浙江省宁波市2020-2021学年八年级(下)期末数学试卷及答案解析

2020-2021学年浙江省宁波市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围为（）
A．x≥0B．x≥﹣2C．x≥2D．x≤﹣2
2．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞1且x≠2B．x≥1C．x≠2D．x≥1且x≠2 3．（4分）已知28a2b m÷4a n b2＝7b2，那么m、n的值为（）
A．m＝4，n＝2B．m＝4，n＝1C．m＝1，n＝2D．m＝2，n＝2 4．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b 的值为（）
A．33B．﹣33C．﹣7D．7
5．（4分）如图下列各曲线中表示y是x的函数的是（）
A．B．C．D．
6．（4分）小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如图2所示．下列叙述正确的是（）
A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程
D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次
7．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B （﹣2，3），C（﹣3，1），将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为（）
A．（2，1）B．（2，3）C．（4，1）D．（0，2）
8．（4分）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE：S△BCM＝2：3．其中
正确结论的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9．（4分）如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于（）
A．75B．100C．120D．125
10．（4分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2D．x2+32＝（10﹣x）2
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）如图，∠A＝∠C，只需补充一个条件：，就可得△ABD≌△CDB．
12．（5分）若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．13．（5分）如图，直线y＝kx+b经过A（2，0），B（﹣2，﹣4）两点，则不等式y＞0的解集为．
14．（5分）若不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是．
15．（5分）已知关于x的分式方程﹣＝1的解为负数，则k的取值范围是．16．（5分）如图，点A1（2，2）在直线y＝x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线y＝x于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1
作A2B2∥y轴，分别交直线y＝x和y＝x于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△A n B n∁n 的面积为．（用含正整数n的代数式表示）
三、解答题（本大题共有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（﹣3）4÷（1.5）2﹣6×（﹣）+|﹣32﹣9|；
（2）解不等式：||≤4．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°．
（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．
19．（8分）为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（min）与通话费y（元）的关系如图所示：
（1）分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜．
20．（10分）某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如图两幅尚不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：
（1）课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校共有1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数．
21．（8分）如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（取1.73）
（1）求楼房的高度约为多少米？
（2）过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．
22．（12分）已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．
（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC＝4，连接OD交BC 于F．①求证：OD⊥BC；②求EF的长．
23．（12分）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
24．（14分）阅读材料
如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠EDF＝90°，且点D在AB 边上，AB、EF的中点均为O，连接BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF＝CD．
解决问题
（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB＝∠EDF＝α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）
2020-2021学年浙江省宁波市八年级（下）期末
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0即可列不等式求解．【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
∴x≥2，
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：由分式及二次根式有意义的条件可得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，
解得：x≥1，x≠2，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．【分析】根据单项式除单项式的法则进行计算后，再根据相同字母的次数相同列出关于m、n的方程，解方程即可求出m，n的值．
【解答】解：∵28a2b m÷4a n b2＝7b2，
∴2﹣n＝0，m﹣2＝2，
解得：m＝4，n＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查单项式除单项式的法则，根据相同字母的次数相同列出等式是解题的关键．
4．【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数，求出a 与b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵点P（﹣20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，
∴a＝﹣13，b＝20，
∴a+b＝﹣13+20＝7．
故选：D．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【解答】解：A、图象满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A符合题意；
B、图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B不符合题
意；
C、图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题
意；
D、图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D不符合题
意；
故选：A．
【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．6．【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前15s 跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答．
【解答】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；
根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误；
根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故C错误；
小林在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知2
次，故D正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
7．【分析】根据旋转方向、旋转中心及旋转角，找到B'，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．
【解答】解：如图所示：
结合图形可得点B′的坐标为（2，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化，解答本题的关键是找到旋转的三要素，找到点B'的位置．
8．【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；
②在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等；
③可证明∠CDE＝∠DFE；
④可通过面积转化进行解答．
【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB＝OC，
∵∠COB＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC，
∵FO＝FC，
∴FB垂直平分OC，
故①正确；
②∵△BOC为等边三角形，FO＝FC，
∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB＝∠EOB＝90°，
∴BO≠BM，
∴△EOB与△CMB不全等；
故②错误；
③易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°，
∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°，
∴∠CDE＝∠DFE，
∴DE＝EF，
故③正确；
④易知△AOE≌△COF，
＝S△COF，
∴S
△AOE
＝2S△CMF，
∵S
△COF
：S△BCM＝2S△CMF：S△BCM＝，
∴S
△AOE
∵∠FCO＝30°，
∴FM＝，BM＝CM，
∴＝，
：S△BCM＝2：3，
∴S
△AOE
故④正确；
所以其中正确结论的个数为3个；
故选：B．
【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．
9．【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2＝EF2，进而可求出CE2+CF2的值．
【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴△EFC为直角三角形，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．
10．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．【分析】添加条件∠ADB＝∠CBD，根据AAS推出即可．
【解答】解：∠ADB＝∠CBD，
理由是：∵在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB（AAS），
故答案为：∠ADB＝∠CBD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
12．【分析】令y＝0，则关于x的方程kx2+2x﹣1＝0只有一个根，所以k＝0或根的判别式Δ＝0，借助于方程可以求得实数k的值．
【解答】解：令y＝0，则kx2+2x﹣1＝0．
∵关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，
∴关于x的方程kx2+2x﹣1＝0只有一个根．
①当k＝0时，2x﹣1＝0，即x＝，∴原方程只有一个根，∴k＝0符合题意；
②当k≠0时，△＝4+4k＝0，
解得，k＝﹣1．
综上所述，k＝0或﹣1．
故答案为：0或﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要对函数y＝kx2+2x﹣1进行分类讨论：一次函数和二次函数时，满足条件的k的值．
13．【分析】由图象可知：直线从左往右逐渐上升，即y随x的增大而增大，又当x＝2时，y＝0，即可得到不等式y＞0的解集．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A、B两点，
由图象可知：直线从左往右逐渐上升，即y随x的增大而增大，
又A（2，0），
所以不等式y＞0的解集是x＞2．
故答案为x＞2．
【点评】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象等知识点的理解和掌握，能根据图象进行说理是解此题的关键，用的数学思想是数形结合思想．14．【分析】根据求不等式组解集的方法，即“同大取较大”可直接进行解答．【解答】解：∵不等式组的解集是x＞a，
∴a≥3．
故答案为：a≥3．
【点评】本题考查的是求一元一次不等式组的解集，求不等式组的解集要根据其法则进行，即“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”．
15．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据解为负数确定出k的范围即可．
【解答】解：去分母得：（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）＝x2﹣1，
去括号得：x2﹣x+kx﹣k﹣kx﹣k＝x2﹣1，
移项合并得：x＝1﹣2k，
根据题意得：1﹣2k＜0，且1﹣2k≠±1
解得：k＞且k≠1
故答案为：k＞且k≠1．
【点评】此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．16．【分析】先根据点A1的坐标以及A1B1∥y轴，求得B1的坐标，进而得到A1B1的长以及△A1B1C1面积，再根据A2的坐标以及A2B2∥y轴，求得B2的坐标，进而得到A2B2的长以及△A2B2C2面积，最后根据变换规律，求得A n B n的长，进而得出△A n B n∁n的面积即可．【解答】解：∵点A1（2，2），A1B1∥y轴交直线y＝x于点B1，
∴B1（2，1）
∴A1B1＝2﹣1＝1，即△A1B1C1面积＝×12＝；
∵A1C1＝A1B1＝1，
∴A2（3，3），
又∵A2B2∥y轴，交直线y＝x于点B2，
∴B2（3，），
∴A2B2＝3﹣＝，即△A2B2C2面积＝×（）2＝；
以此类推，
A3B3＝，即△A3B3C3面积＝×（）2＝；
A4B4＝，即△A4B4C4面积＝×（）2＝；
…
∴A n B n＝（）n﹣1，即△A n B n∁n的面积＝×[（）n﹣1]2＝．
故答案为：
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律，根据A n B n的长，求得△A n B n∁n的面积．解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
三、解答题（本大题共有8小题，共80分）
17．【分析】（1）先计算乘方、乘法，再将除法转化为乘法、计算绝对值，再进一步计算即可；
（2）原不等式化为﹣4≤≤4，再进一步计算即可．
【解答】解：（1）原式＝81÷+1+|﹣9﹣9|
＝81×+1+18
＝36+1+18
＝55；
（2）∵||≤4，
∴﹣4≤≤4，
解得﹣≤x≤3．
【点评】本题主要考查实数的混合运算、解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18．【分析】（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线即可；
（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的定义得出∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可．
【解答】解：（1）①一点B为圆心，以任意长长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，以大于EF为半径画圆，两圆相交于点G，连接BG角AC
于点D即可．
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，
∴∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣144°＝36°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠ABC＝×72°＝36°，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．
【点评】本题考查的是基本作图及等腰三角形的性质，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
19．【分析】（1）y1与通话时间x成一次函数，y2与x成正比例函数，使用待定系数法求解即可；
（2）当两种卡的收费相等时，可计算出通过时间x的值，当通话时间小于此值，则“如意卡”便宜；当通话时间大于此值，则，“便民卡”便宜．
【解答】解：（1）设y1＝kx+b，将（0，29），（30，35）代入，
解得k＝，b＝29，∴，
又24×60×30＝43200（min）
∴（0≤x≤43200），
同样求得；（3分）
（2）当y1＝y2时，；（5分）
当y1＜y2时，．（6分）
所以，当通话时间等于96min时，两种卡的收费相等，
当通话时间小于min时，“如意卡便宜”，
当通话时间大于min时，“便民卡”便宜．（8分）
【点评】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，比较简单．20．【分析】（1）用“经常参加”所占的百分比乘以360°计算即可得解；
（2）先求出“经常参加”的人数，然后求出喜欢篮球的人数，再补全统计图即可；
（3）用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解．
【解答】解：（1）360°×（1﹣15%﹣45%）＝360°×40%＝144°；
故答案为：144°；
（2）“经常参加”的人数为：300×40%＝120人，
喜欢篮球的学生人数为：120﹣27﹣33﹣20＝120﹣80＝40人；
补全统计图如图所示；
（3）全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为：1200×
＝160人；
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．【分析】（1）在Rt△ABE中，由tan60°＝＝，即可求出AB＝10•tan60°＝17.3米；
（2）假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC 的交点为点H．由∠BFA＝45°，可得AF＝AB＝17.3米，那么CF＝AF﹣AC＝0.1米，CH＝CF＝0.1米，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，故小猫能晒到太阳．【解答】解：（1）当α＝60°时，在Rt△ABE中，
∵tan60°＝＝，
∴AB＝10•tan60°＝10≈10×1.73＝17.3米．
即楼房的高度约为17.3米；
（2）当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：
假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H．
∵∠BFA＝45°，
∴tan45°＝＝1，
此时的影长AF＝AB＝17.3米，
∴CF＝AF﹣AC＝17.3﹣17.2＝0.1米，
∴CH＝CF＝0.1米，
∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，
∴小猫能晒到太阳．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
22．【分析】（1）按照作角平分线的方法作出即可；
（2）①先求得AC∥OD，然后根据圆周角定理求得∠ACB＝90°，即可证得；②根据勾股定理求得BF，即CF的长，然后根据平行线分线段成比例定理求得＝＝，
即可求得＝，继而求得EF的长．
【解答】解：（1）尺规作图如图1所示：
（2）①如图2，∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠D，
∴∠CAD＝∠D，
∴AC∥OD，
∴∠ACB＝∠OFB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OFB＝90°，
∴OD⊥BC；
②∵AC∥OD，
∴＝，即＝，
∴OF＝2，
∵FD＝5﹣2＝3，
在RT△OFB中，BF＝＝，
∵OD⊥BC，
∴CF＝BF＝，
∵AC∥OD，
∴△EFD∽△ECA，
∴＝＝，
∴＝，
∴EF＝CF＝×＝．
【点评】本题考查了尺规作图、圆周角定理和勾股定理、平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
23．【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD＝AB′即可解决问题；
②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
（2）结论：AD＝BC．如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；
（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF 交PC于O．想办法证明PA＝PD，PB＝PC，再证明∠APD+∠BPC＝180°，即可；
【解答】解：（1）①如图2中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，
∵DB′＝DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝120°，
∴∠B′＝∠C′＝30°，
∴AD＝AB′＝BC，
故答案为．
②如图3中，
∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，
∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC＝B′C′，
∵B′D＝DC′，
∴AD＝B′C′＝BC＝4，
故答案为4．
（2）结论：AD＝BC．
理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M
∵B′D＝DC′，AD＝DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴AC′＝B′M＝AC，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，
∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，
∴△BAC≌△AB′M，
∴BC＝AM，
∴AD＝BC．
（3）存在．
理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．
连接DF交PC于O．
∵∠ADC＝150°，
∴∠MDC＝30°，
在Rt△DCM中，∵CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，
∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°，
在Rt△BEM中，∵∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，
∴EM＝BM＝7，
∴DE＝EM﹣DM＝3，
∵AD＝6，
∴AE＝DE，∵BE⊥AD，
∴PA＝PD，PB＝PC，
在Rt△CDF中，∵CD＝2，CF＝6，
∴tan∠CDF＝，
∴∠CDF＝60°
∴∠ADF＝90°＝∠AEB，
∴∠CBE＝∠CFD，
∵∠CBE＝∠PCF，
∴∠CFD＝∠PCF，
∵∠CFD+∠CDF＝90°，∠PCF+∠CPF＝90°，
∴∠CPF＝∠CDF＝60°，
易证△FCP≌△CFD，
∴CD＝PF，∵CD∥PF，
∴四边形CDPF是矩形，
∴∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDP＝60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠APD＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，
∴∠BPC＝120°，
∴∠APD+∠BPC＝180°，
∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，
在Rt△PDN中，∵∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝，
∴PN＝＝＝．
（也可利用旋补中线长＝AB，求出AB即可）
【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．【分析】（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD；
（2）如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为；
（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为tan．
【解答】解：（1）猜想：BF＝CD．理由如下：
如答图②所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°．
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF＝OD，∠DOF＝90°．
∵∠BOF＝∠BOC+∠COF＝90°+∠COF，∠COD＝∠DOF+∠COF＝90°+∠COF，∴∠BOF＝∠COD．
∵在△BOF与△COD中，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF＝CD．
（2）答：（1）中的结论不成立．
如答图③所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴＝tan30°＝，∠BOC＝90°．
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，
∴＝tan30°＝，∠DOF＝90°．
∴＝＝．
∵∠BOF＝∠BOC+∠COF＝90°+∠COF，∠COD＝∠DOF+∠COF＝90°+∠COF，∴∠BOF＝∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵＝＝，∠BOF＝∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴＝．
（3）如答图④所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，
∴＝tan，∠BOC＝90°．
∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，
∴＝tan，∠DOF＝90°．
∴＝＝tan．
∵∠BOF＝∠BOC+∠COF＝90°+∠COF，∠COD＝∠DOF+∠COF＝90°+∠COF，
∴∠BOF＝∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵＝＝tan，∠BOF＝∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴＝tan．
【点评】本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究．。