反比例函数图象中的等角模型及其在中考题中的应用

反比例函数图象中的等角模型及其在中考题中的应用
（原创：昆明郑帆)
原先自己研究反比例函数图象，得到了以下三条结论，当时以为解决反比例函数图象难题，用好这三条就足够了。

三条结论分别是：
结论一：过反比例函数一支上两点分别向x轴和y轴作垂线段，则垂足连线与原两点连线平行。

如图，即AB∥CD。

证明：根据平行线带来的等面积转换，S△ACD=S△ACO=∣k∣/2=S△BDO=S△BDC，即A，B两点到直线CD的距离相等，且位于CD同侧，故AB∥CD。

结论二：三顶点分别在原点、x轴上，y轴上的矩形，若反比例函数图象经过其两边，则两边被分出的两条线段之比对应相等。

如图，即EA：AC=EB：BD
证明：连AB，CD，由结论一有AB∥CD，根据相似知识显然结论二成立。

结论三：过双曲线一支上两点作直线与坐标轴相交，则每点与其相邻坐标轴交点构成的线段长相等。

如图，即AE=BF
证明：过A作y轴垂线段垂足为C，过B作x轴垂线段垂足为D。

连接CD，由结论一有AB∥CD，则四边形ACDF与BDCE均为平行四边形，得到AC=DF，CE=DB，再通过全等得到△ACE≌△FDB，AE=BF。

另外，这三个结论还有另外一个证明体系，先用面积思想证明结论二，再依次证明结论一和结论三。

现给出结论二的证明：
S△CEO=S△DEO（矩形性质），S△CAO=S△BDO（反比例函数图象性质），则S△AEO=S△BEO（等量代换），则S△AEO：S△ACO=S△BEO：S△BDO，
即EA：AC=EB：BD
至于设点坐标用代数证，一来略超纲，二来繁琐，最重要是没有美感，反正我没有这个习惯。

这三个结论还有一些小的变形，比如一支上的两点变两支上的两点，作垂线的顺序改变等，基本都是结论相同，证明类似，且这些不是今天要讲的重点内容而只是铺垫，因此不再赘述只是给出几张图。

今天要讲的内容：后来才发现，反比例函数图象还有一些模型和结论，不能由前三个结论直接解决，但可以以前三个结论为基础推出结果间接解决。

有如下结论（个人称为等角模型）：
结论四：双曲线一支上任取两点A，B，在围着双曲线该支所在象限的坐标轴上再取两点C，D，使ABCD构成平行四边形。

则有：∠DCO=∠BCx，∠CDO=∠ADy
证明：过A向y轴作垂线段垂足E，过B向x轴作垂线段垂足F，连接EF。

由结论一，有EF∥CD，则CO：OD=CF：ED。

由全等知△AED≌△CFB，ED=BF，即有CO：OD=CF：BF，△COD∽△CFB，∠DCO=∠BCx，∠CDO=∠ADy。

结论五：双曲线一支上任取两点A，B，在在围着双曲线该支所在象限对顶的象限的坐标轴上再取两点C，D，使ABCD构成平行四边形。

则有：∠ADO=∠CDO，∠BCO=∠DCO，若AD交y轴于F，BC交x轴于E，则四边形CDFE为菱形。

证明：过A作x轴平行线，过D作y轴平行线，两者交于G，AG交y轴于I；
过C作x轴平行线，过B作y轴平行线，两者交于H，BH交x轴于J；连接IJ。

易知△AGD≌△CHB，DG=BH。

根据结论一，有CD∥IJ，则OD：OC=OJ：OI=CH：DG=CH：BH，则△ODC∽△HCB ∠DCO=∠CBH=∠BCO，∠ADO=∠CDO。

有等角后易证CDFE是菱形，略。

结论六：双曲线一支上任取A，B两点，BO直线交双曲线另一支于C，则AB直线，AC直线关于x轴和y轴的夹角都相等，即∠ADE=∠AED，∠AFG=∠AGF。

由此还有一堆线段相等，如AF=AG=DC=BE，AB=DG等。

证明：过A作y轴垂线段垂足为H，过C，B作x轴垂线段垂足分别为I，J。

连IH，JH。

由双曲线中心对称性质知CO=OB，则△CIO≌△BJO，CI=BJ。

由结论一知，四边形ICHG与BJHF均为平行四边形，则CI=HG，BJ=FH，又CI=BJ，∴HG=HF，∠AFG=∠AGF，∠ADE=∠AED，进而推出一系列等边关系。

有意思的是，结论四五和结论六可以统一在一个图里，能挖掘出许多有意思的东西。

篇幅关系不再详细描述。