2021年北京北外附属外国语学校高一数学理月考试卷含解析

2021年北京北外附属外国语学校高一数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知等差数列{a n}满足：，则{ }的前5项和 = （）
A． 10 B． 9 C． 8 D． 7
参考答案：
A
略
2. 已知函数，若有四个不同的正数满足（为常数），且，
，则的值为（）
A． 10 B．12 C．20 D ． 12或20
参考答案：
D
略
3. 在正项等比数列{a n}中，，则（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
参考答案：
D
【分析】
结合对数的运算，得到，即可求解.
【详解】由题意，在正项等比数列中，，
则.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及对数的运算求值，其中解答中熟记等比数列的性质，合理应用对数的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
4. 的值等于A. B. C. D.
参考答案：
D
5. 函数的图象可由y=cos2x的图象经过怎样的变换得到（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
参考答案：
D
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式为y=cos2，再根据函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律得出结论．
【解答】解：∵函数=cos=cos（﹣2x）=cos2，
故把y=cos2x的图向右平移个单位可得函数 y=cos2的图象，
故选D．
【点评】题主要考查函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．
6. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）图象
上所有点的横坐标缩短来原来的倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）
A．y=sin（4x+）B．y=sin（4x+）C．y=sin（x+）D．y=sin（x+）
参考答案：
A
【考点】正弦函数的图象．
【分析】首先根据函数的图象确定确定A，ω，?的值，进一步利用函数图象的平移变换求出结果．【解答】解：根据函数的图象：A=1，
则：T=π
利用
解得：?=k（k∈Z）
由于|?|＜
所以：?=
求得：f（x）=
将f（x）图象上所有点的横坐标缩短来原来的倍（纵标不变）
g（x）=
故选：A
7. 下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是
参考答案：
C
8. 如果函数f（x）的图象
关于原点对称，在区间[1，
5]上是减函数，且最小值为
3，那么f（x）在区间[﹣
5，﹣1]上是（）
A．增函数且最小值为3 B．增函数且最大值为3
C．减函数且最小值为﹣3 D．减函数且最大值为﹣3
参考答案：
D
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．
【解答】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间[1，5]上是减函数，且最小值3，
则那么f（x）在区间[﹣5，﹣1]上为减函数，且有最大值为﹣3，
故选：D
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．
9. 在△OAB中,已知,,,P是△OAB所在平面内一点,若
,满足,且,则在上投影的取值范围是( )
A．B． C. D．
参考答案：
A
10. 菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别别在BC，CD上，=λ，=μ，若
?=1，?=﹣，则λ+μ=（）
C．D ．
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数y=（）单调递增区间是．
参考答案：
（﹣∞，1]
【考点】复合函数的单调性．
【分析】设t=x2﹣2x，根据复合函数单调性之间的关系即可得到结论．
【解答】解：设t=x2﹣2x，则函数y=（）t为减函数，
根据复合函数单调性之间的关系知要求函数f（x）的单调递增区间，
即求函数t=x2﹣2x的递减区间，
∵t=x2﹣2x的对称轴为x=1，递减区间为（﹣∞，1]，
则函数f（x）的递增区间为（﹣∞，1]，
故答案为：（﹣∞，1]
12. 以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)为顶点的三角形形状为 .
参考答案：
等腰三角形
13. 若.
参考答案：
略
14. 已知a＞0，b＞0，，则2a+b的最小值为．
参考答案：
8
15. 实数项等比数列的前项的和为，若，则公比等于---________-
参考答案：
16. 已知，，则这三个数从小到大排列
为 .
参考答案：
略
17. 函数的定义域是________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （8分）在等差数列{a n}中，a2=3，a8=9．
（1）求{a n}的通项公式a n；
（2）求的前n项和S n．
参考答案：
19. 已知函数f（x）=+（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求a的取值范围，使xf（x）＞0在定义域上恒成立．
参考答案：
【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．
【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】（1）要使函数有意义，只需a x﹣1≠0；
（2）利用函数奇偶性的定义即可判断；
（3）问题等价于f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，对不等式化简可求；
【解答】解：（1）由a x﹣1≠0，解得x≠0，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，
（2）f（﹣x）=+=+=+=﹣﹣=﹣（+）=﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
（3）∵f（x）为奇函数，
∴xf（x）为偶函数，
∴xf（x）＞0在定义域上恒成立问题等价于f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即＞0恒成立，
亦即＞0，所以a x﹣1＞0即a x＞1在（0，+∞）上恒成立，
所以a＞1，故实数a的取值范围是（1，+∞）．
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断及其应用，考查恒成立问题，考查转化思想，属中档题．
20. (本题满分10分)已知方程是关于的一元二次方程．
（1）若是从集合四个数中任取的一个数，是从集合三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；
（2）若，，求上述方程有实数根的概率．
参考答案：设事件为“方程有实数根”．
．
21. （14分）设函数f n（x）=x n+bx+c（n∈N+，b，c∈R）．
（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：y=f n（x）在区间（，1）内单调递增；
（2）在（1）的条件下，证明：f n（x）=0在区间（，1）内存在唯一实根；
（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围．
参考答案：
考点：函数恒成立问题；函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，化简函数的表达式，利用函数的单调性直接证明y=f n（x）在区
间（，1）内单调递增．
（2）f n（x）=0在区间内存在唯一实根等价于f n（x）=0在区间内存在唯一零
点，通过，以及函数在区间为增函数．即可得到结果．
（3），对任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，
等价于f2（x）在区间[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，利用f2（x）的对称轴为，①当|b|＞2时，②当0＜b≤2时，③当﹣2≤b≤0时，分别求出最值之差，判断b的取值范围为[﹣2，2]即可．
解答：（1）…（1分）
设，…（2分）
f（x2）﹣f（x1）=x2n+x2﹣1﹣（x1n+x1﹣1）=（x2n﹣x1n）+（x2﹣x1）…（3分）
∵，且∴x2n﹣x1n＞0，x2﹣x1＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，
∴y=f n（x）在区间（，1）内单调递增…（4分）
（2）f n（x）=0在区间内存在唯一实根等价于f n（x）=0在区间内存在唯一零点
…（5分）
∵，
∴f n（x）在区间内有零点．…（6分）
由（1）知n≥2时，在区间为增函数．…（7分）
所以f n（x）在区间内存在唯一的零点；…（8分）
（3）…（9分）
所以对任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，等价于f2（x）在区间[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，…（10分）
∵f2（x）的对称轴为．
①当，M=|f2（1）﹣f2（﹣1）|=2|b|＞4，不合题意．…（11分）
②当，
恒成立；…（12分）
③当，
恒成立…（13分）
综上所得，b的取值范围为[﹣2，2]…（14分）
点评：本题考查函数的最值的几何意义，函数的恒成立，函数的单调性以及函数的零点，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．
22. 为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成
五组，得到频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数；
（Ⅱ）若测试数据与成绩之间的关系如下表：
根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率．
参考答案：
（Ⅰ）40人（Ⅱ）0.4（Ⅲ）0.48.
【分析】
（Ⅰ）由频率分布直方图能求出a．再有4名学生的成绩在10米到12米之间，求出成绩在10米到12米之间的频率，由此能示出参加“掷实心球”项目测试的人数（Ⅱ）求出频率分布直方图得成绩在8米至12米（含8米和12米）的频率，由此估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率（Ⅲ）记事件：第名男生成绩优秀，其中.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为，根据相互独立事件同时发生的概率及互斥事件和的概率公式求解即可.
【详解】（Ⅰ）由题意可知,解得. 所以此次测试总人数为. 故此次参加“掷实心球”
的项目测试的人数为40人
（Ⅱ）设“从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀”为事件.
由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,
成绩优秀的频率为,
则估计.
（Ⅲ）记事件：第名男生成绩优秀，其中.两人中恰有一人成绩优秀可以表示为，
因为相互独立，相互独立，
所以，，
又因为互斥，
所以.
所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了互斥事件和的概率，独立事件同时发生的概率，属于中档题.。