灵敏度分析一什么为灵敏度分析？

2
c1,
3,
0
,
0,
0
2
c1,
3,
3 2
,
1 4
c1
1 8
,
0
0
,
0
,
3 2
,
1 4
c1
1 8
,0
0
c1
1 2
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
22
请同学们对例2中的C2进行灵 敏度分析
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
23
C
2 3+△c2 0
00
CB XB x1
x2
x3
x4 x5 B-1b θ
a 1 3 1 1 0 , a 2 3 4 3 1 , a 3 3 1 5 4 .
即
1 1 0
P3
4
3
1
,
1 5 4
则
0
YP30,1/4,11 15/4
11/43,
4
所以原最优解已不再是最优解。
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
44
（2）寻找新的最优解
求新的检验数为：
34
EXCEL
图5-6右端项灵敏度分析报告
同样具有百分百法则
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
35
四.约束系数的灵敏度分析
m ax z C X
s .t .
A X
X
0
b
B 1 b 0
C
C B B 1 A
0
X
B
B 1b
XN 0
为原问题最优解
Y CBB1 为对偶问题一可行解
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
j C B B 1 Pj
j Y Pj
C B B 1 为原问题最终单纯形表中松弛变量的相反数
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
38
0
0
Y Pj
y1 ,
y 2 , ,
ym
a ij
y i a ij
j
0
0
yi
0 时， a i j
j
yi
yi
0 时， a i j
j
>0,
y1 33
>0。
/4
1/4
13,
a 31
1 y3
13 / 4 1
13 / 4,
a 23
3 y2
11 / 4 1/4
1 1,
a 33
3 y3
11 / 4 1
11 / 4.
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
43
（2）的解答
（2）当x3的系数由（1 3 5）T变为 （1 4 1）T时，显然有
x2 1/12 1 0 1/3 -1/12 3
x3 1/6 0 1 -1/3 1/3 12
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
16
2.基变量的目标系数的变化
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
17
当最优基B的某个变量 x i0 的目标系数 c i0 改变
为 时，由于 是 的分量， ci0 ci0 ci0
c i0
0 0 -4 1/2 1 4
0 1 1/2 -1/8 0 2
0 0 -3/2- △c2/8 0 △c2 -1/8
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
25
百分之百法则
如果若干个目标函数系数同时变 动，计算出每一系数变动量占该系 数允许变动量的百分比，再将所有 系数变动百分比相加，若所得之和 不超过百分之一百，则最优解不会 改变，若所得之和超过了百分之一 百，则不能确定最优解是否改变。
CB
则相应的最优解中C B 发生变化
(CB CB)B1A
CBB1A(0,,ci0 ,,0)B1A
CBB1Aci0 (ai01, ai0 2,, ai0n)
其中， 是 的第 行，于 (ai01,ai02,,ai0n)
B 1A
i0
是变化后的检验数为
j c j ( C B C B ) B 1 A J c i 0 a i 0 j
b
B 1b
B 1 b
B 1b
B
1
b i0
0
b
* 1
a' 1 i0
b
* 1
a
' 1 i0
b
i0
b
* k
a' k i0
b i0
b
* k
a
' k i0
b
i0
b
* m
a' m i0
b
* m
a
' m
i0
b
i0
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
30
a ,a '
'
1i0 ki0
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
3
2.内 容
对原有模型及最优解进行分析:
当模型的数据中有一个或几个发生变化 时，最优解会有什么变化
这些数据在什么范围内变化时，已求解 的最优解（或最优基）不变
若是最优解（或最优基）发生变化后， 如何求出新的最优解（或最优基）
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
4
3.具体项目
2 x1 1
0
0 1/4 0 4
0 x5 0
0
4 1/2 1 4
3 x2 0
1
1/2 -1/8 0 2
-Z
0 △c2 -3/2 -1/8 0
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
24
c2
C
CB XB
2 x1
0 x5
3+ x2 △c2
-Z
2 3+△c2 0
x1
x2
x3
10 0
00
x4
x5 B-1b θ
1/4 0 4
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
B-1b θ 2— 84 3 12 -13 4 4 2 -14
21
对C1进行灵敏度分析
C T C B C B B 1A c1 c1, c 2, c3, c 4, c5
1 0 0 1/4 0
c1
c1,
c
5,
c
2
0 0
0 1
2 1/2
1/2 1/8
1 0
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
0
19
例2
C
CB XB 0 x3 0 x4 0 x5
-Z
0 x3 0 x4 3 x2
-Z
23000 x1 x2 x3 x4 x5 B-1b θ 12100 8 4 4 0 0 1 0 16 — 0 4 0 0 1 12 3 23000 0 1 0 1 0 -1/2 2 2 4 0 0 1 0 16 4 0 1 0 0 1/4 3 — 2 0 0 0 -3/4 -9
1/2 1/8 0 12 4b12
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
32
请同学们对b2进行灵敏度分析
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
33
若bi超出变化范围
则必有基变量的值不满足非负，根据 对偶单纯形法，选择不满足非负的基变 量为出基变量，再确定入基变量进一步 进行迭代。
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
41
（1）为保持现有最优解不变，分别求非基 变量x1，x3的系数的变化范围；
（2）若非基变量x3的系数由（1 3 5）T 变为（1 4 1）T，考察原最优解是否仍 然保持最优？若不是，该怎么办？
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
42
m ax Z x1 5 x2 3 x3 4 x4
36
分析项目
非基变量xj的系数向量Pj发生变化 基变量xj的系数向量Pj发生变化 增加新的决策变量 增加新的约束条件
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
37
1.非基变量xj的系数向量Pj的变化范围
设 Pj Pj Pj
j
cj
C
B
B
1P
j
c j C B B 1 P j P j
(c j C B B 1Pj ) C B B 1 Pj
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
20
C
CB XB 2 x1 0 x4 3 x2
-Z
2 x1 0 x5 3 x2
-Z
23000 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 1 0 -1/2 0 0 -4 1 2 0 1 0 0 1/4 0 0 -2 0 1/4 1 0 0 1/4 0 0 0 -2 1/2 1 0 1 1/2 -1/8 0 0 0 -3/2 -1/8 0
2
2 2 灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
14
x1 x2 x3 x4 x5 RHS
Z
0 -16 0 -11 -1/2 294
x1 1 12 0 4 -1 36
x3
0 -2 1 -1 1/2 6
c 2 若 c2' 5046 已超出c2的变化范围
' 2
c
' 2
C B B 1P2
12
50
(6 ,1 3 )
2
此时x2为 进基变量、x1 为出基变量进 行下一轮迭代， 最优解被改变。
5 0 4 6 4 0 灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
15
改变
x1 x2 x3 x4 x5 RHS
Z
0 -16 0 -11 1/2 294
x1 1 12 0 4 -1 36
x3 0 -2 1 -1 1/2 6
Z -1/3 0 0 -37/3 -1/6 306
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
18
要使最优基与最优解不变，必有
j 0(j1,2,,n) ， 即
当 a i0
时，有 0
c i0
j
a
io
j
当 a i0
时，有 0
c i0
j
a
io
j
因此，有 c i0 范围是
m ax j
j ai0j
ai0j
0 ci0m jin ai0jjai0j
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
7
二. 目标系数的变化
C B
CB 1b
B 0
1
A
0
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
8
X
XB XN
B1b
0
是最优解的条件是
可行性条件 XB B1b0
最优性条件 CCBB1A0
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
9
1.非基变量目标系数的变化
设 c'j cj cj
x3
0 -2 1 -1 1/2 6
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
13
x1 x2 x3 x4 x5 RHS
Z
0 -16 0 -11 -1/2 294
x1 1 12 0 4 -1 36
x3
0 -2 1 -1 1/2 6
c2 16
2 16
x2的目标系数的变化范围为
c2 16
cc c3 0 1 64 6 '
灵敏度分析
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
1
一. 什么为灵敏度分析？
引起因素 内容 具体项目
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
2
1.引起因素
产品单位利润cj的变化 生产条件改变引起约束系数aij的变化 资源投入量的改变会引起右端项bi的变化 新产品的开发会引起决策变量的增加 增加新的资源限制（或其它限制）引起 约束条件的增加
（1）的解答
解： （1）由最优表可以查
2 x1 3 x2 x3 2 x4 800;
s.t.
5
3x1 x1Fra bibliotek4 4
x2 x2
3 5
x3 x3
4 x4 3x4
1200; 1000;
x j 0 j 1, 2, 3, 4
得y1 =0， y2 =1/4，
y故3 a=211， 且y y12 2
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
26
EXCEL的求解
图5-2“规划求解结果”对话框
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
27
图5-3目标系数灵敏度分析报告
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
28
三. 右端常数项的变化
B1b 0
CCBB1A0
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
29
设 bi0 bi0
0
B 1 b
则
' j
c
' j
C B B 1 p
j
(c j c j ) C B B 1Pj
(c j C B B 1Pj ) c j
j cj 0
所以保持最优解与最优基不变的条件是：
cj j
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
10
结论
cj j
为保持原最优解不变时非基变量 的目标系数的变化范围，当超出这 个范围时，原最优解不再是最优解。
基变量非基变量常数项系数矩阵检验数irmr可利用资源设备原材料a原材料b16kg12kg利润212141218321814在保证最优基不变的情况下求第二个约束条件b2121412183218050501258420243120401211602016136052312116040204012016012360312200043000125027150227342价值系数c变化的灵敏度分析基变量非基变量常数项系数矩阵检验数c变化检验数可能发生变化要保持最优解不变必须使所以检验数都小于零但最优值可能发生变化212143218150505025037501258420243120401211602016136052在保证最优基不变的情况下求c041360401231204052020123426369611343技术系数aij变化的灵敏度分析可利用资源设备原材料a原材料b16kg12kg利润现有一种新产品每件消耗资源如表所示问该厂是否生产
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
40
最终单纯形表
x1
x2
x3
x4
x 5 1/4 0 -13/4 0
x 4 2 0 -2 1
x 2 -3/4 1 11/4 0 -Z -13/4 0 -11/4 0
x5
x6 x7
b
1 1/4 -1 100
0 1 -1 200
0 -3/4 1 100
0 -1/4 -1 -1300
,
,am ' i0 T
为 B 1 中的第i0列
b1*,b2*,...,bm * TB1b
B1bb0
上述条件满足时，最优解才 不改变
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
31
以例2为例
B 1 为松弛变量的系数矩阵，若对b1进行 灵敏度分析，则设 b1 b1 b1 列式如下：
0 1/4 08b1 B1b 2 1/2 1 16 0
yi
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
39
例1
m ax Z x1 5 x2 3 x3 4 x4
2 x1 3 x2 x3 2 x4 800;
s.t.
5 3
x1 x1
4 4
x2 x2
3 5
x3 x3
4 x4 3x4
1200; 1000;
x j 0 j 1, 2, 3, 4
灵敏度分析一什么为灵敏度分析？
11
例1
max Z 6x1 30x2 13x3
1 2
x1
4x2
x3
24