y满足ZY=CY且∠ZYC=90°，并写出圆Z符合条件的主要依据；
(2)在(1)的条件下，若ZC=12，求圆Z的半径．
21. (本小题6.0分)
已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点.若∠EDF=90°，且BE2+ FC2=EF2，求证：∠BAC=90°．
22. (本小题6.0分)
的图象过点P(2,2)．
在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k
x
(1)求k的值；
(2)一次函数y=x+a与y轴相交于点M，与反比例函数y=k
(x>0)的图象交于点N，过点M
x
≤S△MNQ≤2时，通过画作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，两平行线相交于点Q，当1
2
图，直接写出a的取值范围．
23. (本小题5.0分)
行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表：
刹车时车速(千
0510********
米/时)
刹车距离(米)00.10.30.61 1.5 2.1 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；
(2)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
(3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．
24. (本小题6.0分)
品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎.节目规则如下：由100位诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五轮题.每轮比赛答题时，如挑战者答对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑战者答错，则该轮不得分，且停止答题.每轮比赛的得分之和即为挑战者的总得分.现有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：
a.甲、乙两人参加比赛的得分统计图如图1，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙二人在相同轮次的得分；
b.丙参加比赛的得分统计图如图2；
根据以上信息，回答下列问题：
(1)已知点A的坐标为(26,18)，则此轮比赛中：甲的得分为______ ，与甲同场答题的百人团
中，有______ 人答对；
(2)这五轮比赛中，甲得分高于乙得分的比赛共有______ 轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的为______ ；
(3)设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为s12，乙参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为s22，则s12______ s22(填“>”，“<”或“=”)．
25. (本小题5.0分)
BC的如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，O是BC的中点，到点O的距离等于1
2
所有点组成的图形记为G，图形G与AB交于点D．
(1)补全图形并求线段AD的长；
(2)点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与图形G有且只有一个交点？请说明理由．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式为y=x2−6ax+6a．
(1)求抛物线的对称轴(用含a的式子表示)；
(2)当x≥a时，二次函数的图象记为图形G．
①当图形G与坐标轴有两个不同的交点时，求a的取值范围；
②当图形G上恰有3个点到x轴的距离为1时，请直接写出a的取值范围．
27. (本小题7.0分)
如图，在等边△ABC中，点D是边BC的中点，点E是直线BC上一动点，将线段AE绕点E逆时针旋转60°，得到线段EG，连接AG，BG．
(1)如图1，当点E与点D重合时．
①依题意补全图形；
②判断AB与EG的位置关系；
(2)如图2，取EG的中点F，写出直线DF与AB夹角的度数以及FD与EC的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面内，对点组A1，A2，…，A n和点P给出如下定义：点P与点A1，A2，…，A n的距离分别记作d1，d2，…，d n，数组d1，d2，…，d n的中位数称为点P对点组A1，A2，…，A n的中位距离．
例如，对点组A1(0,0)，A2(0,3)，A3(4,1)和点P(4,3)，有d1=5，d2=4，d3=2，故点P对点组A1，A2，A3的中位距离为4．
(1)设Z1(0,0)，Z2(4,0)，Z3(0,4)，Y(0,3)，直接写出点Y对点组Z1，Z2，Z3的中位距离；
(2)设C1(0,0)，C2(8,0)，C3(6,6)，则点Q1(7,3)，Q2(3,3)，Q3(4,0)，Q4(4,2)中，对点组C1，C2，C3的中位距离最小的点是______，该点对点组C1，C2，C3的中位距离为______；
(3)设M(1,0)，N(0,√3)，T1(t,0)，T2(t+2,0)，T3(t,2)，若线段MN上任意一点对点组T1，T2，T3的中位距离都不超过2，直接写出实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，
∴展开图可得此几何体为圆柱．
故选：A．
展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图．
此题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力．
2.【答案】C
【解析】解：将169200000000用科学记数法表示应为1.692×1011．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：A、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
C、主视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
D、主视图和俯视图完全相同，是等圆，故本选项符合题意．
故选：D．
主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4.【答案】C
【解析】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种，
∴两次都是“正面朝上”的概率为1
，
4
故选：C．
画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果数，然后根据概率公式求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】B
【解析】解：如图，连接OC，
∵PA与⊙O相切，
∴∠PAO=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=70°，
∵BC//OP，
∴∠AOP=∠B=70°，∠POC=∠OCB=70°，
∴∠APO=20°，
在△AOP和△COP中，
{AO=CO
∠AOP=∠COP=70°OP=OP
，
∴△AOP≌△COP(SAS)，
∴∠APO=∠CPO=20°，
故选：B．
由切线的性质可得∠PAO=90°，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠AOP=∠B=70°，∠POC=∠OCB=70°，由“SAS”可证△AOP≌△COP，即可求解．
本题考查了切线的性质，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：根据数轴图知：a<b<0<c<d，|b|=|c|<|a|<|d|，
A.a+b<0，故选项A不符合题意；
B.|b|=|c|，故选项B符合题意；
C.a>−d，故选项C不符合题意；
D.ab>0，故选项D不符合题意．
故选：B．
根据数轴上点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义，可得答案．
本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、当进度为25%时，MN所对的圆心角是90°，则MN与圆心构成等腰直角三角形，则MN=d(25%)=√2，本选项不符合题意；
B、当x=50%时，MN即为圆的直径，d(50%)=2，
则当x>50%时，0≤d(x)<2，本选项不符合题意；
C、当x1>x2时，d(x1)与d(x2)可能相等，可能不等，本选项不符合题意；
D、当x1+x2=100%时，d(x1)=d(x2)，本选项符合题意．
故选：D．
本题考查圆的相关概念，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，利用图象判断即
可．
8.【答案】C
【解析】解：∵y=kx−6与x轴，y轴分别交于点A，B，y=kx+2k与x轴，y轴分别交于点C，D，k>0，
∴AB//CD，
A、∴只要满足MN=PQ，则图形G是平行四边形，∴A不符合题意；
B、∴只要满足MP垂直于直线y=kx−6或直线y=kx+2k，即可得图形G是矩形，∴B不符合题意；
C、∵图形G是平行四边形，
∴只要满足MP=MN，得图形G是菱形，
∴k为任意的实数，
∴C符合题意；
D、∵两平行线之间的距离处处相等，
在C的结论上，则只要满足MP=MN，即可成为正方形，
∴D不符合题意；
故选：C．
根据两个一次函数的比例系数都是k，得两个一次函数图象平行，
A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；
B、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断；
C、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断；
D、根据一组邻边相等的菱形是正方形判断．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握四个特殊平行四边形图形的判定定理的应用是解题关键．
9.【答案】x<3
【解析】解：由题意得3−x>0，
解得x<3，
故答案为：x<3．
根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．
题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
10.【答案】3xy(2x−1)
【解析】解：6x2y−3xy=3xy(2x−1)，
故答案为：3xy(2x−1)．
直接提取公因式3xy，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
11.【答案】24
【解析】解：∵a2−8=3a，
∴a2−3a=8，
原式=3(a2−2a+1)−3a−3
=3a2−6a+3−3a−3
=3a2−9a
=3(a2−3a)
=3×8
=24．
故答案为：24．
原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.【答案】y=5
2
x
【解析】解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，
∴袋中共有(x+y)个棋，
∵黑棋的概率是2
7
，
∴可得关系式x
x+y =2
7
，
∴x和y满足的关系式为y=5
2
x.
故答案为：y=5
2
x.
根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有(x+y)个棋，再根据概率公式列出关系式即可．此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种
结果，那么事件A的概率P(A)=m
n ．
13.【答案】AD=BC或AB//CD(答案不唯一)
【解析】解：在四边形ABCD中，AB=CD，
∴再加条件AB//CD或AD=BC，四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：AB//CD或AD=BC(答案不唯一)．
在四边形ABCD中，AB=CD，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形与一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
14.【答案】4√3<ℎ⩽4+2√3
【解析】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过O作OP⊥BC，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∵BC=4，
∴OA=BC=4，PO=2√3，
∴ℎ≤AO+OP=4+2√3，
如图2，A1B⊥BC，A2C⊥BC，则A1B=4√3，
∵三角形ABC是锐角三角形，
∴点A在A1、A2之间，
∴ℎ的取值范围是：4√3<ℎ⩽4+2√3．
本题考查圆周角定理和等边三角形的判定和性质，作出隐形圆是解题关键．
15.【答案】19
乙
【解析】解：∵甲当了4局裁判，
∴乙、丙之间打了4局，
又∵乙、丙分别共打了9局、14局，
∴乙与甲打了9−4=5局，丙与甲打了14−4=10局，
∴甲、乙、丙三人共打了4+5+10=19局，
又∵丙与甲打了10局，
∴乙当了10局裁判，
而从1到19共9个偶数，10个奇数，
∴乙当裁判的局为奇数局，
∴第7局比赛的裁判是：乙，
故答案为：19，乙．
先确定了乙与丙打了4局，甲与丙打了10局，进而确定三人一共打的局数和甲、乙、丙当裁判的局数，即可得到答案．
由已知无法知道第7局的裁判是谁，但是，由于每局比赛都有胜负，所以任意连着的两局之间不可能是同样的对手搭配，就是说这局是甲乙，下局可能是甲丙或乙丙，必然被别的对阵隔开。

而19局比赛，丙与甲打了10局，剩下的是乙与甲打了5局，乙与丙打了4局，类似于植树问题，一定开始和结束的两局都是丙与甲，中间被甲乙、乙丙隔开，所以可知奇数局都是在甲丙之间进行的。

本题考查统计和概率的推理与论证．解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法．并递推出相关的关系式．从而解决问题．
16.【答案】①②③④
【解析】解：①∵点Q(5,2)，Z(5,3)，⊙Q的半径为1，
当a=1时，直线l：y=x，如图，直线l1与⊙Q相离，故①正确；
②若直线l是⊙Q的一条对称轴，则直线l一定过圆心，
所以将Q(5,2)代入y=ax，得a=2
，故②正确；
5
③若直线l与⊙P只有一个公共点T，则直线l与圆Q相切，如图中的l2，l3，
则OQ=√52+22=√29，
∵直线l2，l3与圆Q相切，
∴QT⊥l2，QY⊥l3，
∵⊙Q的半径为1，
∴OY=OT=√OQ2−YQ2=√29−1=2√7，故③正确；
④若直线l上存在点Y，⊙Q上存在点C，使得∠ZYC=90°，并使y=ax中a取得最大值，则如图，
则YZ//x轴，YC//y轴，
即Y(4,3)，代入y=ax，得a=3
4
，
则a的最大值为3
4
，故④正确．
∴正确的结论序号是：①②③④．
故答案为：①②③④．
①根据Q(5,2)，Z(5,3)，⊙Q的半径为1，当a=1时，直线l：y=x，根据直线和圆的关系进而可以判断；
②直线l是⊙Q的一条对称轴，则直线l一定过圆心，所以将Q(5,2)代入y=ax，即可进行判断；
③若直线l与⊙Q只有一个公共点T，则直线l与圆Q相切，然后根据勾股定理进行计算即可判断；
④直线l上存在点Y，⊙Q上存在点C，使得∠ZYC=90°，并使y=ax中a取得最小值，则ZY⊥y轴，YC⊥x轴时，即Y(4,3)，代入y=ax，求出a的值，即可判断．
本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系．
17.【答案】解：3cos30°+|1−√3|−(π+2)0
=3×√3
2+(√3−1)−1
=3√3
2+√3−1−1
=5√3
2
−2．
【解析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：{−3(x−2)≥4−x①1+2x
3
>x−1②
，
由①得：x≤1，
由②得：x<4，
不等式组的解集为x≤1．
【解析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的规律：小小取小确定不等式组的解集即可．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19.【答案】解：(1)根据题意得Δ=4m2−4n=0，
所以n=m2；
(2)当m=2时，原方程变形为x2−4x+n=0，
∵方程有两个不相等的根，
∴Δ=42−4n>0，
即n<4，
当n=0时，方程变形为x2−4x=0，
方程有两个整数根，
即x1=0，x2=4．
(此小题答案不唯一)
【解析】(1)利用根的判别式的意义得到Δ=4m2−4n=0，从而得到n的值；
(2)由于n<4，则n=0时，方程变形为x2−4x=0，利用因式分解法可得到方程的两整数根(此小题答案不唯一)．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方
程无实数根．
20.【答案】解：(1)如图，圆Z即为所求；
依据：由作图过程可知：MN是CZ的垂直平分线，
所以YZ=YC，
因为AZ=AY，
所以AZ=AY=AC，
所以∠ZYC=90°．
(2)∵ZC=12，
∴AZ=AY=6，
∴ZY=√2AZ=6√2．
∴圆Z的半径为6√2．
【解析】(1)作CZ的垂直平分线MN，垂足为A，以点A为圆心，AZ长为半径画弧交MN于点Y，即可满足ZY=CY且∠ZYC=90°；
(2)根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求圆Z的半径．
本题考查了作图−复杂作图，等腰直角三角形，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
21.【答案】证明：延长FD到G使GD=DF，连接BG，EG，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∵在△BDG和△CDF中，{BD=DC
∠FDC=∠BDG DG=DF
，
∴△BDG≌△CDF(SAS)，
∴BG=FC，∠C=∠GBD，
∴BG//AC，
∵ED⊥DF，
∴EG=EF，
∵BE2+FC2=EF2，
∴BG2+BE2=EG2，
∴∠ABG=90°，
∵BG//AC，
∴∠A+∠ABG=180°，
∴∠BAC=90°．
【解析】延长FD到G使GD=DF，连接BG，EG，证△BDG≌△CDF，推出BG=FC，∠C=∠GBD，求出∠EBG=90°，根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵反比例函数y=k
的图象过点P(2,2)．
x
∴2=k
，
2
解得k=4；
(2)作图可知，
当S△MNQ=1
时，可得a=3，
2
当S△MNQ=2时，可得a=0，
综上所述，0≤a≤3．
【解析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．
(1)根据待定系数法即可求得；
(2)当S △MNQ =12
时，则MQ =NQ =1，则N 的横坐标为1，即N(1,4)；当S △MNQ =2时，则MQ =NQ =2，则N 的横坐标为2，即N(2,2)，据此即可得出a 的取值范围．
23.【答案】解：(1)如图所示：
(2)通过图象可估计为抛物线，猜想该函数为二次函数，
∵图象经过原点，
∴设二次函数的表达式为：y =ax 2+bx(x ≥0)，
选取(20,1)和(10,0.3)代入表达式，
得：{400a +20b =1100a +10b =0.3
， 解得：{a =1
500b =1100， ∴二次函数的表达式为：y =1500x 2+1100x(x ≥0)，
(3)∵当x =100时，y =21，
∵21<40，
∴汽车已超速行驶．
【解析】(1)通过描点、连线就可以得出函数的大致图象；
(2)由函数图象，设抛物线的表达式为y =ax 2+bx ，由待定系数法求出其表达式即可；
(3)将x =100代入(2)的解析式求出其值，再与40作比较即可．
本题考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式的运用．解答时求出二次函数的解析式是关键．
24.【答案】解：(1)26，74；(2)2，乙；(3)<．
【解析】(1)根据A 的坐标可以确认甲的得分，进而求得答对人数；
(2)甲的得分高于乙的得分，即图1中点的横坐标大于纵坐标，根据图1可求，根据图象分别表示三人的得分即可求；
(3)利用方差公式即可求解．
本题以甲、乙、丙三人比赛为背景考查了统计图，方差等知识，关键是能根据统一图找到三人比赛数据，即可求解．
解：(1)由图1知，横轴表示甲的得分，因为点A 的坐标为26，
∴甲的得分为26，
即百人团答题有26人答错，
百人团答对的人数为100−26=74；
故答案为：26，74；
(2)甲的得分高于乙的得分，即图1中点的横坐标大于纵坐标，
由图1可知，共有2个点的横坐标大于纵坐标，
即有2轮甲的得分高于乙的得分，
甲的近似得分：26+28+30+31+29=144，
乙的近似得分：18+22+36+42+47=165，
丙的近似得分：42+20+13=75，
∴甲、乙、丙三人中总得分最高的为乙，
故答案为：2，乙；
(3)甲得分的平均数为：144÷5=28.8，
s 12=(26−28.8)2+(28−28.8)2+(30−28.8)2+(31−28.8)2+(29−28.8)
25=2.96，
乙得分的平均数为：165÷5=33，
s 22=(18−33)2+(22−33)2+(36−33)2+(42−33)2+(47−33)
25=126.4，
∴s 12<s 2
2，
故答案为：<．
25.【答案】解：(1)如图所示，在Rt △ACB 中，
∵AC =3，BC =4，∠ACB =90°，
∴AB =√AC 2+BC 2=5；
连接CD ，
∵BC 为直径，
∴∠ADC =∠BDC =90°；
∵∠A =∠A ，∠ADC =∠ACB ，
∴Rt △ADC∽Rt △ACB ；
∴AC AB =AD
AC ，
∴AD =
325=95；
(2)当点E 是AC 的中点时，直线ED 与图形G 有且只有一个交点；
证明：连接OD ，
∵DE 是Rt △ADC 的中线；
∴ED =EC ，
∴∠EDC =∠ECD ；
∵OC =OD ，
∴∠ODC =∠OCD ；
∴∠EDO =∠EDC +∠ODC =∠ECD +∠OCD =∠ACB =90°；
∴ED ⊥OD ，且点D 在⊙O 上，
∴ED 与⊙O 相切，即直线ED 与图形G 有且只有一个交点．
【解析】(1)由勾股定理易求得AB 的长；可连接CD ，由圆周角定理知CD ⊥AB ，易知Rt △ADC∽Rt △ACB ，可得关于AC 、AD 、AB 的比例关系式，即可求出AD 的长．
(2)当ED 与⊙O 相切时，由切线长定理知EC =ED ，则∠ECD =∠EDC ，那么∠A 和∠ADE 就是等角的余角，由此可证得AE =DE ，即E 是AC 的中点．在证明时，可连接OD ，证OD ⊥DE 即可． 本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这
条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)抛物线y =x 2−6ax +6a 的对称轴为直线x =−
−6a 2=3a ；
(2)①∵y =x 2−6ax +6a =(x −3a)2+6a −9a 2，
∴二次函数的对称轴为x =3a ，顶点坐标为(3a,6a −9a 2)，
(i)当a =0时，y =x 2，
此时，图G 象与x 坐标轴只有一个交点，不符合题意；
(ii)当a >0时，对称轴x =3a >a >0，
∵当x =0时，y =6a >0，且x ≥a ，
∴图象G 与y 轴没有交点，
∵图象G 与坐标轴有2个交点，
∴二次函数图象与x 轴有两个交点，且当x =a 时，y ≥0，
∴{(−6a)2−4×6a >0a 2−6a 2+6a ≥0
， 解得：23<a ≤65，
∴a 的取值范围为23<a ≤65；
(iii)当a <0时，对称轴x =3a <a <0，
∴x =0时，y =6a <0，
∵x ≥a ，
∴图象G 与x 轴只有1个交点，与y 轴有1个交点，符合题意；
综上所述，a 的取值范围为23<a ≤65
或a <0； ②由①得，a ≤0时，到x 轴上的距离为1的点至多有2个，不符合题意，
∴a >0，
(i)当x 轴上方到x 轴的距离为1的点有2个，下方1个时，顶点的坐标为(3a,−1)且23<a ≤65， ∴6a −9a 2=−1，
解得：a =1+√23或a =1−√23
(舍)； ∴a =1+√23； (ii)当x 轴上方到x 轴的距离为1的点有1个，下方有2个时，有x =a 时，−1≤y <1，且当x =3a 时，
y <−1，
∴{−1≤a 2−6a 2+6a <16a −9a 2<−1
， 解得：1<a ≤3+√145， ∴a 的取值范围为1<a ≤3+√145，
综上所述，图象G 上到x 轴的距离为1的点有两个时，a 的取值范围为1<a ≤3+√145或a =1+√23
． 【解析】(1)根据对称轴公式x =−b 2a
，求解即可； (2)①分情况讨论，(i)当a =0时，函数为y =x 2，函数图象与坐标轴只有1个交点，不符合题意；(ii)当a >0时，对称轴a =3a >a >0，然后得到函数图象与x 轴有两个交点，且当x =a 时，
y ≥0，然后求得a 的取值范围，(iii)当a <0时，对称轴x =3a <a <0，函数图象与x 轴只有1个交点，与y 轴有1个交点，符合题意；
②分情况讨论，(i)x 轴上方到x 轴的距离为1的点有2个，下方1个时，有顶点的坐标为(3a,−1)，
然后代入函数解析式求得a 的值；(ii)x 轴上方到x 轴的距离为1的点有1个，下方有2个时，
x =a 时，y ≥−1，且当x =3a 时，y <−1，然后代入函数解析式列出不等式组，求得a 的取值范围． 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征．
27.【答案】解：(1)①如图1所示：
②AB ⊥EG ，理由如下：
∵将线段AE 绕点E 逆时针旋转60°，
∴AE =EG ，∠AEG =60°，
∴△AGE 是等边三角形，
∴AG=AE，∠GAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，
∴AB=AC，∠BAC=60°，BD=DC=BE=EC，∴∠BAC=∠GAE，
∴∠BAG=∠CAE，
∴△AGB≌△AEC(SAS)，
∴BG=EC=BE，
又∵AG=AE，
∴AB垂直平分GE，
∴AB⊥EG；
(2)直线DF与AB夹角的度数为90°，DF
EC =√3
2
，理由如下：
如图2，当点E在线段BC上时，连接AD，AF，延长DF交AB于H，
∵将线段AE绕点E逆时针旋转60°，
∴AE=EG，∠AEG=60°，
∴△AGE是等边三角形，
又∵点F是GE的中点，
∴AF⊥GE，∠EAF=30°，
∴cos∠EAF=AF
AE =√3
2
，
∵△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥CD，∠DAC=30°，
∴∠DAC=∠FAE，cos∠DAC=AD
AC =√3
2
，。