2014高考数学总复习(人教新课标理科)单元测试：第1章 集合与常用逻辑用语含解析

第一章单元测试
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小
题中只有一项符合题目要求）
1．已知集合A＝｛1,3，5,7,9}，B＝{0，3,6,9,12｝，则A∩∁N B
等于（）
A．｛1,5,7｝B．｛3，5，7}
C．{1，3,9｝D．｛1,2,3}
答案A
解析即在A中把B中有的元素去掉．
2．已知全集U＝R，设集合A＝｛x|y＝ln(2x－1)｝,集合B＝｛y|y
＝sin（x－1）}，则（∁U A）∩B为（A．(错误!，＋∞）B．（0，错误!]
C．[－1，错误!] D．∅
答案C
解析如图，阴影部分表示集合(∁U A)∩B，而集合A＝{x｜x> A＝{x｜x≤错误!｝．B＝｛y|－1≤y≤1},所以（∁U A)∩B＝
错误!}，∁U
｛x｜x≤错误!}∩｛y｜－1≤y≤1}＝｛x｜－1≤x≤错误!}．
3．已知∁Z A＝｛x∈Z|x＜6}，∁Z B＝{x∈Z|x≤2｝,则A与B 的关系是（）
A．A⊆B B．A⊇B
C．A＝B D．∁Z A∁Z B
答案A
4．已知集合A为数集，则“A∩｛0,1}＝{0｝"是“A＝{0}”的
（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案B
解析∵“A∩｛0,1｝＝｛0｝”得不出“A＝｛0}",而“A＝｛0｝”能得出“A∩{0，1｝＝｛0｝"，
∴“A∩｛0,1｝＝｛0｝"是“A＝{0}”的必要不充分条件．
5．已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋1〉0；命题q：∃x∈R，sin x ＝1。

则下列判断正确的是（）A．綈q是假命题B．q是假命题
C．綈p是假命题D．p是真命题
答案A
解析由题意可知，p假q真．
6．已知集合A＝{x|y＝错误!｝,B＝｛x｜x〉a}，则下列关系不可
能成立的是
( ）
A．A⊆B B．B⊆A
C．A B D．A⊆∁R B
答案D
解析由错误!可得A＝［－1,2)∪（2，＋∞)，前三个选项都有可能,对于选项D，∁R B＝（－∞，a］，不可能有A⊆∁R B。

7．设全集U＝R，A＝｛x|x2－5x－6>0｝，B＝｛x｜｜x－5｜<a}
（a为常数)且11∈B,则( ）
A．∁U A∪B＝R B．A∪∁U B＝R
C．∁U A∪∁U B＝R D．A∪B＝R
答案D
解析A＝错误!,∵11∈B，∴a〉|11－5｜＝6。

又由|x－5|〈a，
得5－a〈x〈5＋a，而5－a〈－1,5＋a〉11.画数轴知选D。

8．下列有关命题的说法正确的是（A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x0∈R，x错误!＋x0＋1〈0”的否定是“∀x∈R，x2
＋x＋1〈0"
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
答案D
解析A中原命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1"，故A错；在B中，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B 错;C中命题的否定应为“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，故C错；在D 中,逆否命题与原命题同真假，易知原命题为真,则其逆否命题也为真命题，因此D正确．
9．已知直线l1:x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0,则命题“若a ＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为
A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行
B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行
C．若a＝1或a＝－1,则直线l1与l2不平行
D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行
答案A
解析命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B"，显然“a＝1或a＝－1"的否定为“a≠1且a≠－1"，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行"，所以选A。

10．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要
条件是（）
A．a≥4B．a≤4
C．a≥5D．a≤5
答案C
解析命题“∀x∈[1,2］，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞）的非空真子集，正确选项为C。

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)
11．“a＝1"是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的________条件．
答案充分不必要
12．设全集为R，集合A＝{x｜错误!≤1}，则∁R A________。

答案{x|0≤x〈1｝
解析A＝{x｜错误!≤1}＝{x｜错误!－1≤0}＝｛x｜错误!≤0}＝
｛x|x≥1或x〈0｝，因此∁R A＝{x｜0≤x<1}．
13．满足条件：M∪{a，b｝＝｛a,b，c}的集合M的个数是________．答案4个
14．设全集U＝A∪B＝｛x∈N*|lg x<1}，若A∩(∁U B)＝{m｜m
＝2n＋1，n＝0，1，2，3，4}，则集合B＝________。

答案{2,4,6,8}
解析A∪B＝{x∈N＊｜lg x〈1｝＝｛1，2，3,4,5，6，7,8,9}，A∩(∁
B）＝｛m｜m＝2n＋1，n＝0,1，2，3，4｝＝｛1,3,5，7，9｝，∴B U
＝{2，4,6,8}．
15．“α≠错误!”是“cosα≠错误!”的________条件．
答案必要不充分
16．下列命题中是假命题的是________．
①存在α,β∈R,有tan（α＋β）＝tanα＋tanβ
②对任意x>0，有lg2x＋lg x＋1〉0
③△ABC中，A〉B的充要条件是sin A>sin B
④对任意φ∈R,函数y＝sin(2x＋φ）都不是偶函数
答案④
解析对于①,当α＝β＝0时，tan（α＋β）＝0＝tanα＋tanβ,因此
选项①是真命题；对于②，注意到lg2x＋lg x＋1＝(lg x＋错误!)2＋错误!≥错误!〉0，因此选项B是真命题;对于③，在△ABC中，由A>B⇔a〉b⇔2R sin A〉2R sin B⇔sin A〉sin B（其中R是△ABC的外接圆半径），因此选项③是真命题；对于④，注意到当φ＝错误!时,y＝sin（2x＋φ)＝cos2x是偶函数，∴④是假命题．
三、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分)已知集合A＝｛x|x2－5x＋6＝0｝，B＝｛x｜mx＋1＝0｝,且A∪B＝A,求实数m的值组成的集合．答案｛0，－错误!，－错误!｝
解析A＝｛x|x2－5x＋6＝0}＝｛2,3｝，A∪B＝A，∴B⊆A.
①当m＝0时,B＝∅，B⊆A；
②当m≠0时,由mx＋1＝0，得x＝－错误!。

∵B⊆A,∴－错误!∈A。

∴－错误!＝2或－错误!＝3，得m＝－错误!或－错误!.
∴满足题意的m的集合为{0,－错误!，－错误!}．
18．(本小题满分12分)判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是,用符号表示，并判断其真假．
（1）有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；
（2)任何一条直线都存在斜率；
(3）所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一的解；
（4）存在实数x0,使得错误!＝2。

解析（1)是特称命题；用符号表示为：∃α∈R,sin2α＋cos2α≠1,是一个假命题．
(2）是全称命题；用符号表示为：∀直线l,l存在斜率,是一个假命题．
(3）是全称命题；用符号表示为:∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解，是一个假命题．
（4）是特称命题;用符号表示为:∃x0∈R，错误!＝2是一个假命题．19．(本小题满分12分)已知命题“∃x∈R，｜x－a｜＋|x＋1｜≤2”是假命题，求实数a的取值范围．
答案（－∞，－3）∪（1，＋∞)
解析依题意知，对任意x∈R,都有|x－a|＋|x＋1｜>2；由于|x－a|＋｜x＋1|≥｜（x－a）－(x＋1)｜＝｜a＋1｜，
因此有|a＋1|>2，a＋1〈－2或a＋1〉2，
即a<－3或a>1。

所以实数a的取值范围是(－∞，－3)∪（1，＋∞）．
20．（本小题满分12分）已知集合E＝{x｜｜x－1|≥m｝，F＝｛x|错误!>1}．
（1）若m＝3,求E∩F；
(2）若E∪F＝R，求实数m的取值范围．
解析（1）当m＝3时，E＝{x｜｜x－1|≥3｝＝{x｜x≤－2或x≥4｝,
F＝｛x|错误!>1｝＝{x｜错误!〈0｝＝{x｜－6〈x〈4｝．
∴E∩F＝{x|x≤－2或x≥4｝∩{x｜－6<x〈4}＝｛x｜－6<x≤－2｝．
(2)∵E＝｛x||x－1|≥m}，
①当m≤0时，E＝R，E∪F＝R，满足条件．
②当m>0时，E＝｛x｜x≤1－m或x≥1＋m｝,
由E∪F＝R，F＝{x｜－6〈x〈4}，
∴错误!解得0〈m≤3.
综上，实数m的取值范围为m≤3。

21．（本小题满分12分)已知命题p：A＝｛x|a－1〈x〈a＋1，x ∈R｝，命题q：B＝｛x｜x2－4x＋3≥0}．
（1）若A∩B＝∅,A∪B＝R，求实数a；
（2）若綈q是p的必要条件，求实数a.
答案（1）a＝2 (2）a＝2
解析由题意得B＝{x｜x≥3或x≤1}，
（1）由A∩B＝∅，A∪B＝R，可知A＝∁R B＝（1，3），
∴错误!∴a＝2.
（2)∵B＝{x|x≥3或x≤1}，∴綈q：｛x｜1<x〈3}．
∴綈q是p的必要条件，即p⇒綈q.
∴A⊆∁R B＝(1，3）．
∴错误!∴2≤a≤2,∴a＝2.
22．(本小题满分12分)已知P＝｛x｜x2－8x－20≤0｝,S＝{x｜｜x－1｜≤m}．
(1）是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件．若存在，求m的范围；
（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件．若存在,求出m的范围．
答案(1)m不存在(2)m≤3
解析(1）P＝｛x｜－2≤x≤10｝，
S＝｛x｜1－m≤x≤m＋1}．
若x∈P是x∈S的充要条件，
∴错误!∴m不存在．
（2）若存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件，
∴S⊆P。

若m＜0,即S＝∅时，满足条件．
若S≠∅，应有错误!
解之得0≤m≤3.
综之得，m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件．
1．已知全集U＝Z,集合A＝｛x｜x2＝x｝，B＝{－1，0,1，2}，
则图中的阴影部分所表示的集合等于（
A．{－1，2｝B．｛－1,0｝
C．{0，1｝D．{1,2}
答案A
解析依题意知A＝｛0,1｝，(∁U A)∩B表示全集U中不在集合
A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合
等于｛－1,2},选A.
2．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是
A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d
B．p：a＞1,b＞1，q：f（x)＝a x－b(a＞0，且a≠1）的图像不过
第二象限
C．p：x＝1,q:x2＝x
D．p：a＞1,q:f（x)＝log a x(a＞0，且a≠1）在（0,＋∞）上为增
函数
答案A
解析B选项中，当b＝1,a＞1时，q推不出p，因而p为q的
充分不必要条件．C选项中，q为x＝0或1，q不能够推出p，因而
p为q的充分不必要条件．D选项中，p、q可以互推，因而p为q
的充要条件．故选A.
3．设集合P＝{x|x2－x－2≥0}，Q＝{y|y＝错误!x2－1,x∈P｝,则
P∩Q＝（）
A．｛m｜－1≤m<2} B．｛m｜－1〈m<2}
C．｛m|m≥2｝D．｛－1}
答案C
解析本题考查集合的概念及运算，根据题意知P＝{x｜x≥2
或x≤－1}，又因为当x∈P时，y＝错误!x2－1∈错误!，故Q＝错误!,故P∩Q
＝{m|m≥2｝．
4．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都
是负数．则下列命题中为真命题的是（A．(綈p)或q B．p且q
C．（綈p）且（綈q) D．(綈p）或（綈q)
答案D
解析由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈
q是真命题，于是(綈p)或(綈q）是真命题．
5．如下四个电路图，视“开关甲闭合”为条件甲，“灯泡乙亮”为结论乙，以贴切、形象的诠释甲是乙的必要不充分条件的图形是
答案B
6．(2012·江西）若全集U＝{x∈R|x2≤4｝，则集合A＝｛x∈R｜｜x＋1|≤1}的补集∁U A为（）A．｛x∈R|0〈x〈2｝ B．｛x∈R|0≤x<2}
C．{x∈R|0〈x≤2}D．｛x∈R｜0≤x≤2}
答案C
解析由已知得，全集U＝｛x∈R|－2≤x≤2}，集合A＝{x∈R|－2≤x≤0｝，结合数轴得∁U A＝｛x∈R｜0<x≤2}，故选C项．7．（2012·陕西)集合M＝{x|lg x〉0}，N＝｛x｜x2≤4}，则M∩N ＝（)
A．(1，2) B．［1，2）
C．（1，2］D．［1，2]
答案C
解析因为M＝｛x|x>1｝,N＝｛x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝
{x|1〈x≤2}＝(1,2］．故选C项．
8．（2012·福建)下列命题中，真命题是（A．∃x0∈R，≤0
B．∀x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是错误!＝－1
D．a>1,b>1是ab〉1的充分条件
答案D
解析∵a〉1>0，b>1〉0，∴由不等式的性质,得ab>1。

即a〉1,b〉1⇒ab>1。

9．（2012·浙江)设a∈R，则“a＝1"是“直线l1：ax＋2y－1＝0
与直线l2：x＋（a＋1)y＋4＝0平行”的( A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案A
解析l1与l2平行的充要条件为a（a＋1)＝2×1且a×4≠1×(－
1)，可解得a＝1或a＝－2,故a＝1是l1∥l2的充分不必要条件．
10．(2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面
α内，直线b在平面β内,且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案A
解析由面面垂直的性质定理，可得α⊥β，α∩β＝m,b⊂β,b⊥
m⇒b⊥α。

又∵a⊂α，∴a⊥b，但反之则不成立．
11．已知命题p：“x>3”是“x2〉9”的充要条件，命题q:“错误!>
错误!”是“a〉b”的充要条件，则( A．“p或q”为真B．“p且q”为真
C．p真q假D．p，q均为假
答案A
解析由x〉3能够得出x2〉9，反之不成立，故命题p是假命题；由错误!〉错误!能够推出a〉b，反之，因为错误!>0，所以由a>b能
推出错误!>错误!成立,故命题q是真命题．因此选A。

12．已知命题p：∃x∈(－∞,0),2x<3x，命题q：∀x∈（0，1），
log2x〈0，则下列命题为真命题的是（A．p∧q B．p∧（綈q)
C．(綈p)∧q D．p∨（綈q）
答案C
解析由指数函数的图像与性质可知，命题p是假命题,由对数
函数的图像与性质可知，命题q是真命题，则命题“p∧q”为假命题，命题“p∨（綈q）"为假命题，命题“（綈p)∧q”为真命题,
命题“p∧(綈q)”为假命题，故选C.
13．有下列四个命题，其中真命题是( A．∀n∈R，n2≥n
B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m
C．∀n∈R，∃m∈R,m2<n
D．∀n∈R，n2<n
答案B
解析对于选项A，令n＝错误!即可验证其不正确；对于选项C、
选项D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B。

14．设x,y∈R，则“｜x|≤4且｜y|≤3”是“错误!＋错误!≤1”的
（)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案B
解析画图易知，｛(x，y）｜|x｜≤4且｜y｜≤3｝⊇｛(x，y）|
错误!＋错误!≤1｝．
15．命题“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，是“－16≤a≤0”的________条件．
答案充要
解析∵“∃x∈R,x2＋ax－4a<0"为假命题，
∴“∀x∈R,x2＋ax－4a≥0”为真命题，∴Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.故为充要条件．
16．已知命题p：α＝β是tanα＝tanβ的充要条件．
命题q:∅⊆A。

下列命题中为真命题的有________．
①p或q②p且q③綈p④綈q
答案①③
17．已知集合A＝{1，a，5},B＝｛2，a2＋1}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为________．
答案0或－2
解析若a＝2，则a2＋1＝5,A∩B＝｛2,5}，不合题意舍去．
若a2＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}．
若a2＋1＝5，则a＝±2.
而a＝－2时,A∩B＝{5｝．
若a2＋1＝a,则a2－a＋1＝0无解．
∴a＝0或a＝－2。

18．命题“若x2〈1，则－1〈x<1”的逆否命题是________．答案若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．。