南通市高三数学临门一脚.docx

南通市2014届高三数学临门一脚
数学I
参考公式：
棱锥的体积公式：1
3V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．
上．
． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 3．不等式组0,
0,2x y x y ⎧⎪
⎨⎪+⎩
≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．
4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．
5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ． 6．已知函数23,0,
()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩
≤若f (x )=5，则x = ▲ ．
7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ．
8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 ▲ ．
日期
频率 组距
1 5 10 15 20 25 30 (第8题图)
a
b
c
(第10题图)
A ←A +
B B ←A -B A ←A -B 输入A ，B 输出A ，B
(第9题图)
9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为 ▲ ．
10．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+=
▲ ．
11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则22
42x y x y
+-的最小值为 ▲ ．
12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13
的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．
13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同
的实数x 1，x 2，x 3，使得
312123
()
()()f x f x f x x x x ==
=t ，则实数t 的取值范围为 ▲ ． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，
a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．
．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；
(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．
(第15题图)
B
A
C
D
如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3
π
，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：
(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．
17．（本小题满分14分）
图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221x y a b +=(a >b >0)过点(1，1)．
(1)若椭圆的离心率为
2
2
，求椭圆的方程；
(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．
①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；
(不需要解答过程)
②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B
在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．
(第17题图
)
图1
图2
A
B
C D
m (第16题图)
A
C
D
F
E
M
O
B
设数列{a n }，a 1=1，1133
n n n a a +=+．
数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2
221111n n n d b b +=++． (1)求证：数列{b n }为等差数列；
(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．
20．（本小题满分16分）
设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；
(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=2
3
1e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由．
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．
内作答．．．
．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．
B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；
(2)求属于2λ的一个特征向量α．
C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
圆C 的参数方程为12cos ,
32sin x y θθ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩
(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原
点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．
D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1，求111a b c +++++的最大值．
O
A
E
C
D
B
F
(第21A 图)
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．
，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
(1)计算：20133
20145C A +；
(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…
由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．
23．（本小题满分10分）
设数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；
(2)求数列{a n }的通项公式．
南通市2014届高三数学临门一脚
参考答案与评分建议
数学I
参考公式：
棱锥的体积公式：1
3V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．
上．
． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ． 答案：3．
2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 答案：-2i ．
3．不等式组0,
0,2x y x y ⎧⎪
⎨⎪+⎩
≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．
答案：2．
4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ． 答案：π．
5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ． 答案：
16
． 6．已知函数23,0,
()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩
≤若f (x )=5，则x = ▲ ．
答案：8或-2．
7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ． 答案：
2
5
．
a
b
c
(第10题图)
A ←A +
B B ←A -B A ←A -B 输入A ，B 输出A ，B
(第9题图)
8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 ▲ ． 答案：1200．
9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为 ▲ ．
答案：5，3．
10．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+=
▲ ．
答案：5
3
-．
11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则22
42x y x y
+-的最小值为 ▲ ．
答案：4．
12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13
的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ． 答案：8．
13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同
的实数x 1，x 2，x 3，使得312123
()
()()f x f x f x x x x ==
=t ，则实数t 的取值范围为 ▲ ． 答案：ln 31
(
,)93e
． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，
日期
频率 组距
1 5 10 15 20 25 30 (第8题图)
a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ． 答案：92．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．
．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；
(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．
解：(1)依题意BC =3，CA =5，AB =7．······························································1分 由余弦定理，得222cos 2CB CA AB C CB CA +-=⋅⋅=1
2-． ·········································4分
因0<C <π，··························································································6分 故C =
23
π
．··························································································8分 (2)由余弦定理，得13
cos 14
A =．·······························································11分 在△ADC 中，AD =72，CD 2=AC 2+AD 2-2AC ×AD ×cos A =19
4
， 于是CD =19
2
．··················································································14分
16．（本小题满分14分）
如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3
π
，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：
(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．
解：(1)因四边形ABCD 为矩形，故DA ⊥AB ．
(第15题图)
B
A
C
D
(第16题图)
A
C
D
F
E
M
O
B
因平面ABCD ⊥平面ABEF ，且DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， 故DA ⊥平面ABEF ． ············································································3分 因BF ⊂平面ABEF ，故DA ⊥BF ． ···························································4分 因AB 为直径，故BF ⊥AF ．
因DA ，AF 为平面DAF 内的两条相交直线，故BF ⊥平面DAF ．·····················7分 (2)因∠BAF =
3π，AB ∥EF ，故EF =1
2
AB ．··················································8分 取DA 中点N ，连NF ，MN ，因M 为BD 的中点， 故MN ∥AB ，且MN =
1
2
AB ，于是四边形MNFE 为平行四边形， 所以ME ∥NF ．···················································································11分 因NF ⊂平面DAF ，ME ⊄平面DAF ，
故ME ∥平面DAF ．·············································································14分
注：第(2)问，亦可先证明ME ∥平面MOE ．
17．（本小题满分14分）
图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．
解：(1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ． 所以，4=2x +2y +πx ，得4(2)2
x
y -+π=
．····················································4分 依题意，知：0<x <y ，得4
04x <<+π
． 所以，4(2)2x y -+π=
(4
04x <<+π
)．·······················································7分
(2)依题意，T =AB S ⋅=21
2(2)2
x xy x -π=238(43)x x -+π． ······························9分
(第17题图
)
图1
图2
A
B
C D
m
令2163(43)T x x '=-+π=0，得16912x =
π+∈4
(0,)4+π
，另一解舍去．·
·············11分 x (0，
16
912π+)
16
912π+
(
16912π+，4
4+π
)
()T x '
+ 0 - T (x )
↗
极大值
↘
所以当16
912
x =π+，凹槽的强度最大．·····················································14分
注：x 的范围写为4
04x <≤
+π
，不扣分．
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221x y a b +=(a >b >0)过点(1，1)．
(1)若椭圆的离心率为
2
2
，求椭圆的方程； (2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．
(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．
①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；
(不需要解答过程)
②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B
在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．
解：(1)由2
2
e =
，所以::2:1:1a b c =．························································2分 设椭圆方程为222212x y b b +=，将(1，1)代入得2211
12b b
+=，
所以2
2
3,32
b a ==，椭圆方程为222133x y +=．·
············································5分 (2)①221x y +=．··················································································9分 ②由题意，二次函数为y =x 2-1．······························································10分 设直线AB 的方程为y =kx ．
由21
y x y kx
⎧=-⎨=⎩，消去y 得，210x kx --=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x k +=，121x x =-．······································12分
所以2
211212111()44222S OM x x x x x x k =⋅-=+-=+． ·
····························14分 当0k =时，△MAB 的面积S 的最小值为1． ·············································16分
19．（本小题满分16分）
设数列{a n }，a 1=1，1133
n n n a a +=+．
数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2
221111n n n d b b +=++． (1)求证：数列{b n }为等差数列；
(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．
解：(1)由11
33
n n n a a +=
+，得11331n n n n a a -+=+． 又13n n n b a -=，所以11n+n b b +=．·······························································3分 又b 1=a 1=1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．·····················4分 (2)由(1)得1(1)1n b n n =+-⨯=，B n =
(1)
2
n n +．·············································6分 因22
21
11
1n n n d b b +=+
+， 故2
22221121)111(1)(1)n n n d n n n n ++=+
+=+++（21
[1](1)
n n =++． 由d n >0，得111
11(1)1
n d n n n n =+=+-
++． 于是，1
11
n D n n =+-+． ······································································10分 又当n ≥2时，
b n D n +d n B n -b n d n =(B n -B n -1)D n +(D n -D n -1)B n -(B n -B n -1)(D n -D n -1)=B n D n -B n -1D n -1，
所以S n =(B n D n -B n -1D n -1)+(B n -1D n -1-B n -2D n -2)+…+(B 2D 2-B 1D 1)+B 1D 1=B n D n ．··········14分 因S 1=b 1D 1+d 1B 1-b 1d 1=B 1D 1也适合上式，故对于任意的n ∈N *，都有S n =B n D n ． 所以S n =B n D n =(1)2n n +⋅1(1)1n n +-+=321
(2)2
n n +． ·
··································16分
20．（本小题满分16分）
设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；
(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=2
3
1e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由． 解：(1)()f x '=2ax +e x ．
显然a ≠0，x 1，x 2是直线y =12a -与曲线y =g (x )=e
x x
两交点的横坐标．··············2分
由()g x '=
1e x
x
-=0，得x =1．列表： x (-∞，1)
1 (1，+∞)
()g x '
+ 0
- g (x )
↗
g (x )max =1
e
↘
·························································4分 此外注意到： 当x <0时，g (x )<0；
当x ∈[0，1]及x ∈(1，+∞)时，g (x )的取值范围分别为[0，1e ]和(0，1e )．
于是题设等价于0<12a -
<1e ⇒a <e 2-，故实数a 的取值范围为(-∞，e
2
-)．········6分 (2)存在实数a 满足题设．证明如下： 由(1)知，0< x 1<1<x 2，1()f x '=2ax 1+1e x =0，
故f (x 1)=12
1
+e x ax =1
11e e 2
x x x -=2
3
1e x ，故112
31e 1e e 02x x x --=．····························8分 记R (x )=2
3
e 1e e 2x x x --(0<x <1)，则()R x '=2e (1)1e 02
x x
x x --<，
于是，R (x )在(0，1)上单调递减． 又R (
23)=0，故R (x )有唯一的零点x =23
． 从而，满足f (x 1)=2
3
1e x 的x 1=2
3
．所以，a=1231e 3e 24x x -=-．·····························12分 此时f (x )=2233e e 4x
x -+，()f x '=2
33e e 2
x x -+，
又(0)f '>0，(1)f '<0，(2)f '>0，而x 1=2
3
∈(0，1)，
故当a =23
3e 4-时，f (x )极大=f (x 1)=2
32e 3
．·······················································16分
南通市2014届高三数学临门一脚
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．
内作答．．．
．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．
解：因CD =AC ，故∠D =∠CAD ．
因AB =AC ，故∠ABC =∠ACB ． 因∠EBC =∠CAD ，故∠EBC =∠D ．
因∠ABC =∠ABE +∠EBC ，∠ACB =∠D +∠CAD ．
故∠ABE =∠EBC ，即BE 平分∠ABC ． ···················································10分
B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；
(2)求属于2λ的一个特征向量α．
解：(1)令2()()(4)(4)4014
a
b
f a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是 1λ+2λ=a +4，1λ⋅2λ=4a +b ．解得a =1，b =2． ············································5分
(2)设α=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A α=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24x y x y +⎡⎤⎢⎥-+⎣
⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故23,43,x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x =y ．于是，α=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．···············································10分
O
A
E
C
D
B
F
(第21A 题图)
C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
圆C 的参数方程为12cos ,
32sin x y θθ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩
(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原
点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．
解：由题设知，圆心(1,3)C ，(2,0)P ，∠CPO =60°，
故过P 点的切线的倾斜角为30°． ····························································3分 设(,)M ρθ是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中， ∠MOP =θ，030OMP θ∠=-，0150OPM ∠=． 由正弦定理得
sin sin OM OP
OPM OMP
=
∠∠，于是002sin150sin(30)ρθ=-， 即0cos(60)1 ρθ+=（或0sin(30)1ρθ-=）即为所求切线的极坐标方程．·········10分
D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1，求111a b c +++++的最大值．
解：因 a 、b 、c ＞0，
故(111a b c +++++)2 = (111111a b c +⋅++⋅++⋅)2
≤((a +1)+(b +1)+(c +1))(1+1+1)=12，························································3分 于是111a b c +++++≤23，
当且仅当111a b c +=+=+，即a =b =c =1
3
时，取“=”．
所以，111a b c +++++的最大值为23．··········································10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．
，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
(1)计算：2013320145C A +；
(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…
由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．
解：(1)原式=2074．·····················································································5分
(2)等式为：11C C k k n n k n --=，k ∈N *． ·
···························································7分
证明：C k n k =
!!()!kn k n k -=(1)!(1)!((1)(1))!
n n k n k -----=1
1C k n n --．·
······························10分
23．（本小题满分10分）
数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；
(2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)首先，容易得到一个简单事实：{a n }与{b n }均为不减数列且a n ∈N ，b n ∈N ． 若a 1=b 1=0，故{a n }中小于等于1的项至少有一项，从而b 1≥1，这与b 1=0矛盾． 若a 1=b 1≥2，则{a n }中没有小于或等于1的项，从而b 1=0，这与b 1≥2矛盾． 所以，a 1=1．························································································4分 (2)假设当n =k 时，a k =b k =k ，k ∈N *．
若a k +1≥k +2，因{a n }为不减数列，故{a n }中小于等于k +1的项只有k 项， 于是b k +1=k ，此时{b n }中小于等于k 的项至少有k +1项(b 1，b 2，…，b k ，b k +1)， 从而a k ≥k +1，这与假设a k =k 矛盾．
若a k +1=k ，则{a n }中小于等于k 的项至少有k +1项(a 1，a 2，…，a k ，a k +1)， 于是b k ≥k +1，这与假设b k =k 矛盾． 所以，a k +1=k +1．
所以，当n =k +1时，猜想也成立．
综上，由(1)，(2)可知，a n =b n =n 对一切正整数n 恒成立．
所以，a n =n ，即为所求的通项公式．························································10分。