高中数学第一章不等关系与基本不等式1.3平均值不等式二训练北师大版选修4_5word格式

1.3 均匀值不等式（二）
一、选择题
1.设x、y、z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x
2y3 ·z 的最大值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
a1＋a2＋⋯＋an 分析由x、y、z＞0 及
≥
n n
a1a2⋯an( 此中a1＞0，⋯a n＞0) ，
2y3z＝∴x x
·
2
x
·y·y·y·4z≤
2
x x
＋
＋y＋y＋y＋4z
2 2
6
6
＝1.
答案 A
2.设a，b，c∈(0 ，＋∞) 且a＋b＋c＝1，令x＝1
－1
a
1
b
－1
1
－1 ，则x的取值范围为
c
( )
1
8 A. 0，B.
1
，1
8
C.[1 ，8)
D.[8 ，＋∞)
分析∵x＝1
a
－1
1
－1
b
1
1－a
－1 ＝
·
c a
1－b
·
b
1－c
c
＝（b＋c）（c＋a）（a＋b）
≥
abc
2bc·2ca·2ab
＝8，
abc
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴x≥8. 答案 D
→→→3. 已知| AB| ⊥| AC| ，| AB| ＝1
t
→→，| AC| ＝t . 若点P是△ABC所在平面内的一点，且| AP|
＝
A B 4AC
AB AC
→→
，则P B·PC
的最大值
等于( )
A.13
B.15
C.19
D.21
分析成立平面直角坐标系，用坐标法求解.
→→
∵AB⊥AC，故能够A为原点，AB，AC 所在直线为坐标轴成立平面直角坐标系. 不如设
1
t B 0，
→
，C(t ，0) ，则A P
＝
1
t
0，
1
t
＋
4（t ，0）
＝(4 ，1) ，
t
故点P的坐标为(4 ，1).
1
→→
PB·PC＝－4，－1 ·( t －4，－1) ＝－4t －
t 1 1
＋17＝－4t ＋
t t
＋17
≤－2 4＋17＝13.
当且仅
当4t ＝1
t
，即t＝
1
2
时
(负
值舍去) 获得最大值
13.
答案 A
4. 已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则以下关系式总成立的是( )
A. V≥π
B. V≤π
C.V≥1
8
π D.V≤
1
8
π
分析设圆柱的底面半径为r，高为h，
则由题意得：4r ＋2h＝6，即2r＋h＝3，
2h≤π·r＋r ＋h
3
3
＝π
3
3
3
于是有V＝πr
＝π，当且仅当r ＝h时取等号.
答案 B
5. 假如圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是( )
A. l
6
3
π B.
l
3
3
π
l
4
3
π D.
1
4
l
4
3
C.
π
分析l ＝4r ＋2h，即2r ＋h＝l
，2
2h≤r ＋r ＋h
3
3
π＝
l
6
3
V＝πr π. 答案 A
1 x2＋x＋1
6. 在区间，2 上，函数 f ( x) ＝x
2＋bx＋c ( b，c∈R)与g( x) ＝
在同一点取同样
2 x
1
的最小值，那么 f ( x) 在区间，2 上的最大值是( )
2
A. 13
4
B.4
C.8
D. 5 4
1
分析g( x) ＝x＋＋1 在x＝1时，取最小值3.
x
∴b＝－2，c＝4.
答案 B
二、填空题
x2
7. 函数y＝
x4＋9
( x≠0) 有最大值______，此时x＝______.
分析∵x≠0，∴x
2>0.
∴y＝
x2
＝
x4＋9
1
≤
9
x2＋
x2
1
2 x2·
9
x2
＝
1
，
6
9
当且仅当x ，即x
2＝4＝9，x2＝3，x＝±3时取等号，
x2
1
即当x＝±3时，y max＝.
6
答案1
6 ± 3
8. 建筑一个容积为8 m
3，深为2 m的长方体无盖水池，假如池底和池壁的造价每平方米分别为180 元和80 元，那么水池的最低总造价为________.
4
分析设
池长
x m，则池宽m，水池总造价y＝180×4＋2×2×
x 4
x
×80＋2×2×x×80＝
720＋320·4
＋x ≥720＋320×4＝2 000( 元) ，当且仅当x＝2时“＝”成立. x
答案 2 000 元三、解答题
9. 在△ABC中，假如三内角知足：sin 2A＋sin 2B＝5sin 2C，求证：sin C≤3 . 5
证明在△ABC中，由正弦定理，得
a sin A ＝
b
sin B
c
＝
sin C
＝2R.
又∵sin 2A＋sin 2B＝5sin 2C，∴a2＋b2＝5c2.
由余弦定理，得
cos C＝a2＋b2－c2 4c2
＝≥
2ab 2ab
4c2 4c2
＝＝
a2＋b2 5c2
4
.
5
由0<C<π且cos C≥4
π
，得0<C<
5 2
，∴sin C≤
3
.
5
10. 某城建企业承包旧城拆建工程，按合同规定在 4 个月内达成. 若提早达成，每提早一天可获2千元奖金，但这要追加投入花费；若缓期则每缓期一天将被罚款 5 千元. 追加投
784
入的花费按以下关系计算：6x＋－118( 千元) ，此中x 表示提早竣工的天数，试问
x＋3
提早多少天，才能使此企业获取最大附带效益？( 附带效益＝所获奖金－追加花费).
解设该城建企业获取的附带效益为y千元，
则由题意，得
784
y＝2x－6x＋－118 ＝118－4x＋
x＋3 784 x＋3
784
＝118－4（x＋3）＋－12
x＋3
784
＝130－4（x＋3）＋
x＋3
≤130－2 4（x＋3）·784
＝130－112＝18，x＋3
784
当且仅当4( x＋3) ＝，即x＝11时取等号.
x＋3
∴提早11 天竣工，企业可获
取
最大附带效益.
11. 已知a，b，c 均为正数，证明：a
2＋b2＋c2＋
2＋b2＋c2＋1 1 1
＋＋
a b c
2
≥ 6 3，并确立a，b，c为什么
值时，等号成立.
证明法一由于a，b，c 均为正数，由均匀值不等式得
a2＋b2＋c2≥3( abc)
2＋b2＋c2≥3( abc) 2
3①
1 1 ＋＋a b 1
≥3( abc)
c
1
－
3，
因此1 1
＋＋
a b
1
b
2
≥9( abc)
2
－
3. ②
故a2＋b2＋c2＋
2＋b2＋c2＋1 1 1
＋＋
a b c
2
≥3( abc)
2
3＋9( abc)
2
－
3.
又3( abc) 2
3＋9( abc)
2
－
3≥ 2 27＝6 3③
因此原不等式成立.
2
当且仅
当a＝b＝c时，①式和②式等号成立. 当且仅当3( abc) 3＝9( abc) 2
－
3时，③式等号成立.
1
即当且仅当a＝b＝c＝34时，原式等号成立.
法二由于a，b，c 均为正数，由基本不等式得
2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
a
因此a
2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①
同理1
＋
a2
1 1
＋≥
b2 c2
1 1
＋＋
ab bc
1
. ②
ac
2 2 2 故a ＋b ＋c
＋1 1 1
＋＋
a b c
2
1 1 1
≥ab＋bc＋ac＋3 ＋3 ＋3 ≥ 6 3. ③
ab bc ac
因此原不等式成立.
当且仅
当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，( ab) 2＝( bc) 2＝( ac)
2 ＝3时，③式等号成立.
1
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立.
4。