ch3

图3.2
第三章 经典运动学
3-1 解: (1)对.
(2)错. 一般d d r v
a a
t =±≠.
(3)与(4)均错,等式两端标量和矢量不统一.
3-2 如图，高出水面h 处岸边有人经定滑轮用绳拉水面的小船，t 时刻绳长为0l ,人收绳
的速率为0v ，求此时刻小船之速率。

设人、绳、船 在同一竖直平面内。

解：如图建立坐标系Oxy ,小船的总绳长为常数l ,在水平方向有
A x l
-+
=
A x 为绳端位置，
B x 为小船位置
∴
A x
=
t 时刻 0
A x v =
l =
B x = ∴
00
B v x
l =
其中B x 为小船的速率
3-3 已知质点的运动学方程2
286t t =++r i j k ，求质点运动轨迹、 速度和加速度。

解： 2
286
x t y t
z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 消去t , 226y x z ⎧=⎨=⎩为轨道方程
速度 x y z v v v =++v i j k
x y z =++ i j k 216t =+ i j
图3.7
加速度 x y z =++a i j k
=
16j
3-4 一质点作直线运动，其加速度2
cos x a A t ωω=-，0t =时0x v =，x A =，其中,A ω
为正值常量，求此质点的运动学方程。

解： ∵ 2cos x a A t ωω=-
∴ 2d cos d x v A t t ωω=-
2
cos d x
x v t
x v v A t t
ωω=
-⎰
⎰
sin x v A t ωω=-
∴ d sin x A t ωω=-
d sin x
t
x x A t
ωω=-⎰⎰
00cos t
x x A t |ω-=
c o s x A t ω
=
3-5 如图极坐标系，有一质点沿垂直于极轴O x 到O 点距离OA a =的直线以匀速率0v 运动，求质点位于P 点时的加速度分量,r a a θ。

解： =0v v （常矢量）
∴ 0==a v
∴ 0
0r a a θ==
3-6 解: 以O 点为极点,沿管的初始方向建立极轴O x ,规定极角的正方向为管转动的方向.
图3.8
设初始时0t =, 运动方程 r bt ct θ=⎧⎨
=⎩
消去t , 得: b r c
θ
=
(阿基米德螺旋线)
质点的速度和加速度:
r r b cbt θ=+=+r θr θv e e e e
()()
22r r r r θθ
θ=-++r θa e e
22c b t c b =-+r θe e
a =
=2
tg =r
a a ct θα=
-
0t = 时 , 902a cb α==
a 的大小随t 增加,方向逐渐靠近A O
方向
3-7 有一根细杆在水平面内绕其一端O 转动，角速度不变，其大小为ω，一小虫由0t =开始，从O 点沿杆向外爬动，小虫到O 点的距离与2
t 成正比，比例系数为a ，求小虫的速度和加速度。

解： 以O 为极点建立极坐标系O x ，0t =时，杆与极轴O x 重合
∴ 2
t
r at
θω=⎧⎨=⎩2r at θω⎧=⇒⎨=⎩ 02r a θ⎧=⇒⎨=⎩ r v v θ=+r θv e e
r r θ=+ r θe e
22at a t ω=+
r θe e
r a a θ=+r θa e e
()()
22r r r r θθθ=-++ r θ
e e
图3.9
()22
24a a t
a t ωω=-+ r θ
e e
3-8 如果质点的切向加速度t a 和法向加速度n a 的以下情况，试问质点作何种运动？
()10,0t n a a ==； ()20,0t n a a ≠=； ()30,0t n a a =≠； ()
40,0
t n a a ≠≠
解： ()
10t a s s
==⇒= 常数 匀速率运动
⇒匀速直线运动
20n a R θθ==⇒= 常数 直线运动
()
20
t a ≠ 变速率运动
⇒变速直线运动
0n a = 直线运动
()
30
t a = 匀速率运动
⇒匀速率圆周运动 0n a ≠ 圆周运动
()
40
t a ≠ 变速率运动
⇒变速圆周运动
0n a ≠ 圆周运动
3-9 汽车在半径为100m 的圆弧形轨道上刹车，自刹车开始其弧长方程3
10s t t =-（单位
分别为m 、s ），求汽车在1s t =时的速度和加速度。

解： 以圆弧轨道的刹车起点为坐标原点，汽车运动方向为弧长正方向建立自然坐标系
3
10s t t =-
图3-10
t v s ==v t t
2
103t =-t
当1t s =时
7=v t
t n a a =+a t n
2t t v v R =+t n
241006096100t t t -+=-+t n
当1t s =时 496100=-+a t n
3-10一质点从静止出发沿半径为2m R =的圆周运动，切向加速度2
2t a -=m.s
，问经过多
长时间它的加速度矢量与半径成45
角，在这个时间内质点经过的路程为多少？
解： 加速度矢量与半径成45
角，即为
tg 45
t n
a a =
2t a = ， 0t =时 0t v =
d d v t t
t v
a t
τ
=
⎰⎰
(
)
()m
22m s
t v t R ==
()2
2
2
422
t
n v t a t
R
=
==2
m s
2
t g 45
t
n
a t a ==
()1s t =
2t v t = d 2d s t t =
d 2d s
t
s t t
=⎰⎰
()2
m s t = ∴ ()1
m s =。