人教版物理选修3-1第一章静电场-1.9带电粒子在电场中的运动

物理指导讲义
年级：选修3-1科目：物理教师：张欢讲课时间段：
课题 1.9 带电粒子在电场中的运动
教课内容
课前发问
1.什么是电容？电容有哪些要素决定？
2.电场强度与电容有什么关系？
本节知识解说
引入 :
带电粒子在电场中遇到电场力的作用会产生加快度||，使其原有速度发生变化．在现代科学实验和技术设施中||，经常利用电场来控制或改变带电粒子的运动||。

详细应用有哪些呢 ?我们以匀强电场为例来研究这个问题||。

一、带电粒子的加快
提出问题：要使带电粒子在电场中只被加快而不改变运动方向该怎么办?
（有关知识链接：合外力与初速度在一条直线上||，改变速度的大小；合外力与初速度成90° ||，仅改变速度的方向；合外力与初速度成必定角度θ ||，既改变速度的大小又改变速度的方向）
方案 1： v0=0||，仅受电场力就会做加快运动||，可达到目的 ||。

方案 2： v00
≠ 0||，仅受电场力 ||，电场力的方向应同v
同向才能达到加快的目的 ||。

加快表示图：
推导 ||，当 v0=0 时 ||，带电粒子抵达另一板的速度大小||。

方法一：先求出带电粒子的加快度：【一定在匀强电场中使用（F=qE ||， F 为恒力 ||，E 恒定）】
qU
a=
md
再依据
v t2-v02=2ad
可求适合带电粒子从静止开始被加快时获取的速度为：
qU2qU
v t=2d
md m
方法二：由 W=qU 及动能定理：（因为非匀强电场中 ||，公式 W=qU 相同合用 ||，故此方法可应用范围更广 ||。

） W=△E k =
1
mv 2-0
2
得：
qU= 1
mv 2
2
抵达另一板时的速度为：
2qU v=
.
m
深入研究：
（1）联合牛顿第二定律及动能定理中做功条件（ W=Fs cos θ恒力 W=Uq 任何电场）议论各方法的适用性
||。

（ 2）若初速度为 v 0（不等于零） ||，推导最后的速度表达式 ||。

推导：
设初速为 v 0||，末速为 v||，则据动能定理得
1 2
1 2
qU=
mv -
mv 0
2
2
所以
v= v 02
2qU
m
（v 0= 0 时 ||， v=
2Uq ）
m
【例 1】 如下图 ||，在点电荷＋ Q 的电场中有 A 、 B 两点 ||，将质子和 α粒子分别从 A 点由静止开释 ||，抵达 B 点时 ||，它们的速度大小之比为多少？
答案
2
1
分析 质子和 α粒子都是正离子 ||，从 A 点开释将受静电力作用加快运动到 B 点||，设 A 、 B 两点间的电势差为
U ||，由动能定理有：
对证子： 1 2
2m H v H ＝ q H U
1 2
对 α粒子： 2m αv α＝ q αU
v H
q H m α
1×4
所以 ＝
＝
＝ 2
v
q m
2×1
α
α H
二、带电粒子的偏转
如下图 ||，电子以初速度
v 0 垂直于电场线射入匀强电场中．
问题：
（ 1）剖析带电粒子的受力状况 ||。

（ 2）你以为这类状况同哪一种运动近似||，这类运动的研究方法是什么 ?
（ 3）你能类比获取带电粒子在电场中运动的研究方法吗?
答：（ 1）关于基本粒子 ||，如电子、质子、α粒子等 ||，因为质量 m 很小 ||，所以重力比电场力小得多 ||，重力可忽视不
计 ||。

关于带电的灰尘、液滴、小球等 ||， m 较大 ||，重力一般不可以忽视
||。

（2）带电粒子以初速度
v 0 垂直于电场线方向飞入匀强电场时 ||，遇到恒定的与初速度方向成
90°角的作用而做
匀变速曲线运动 ||，近似于力学中的平抛运动 ||，平抛运动的研究方法是运动的合成和分解
||。

（3）带电粒子垂直进入电场中的运动也可采纳运动的合成和分解的方法进行 ||。

结论：（ 1）带电粒子在垂直于电场线方向上不受任何力 ||，做匀速直线运动 ||。

（2）在平行于电场线方向上
||，遇到电场力的作用做初速为零的匀加快直线运动
||。

问题：如右图所示 ||，设电荷带电荷量为 q||，平行板长为 L||，两板间距为 d||，电势差为 U||，初速为 v 0．试求：
（ 1）带电粒子在电场中运动的时问t||。

（ 2）粒子运动的加快度 ||。

（ 3）粒子受力状况剖析 ||。

（ 4）粒子在射出电场时竖直方向上的偏转距离||。

（ 5）粒子在走开电场时竖直方向的分速度||。

（ 6）粒子在走开电场时的速度大小||。

（ 7）粒子在走开电场时的偏转角度θ||。

解：因为带电粒子在电场中运动受力仅有电场力（与初速度垂直且恒定）
||，不考虑重力 ||，故带电粒子做类平抛
运动 ||。

粒子在电场中的运动时间
L
t=
v 0
加快度
a=
Eq
=qU/md
m
竖直方向的偏转距离：
y= 1
at 2=
1 Uq ( L )2
qL 2 U .
2
2 md v 0
2mv 02d
粒子走开电场时竖直方向的速度为
Uq L
v 1=at =
md v 0
速度为：
v=
v 12 v 02
( Uq L ) 2
v 02
md v 0
粒子走开电场时的偏转角度 θ
为：
tan θ=
v 1
qL U arctan qL U .
v 0
mv 02d
mv 02 d
拓展：若带电粒子的初速 v 0 是在电场的电势差
U 1 下加快而来的（从零开始） ||，那么上边的结果又怎样呢 ?（ y||，
θ）
结论：
UL 2 y=
4U 1 d
θ=arctan
UL
2U 1 d
与 q 、 m 没关 ||。

【例 2】 试证明： 带电粒子从偏转电场沿中线射出时 ||，其速度 v 的反向延伸线过水平位移的中点
(即粒子从极板
l ||，如图 1－ 9－ 6 所示 ||，x ＝ l
间 2 处沿直线射出 2)．
图 1－9－6
证明 带电粒子从偏转电场中射出时的偏移量
1 2 1 qU l 2
||，设交于 O 点 ||，
y ＝
at ＝ · ·()
||，作粒子速度的反向延伸线
qUl 2 2
2 dm v 0
y ＝
2
2dmv
＝
O 点与电场边沿的距离为
x||，则 x ＝tan θ 0
qUl
2
2
mv d
所以带电粒子从偏转电场沿中线射出时
||，其速度 v 的反向延伸线过水平位移的中点 .
三、示波管的原理
示波管原理图：示波器的中心部分是示波管 ||，由电子枪、偏转电极和荧光屏构成||。

电子枪中的灯丝 K 发射电子 ||，经加快电场加快后
||，获取的速度为：
2qU 1
v 0=
m
假如在偏转电极 yy 上加电压电子在偏转电极 yy 的电场中发生偏转． 离
θ
开偏转电极 yy 后沿直线行进 ||，打在荧光屏上的亮斑在竖直方向发生偏移． 其
偏移量 y 为 y
=y+Ltan θ
qL 2
qL
因为 y=
mv 02 d
U
2mv 02
d
U
tan
所以 y =
qL 2 · U+L · qL U
2mv 02 d mv 02 d
=
qL
2 ( L
L
) ·U=（L+ L
）tan θ
mv 0 d 2
2
假如 U=U max ·sin ωt 则 y = y max ·sin ωt
限时检测
1.一束质量为 m 、电荷量为 q 的带电粒子以平行于两极板的速度
v 0 进入匀强电场 ||，如下图．假如两极板间电
压为 U||，两极板间的距离为
d 、板长为 L .设粒子束不会击中极板
||，则粒子从进入电场到飞出电场时电势能的变化量
为 ________． (粒子的重力忽视不计 )
答案
q 2U 2L 2
2 2
2md v 0
2 ．平行金属板间的电场是匀强电场||，假如已知两极板间电压为
U||，你能利用牛顿定律求解一质量为
m||，所带
电荷量为 q 的带电粒子从一极板抵达另一极板时的速度吗？
答案
2qU
m
3 ．如图 1－9－ 8 所示 ||，长为 l||，倾角为 θ的圆滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中
||，一电荷量为＋ q||，质 量为 m 的小球 ||，以初速度 v 0 从斜面底端 A 点开始沿斜面上滑 ||，当达到斜面顶端的 B 点时 ||，速度仍为 0
v ||，求电场
强度 E.
答案
mg
q tan θ
4．一束电子流在经
U ＝ 5 000 V 的加快电压加快后 ||，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场
||，如图
1－ 9－9 所示．若两板间距离 d ＝ 1.0 cm||，板长 l ＝ 5.0 cm||，那么 ||，要使电子能从平行板间飞出
||，两个极板上最大
能加多大电压？
答案
400 V
5、如图 1(a)所示 ||，两个平行金 属板 P 、Q 竖直搁置 ||，两板间加上如图 (b)所示的电压． t ＝ 0 时||，Q 板比 P 板电
势高 5 V||，此时在两板的正中央 M 点放一个电子 ||，速度为零 ||，电子在静电力作用下运动
||，使得电子的地点和速度
随时间变化．假定电子一直未与两板相碰．在 －10
M 点的右边 ||，速度方向向左
0<t<8 × 10 s 的时间内 ||，这个电子处于 且大小渐渐减小的时间是 ( )
A ． 0< t<2× －
10 10
s
－ 10 － 10 s
B ． 2× 10 s<t<4× 10 － 10 － 10 s
C ． 4× 10 s<t<6× 10 －
10 －
10 s D ． 6× 10 s<t<8× 10 答案 D
6、如图 2 所示 ||，水平面绝缘且圆滑 ||，弹簧左端固定 ||，右端连一轻质绝缘挡板
||，空间存在着水平方向的匀强电
场 ||，一带电小球在静电力和挡板压力作用下静止． 若忽然将 电场反向 ||，则小球加快度的大小随位移 x 变化的关系图
象可能是以下图中的
( )
答案
A
7、如图 3 所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型表示图．在
Oxy 平面的 ABCD 地区内 ||，存在两个
场强盛小均为 E 的匀强电场 Ⅰ和 Ⅰ ，||两电场的界限均是边长为 L 的正方形 (不计电子所受重力
)．
图 3
(1) 在该地区 AB 边的中点处由静止开释电子 ||，求电子走开 ABCD 地区的地点．
(2) 在电场 Ⅰ地区内适合地点由静止开释电子 ||，电子恰能从 AB CD 地区左下角 D 处走开 ||，求全部开释点的地点．
分析
(1)设电子的质量为 m||，电荷量为 e||，电子在电场 Ⅰ中做匀加快直线运动
||，出地区 Ⅰ时的速度为 v 0||，今后
在电场 Ⅰ中做类平抛运动 ||，假定电子从 CD
边射出 ||，出射点纵坐标为 y||，有
1 2
eEL ＝ 2mv 0
L 1
1eE L
2 － y ＝ at 2
＝
2 m v 0 2
2
1
1
解得 y ＝ 4L||，所以原假定建立
||，即电子走开 ABCD 地区的地点坐标为 (－ 2L||， 4L) (2) 设开释点在电场地区 Ⅰ中 ||，其坐标为 (x||， y)||，在电场 Ⅰ中电子被加快到 v 1||，而后进入电场 Ⅰ做类平抛运动 ||，
并从 D 点走开 ||，有： eEx ＝ 1 2
2mv 1
1 2 1eE L 2
y ＝2at ＝
2 m v 1
L 2
解得 xy ＝ 4
L 2
所以电子在电场 Ⅰ中的地点假如知足横纵坐标的乘积等于
4 ||，知足条件．
L
2
1
答案
(1)(－ 2L||， 4L) (2) 电子在电场 Ⅰ地区中的地点假如知足横纵坐标的乘积等于 4 ||，即可知足条件．
8、一个质量为 m 、电荷量为＋ q 的小球以初速度 v 0 水平抛出 ||，在小球经过的竖直平面内 ||，存在着若干个如图 4
所示的无电场区和有理想上下界限的匀强电场区 ||，两地区互相间隔、竖直高度相等 ||，电场区水平方向无穷长 ||，已
知每一电场区的场强盛小相等、方向均竖直向上
||，不计空气阻力 ||，以下说法正确的选项是
( )
图 4
A ．小球在水平方向向来做匀速直线运动
mg
B ．若场强盛小等于 q ||
，则小球经过每一电场区的时间均相同
2mg
C ．若场强盛小等于 q ||，小球经过每一无电场区的时间均相同
D ．不论场强盛小怎样 ||，小球经过全部无电场区的时间均相同答案 AC
讲堂小节
1．带电粒子的加快
(1)动力学剖析：带电粒子沿与电场线平行方向进入电场
||，遇到的电场力与运动方向在同向来线上
||，做加 (减 )速
直线运动 ||，假如是匀强电场 ||，则做匀加 (减 )速运动．
(2)功能关系剖析：粒子只受电场力作用
||，动能变化量等于电势能的变化量．
qU
1
mv 2 (初速度为零 )； qU 1 mv 2 1 mv 02 此式合用于全部电场． 2 2 2
2．带电粒子的偏转
(1)动力学剖析：带电粒子以速度
v 0 垂直于电场线方向飞入两带电平行板产生的匀强电场中
||，遇到恒定的与初速
度方向成 900 角的电场力作用而做匀变速曲线运动 (类平抛运动 )．
(2)运动的剖析方法 (当作类平抛运动 )： Ⅰ沿初速度方向做速度为
v 0 的匀速直线运动．
Ⅰ沿电场力方向做初速度为零的匀加快直线运动．
课后作业
1．以下粒子从初速度为零的状态经过电压为 U 的电场加快后 ||，粒子速度最大的是 ()
A ．质子
B ．氘核
C ． α粒子
D ．钠离子 Na
＋
答案
A
2．有一束正离子 ||，以相同速率从同一地点进入带电平行板电容器的匀强电场中
||，全部离子运动轨迹相同
||，说
明全部离子 (
)
A ．拥有相同质量
B ．拥有相同电荷量
C ．拥有相同的比荷
D ．属于同一元素同位素
答案
C
3．一带电粒子在电场中只受静电力作用时 ||，它不行能出现的运动状态是 (
)
A ．匀速直线运动
B ．匀加快直线运动
C ．匀变速曲线运动
D ．匀速圆周运动
答案 A
分析
当带电粒子在电场中只受静电力作用时 ||，静电力作用会产生加快度
||， B 、 C 、 D 选项中的运动状况都有
4．平行板间犹如图 5 所示周期变化的电压．不计重力的带电粒子静止在平行板中央
||，从 t ＝ 0 时辰开始将其释
放 ||，运动过程无碰板状况．以下图中 ||，能定性描绘粒子运动的速度图象正确的选项是 (
)
图 5
答案 A
分析
粒子在第一个
T
内||，做匀加快直线运动
||， T 时辰速度最大 ||，在第二个 T 内 ||，电场反向 ||，粒子做匀减
2
2
2
速直线运动 ||，到 T 时辰速度为零 ||，此后粒子的运动要重复这个过程．
5．图 6 为一个示波器工作原理的表示图
||，
图 6
电子经电压为 U 1 的加快电场后以速度 v 0 垂直进入偏转电场 ||，走开电场时的偏转量是
h||，两平行板间的距离为
d||，电势差 U 2||，板长 L||，为了提升示波管的敏捷度
(每单位电压惹起的偏转量
h/U 2)可采纳的方法是 ()
A ．增大两板间电势差 U 2
B ．尽可能使板长
L 短些
C ．尽可能使板间距离 d 小一些
D ．使加快电压 U 1 高升一些 答案 C
分析
电子的运动过程可分为两个阶段
||，即加快和偏转．
(1) 加快： eU
1
2 1＝2mv ||，
(2) 偏转： L ＝ v 0t||， h ＝ 1
at 2
＝ eU 2
t 2
22md 综合得： h L 2
L 或减小 U 1 或减小 d||，故答案应选 C.
＝ 4U ||，所以要提升敏捷度则需要：增大
U 2 1d
6．如图 7 所示 ||，
图 7
电子由静止开始从
A 板向
B 板运动 ||，当抵达 B 板时速度为 v||，保持两板电压不变 ||，则 (
)
A ．当增大两板间距离时 ||， v 增大
B ．当减小两板间距离时
||， v 减小 [ 根源 :学§科§网 ]
C．当改变两板间距离时||， v 不变
D．当增大两板间距离时||，电子在两板间运动的时间增大答案CD
分析
1
||， v 不变 ||，故 C 选项正确．粒子做初速度为零的匀加快由动能定理得 e·U＝ mv2.当改变两极板间距离时
2
d v d2d
直线运动v ＝t ||，2＝t ||，即 t＝v ||，当增大两板间距离时||，电子在板间运动时间增大||，故 D 选项正确．7.
图 8
一平行板电容器中存在匀强电场||，电场沿竖直方向．两个比荷(即粒子的电荷量与质量之比)不一样的带正电的粒子 a 和 b||，从电容器边沿的P 点 (如图 8 所示 )以相同的水平速度射入两平行板之间．测得a和b与电容器极板的撞击点到入射点之间的水平距离之比为1Ⅰ 2||，若不计重力 ||，则 a 和 b 的比荷之比是 ()
A．1Ⅰ 2B．1Ⅰ8
C． 2Ⅰ 1 D ．4Ⅰ1
答案D
8．如图 9 所示 ||，
图 9
在距地面必定高度的地点以初速度v 向右水平抛出一个质量为m||，电荷量为 q 的带负电小球 ||，小球的落地址与
抛出点之间有一段相应的水平距离(水平射程 )．若在空间加上一竖直方向的匀强电场||，使小球的水平射程变成本来1
的2||，求此电场的场强盛小和方向．
答案3mg
方向竖直向上q
分析不加电场时小球在空间运动的时间为t||，水平射程为 x
x＝v0t
1
着落高度 h＝ gt2
2
加电场后小球在空间的运动时间为t′，||小球运动的加快度为a
112
2x＝ v0t′，||h＝2at′
由以上各式 ||，得 a＝ 4g
则场强方向只好竖直向上 ||，依据牛顿第二定律
mg＋ qE＝ ma
3mg
联立解得：所以E＝q
方向竖直向上．
9．如图 10 所示 ||，
图 10
边长为 L 的正方形地区abcd 内存在着匀强电场．电荷量为q、动能为 E k的带电粒子从 a 点沿 ab 方向进入电场||，不计重力．
(1) 若粒子从 c 点走开 电场 ||，求电场强度的大小和粒子走开电场时的动能．
(2) 若粒子走开电场时动能为 E k ′，||则电场强度为多大？
答案
4E k k
(1) qL
5E
2
E (E
′－E )
(2) 粒子由 bc 边走开电场时 ||， E ＝
k k k
qL
E ′－E
k
k
粒子由 cd 边走开电场时 ||， E ＝
qL
分析 (1) 粒子在电场中做类平抛运动
||，在垂直于电场方向： L ＝ v 0t
在平行于电场方向：
L ＝ 1at 2＝
qEt 2＝ qEL 2
2
2m
2mv 20
4E k
所以 E ＝ qL
qEL ＝ E kt －E k
则 E kt ＝ qEL ＋ E k ＝ 5E k
(2) 若粒子由 bc 边走开电场 ||，则 L ＝ v 0t
y qE t ＝ qEL
v ＝
m 0
mv
1 2
q 2E 2L 2
E k ′－ E k ＝ 由动能定理得： 2mv y ＝ 4E k
2
k k k
E ＝ E (E ′－E )
qL
若粒子由 cd 边走开电场 ||，由动能定理得 qEL ＝ E k ′－ E k
E k ′－E k
所以 E ＝
qL
10．如图 11 所示 ||，
图 11
长 L ＝ 0.20 m 的丝线的一端拴一质量为
m ＝ 1.0 － 4
－ 6
× 10 kg 、带电荷量为 q ＝＋ 1.0 × 10 C 的小球 ||，另一端连在一水
平轴 O 上 ||，丝线拉着小球可在竖直平面内做圆周运动
||，整个装置处在竖直向上的匀强电场中
3
||，电场强度 E ＝ 2.0 × 10
N/C. 现将小球拉到与轴 O 在同一水平面的 A 点上 ||，而后无初速地将小球开释 ||，取 g ＝ 10 m/s 2.求：
(1) 小球经过最高点 B 时速度的大小．
(2) 小球经过最高点时 ||，丝线对小球的拉力大小．
答案 － 3
(1)2 m/s (2)3.0 × 10N
分析
(1)小球由 A 运动到 B||，其初速度为零 ||，静电力对小球做正功
||，重力对小球做负功 ||，丝线拉力不做功 ||，
则由动能定理有：
2
mv B
qEL － mgL ＝ 2
B
2(qE －mg)L
＝ 2 m/s
v ＝
m
(2) 小球抵达 B 点时 ||，受重力 mg 、静电力 qE 和拉力 F TB 作用 ||，经计算
mg ＝ 1.0 － 4 － 3
× 10× 10 N ＝ 1.0 ×10 N
qE ＝ 1.0 － 6
3
－ 3
× 10× 2.0 × 10N ＝ 2.0 × 10 N
因为 qE>mg||，而 qE 的方向竖直向上 ||，mg 方向竖直向下 ||，小球做圆周运动 ||，其抵达 B 点时向心力的方向必定指向圆心 ||，由此能够判断出 F T B 的方向必定指向圆心 ||，由牛顿第二定律有：
人教版物理选修3-1第一章静电场-1.9带电粒子在电场中的运动
2 F TB ＋ mg －qE ＝ mv B
L 2
mv B － 3
F TB ＝ L ＋ qE － mg ＝ 3.0 ×10N
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