山西省大同市第十五中学高一数学理模拟试卷含解析

山西省大同市第十五中学高一数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 对于函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期为
；②若③的图象关于直线对称；④上是减函数，其中正确结论的个数为（）
A．2 B．4 C．1 D．3
参考答案：
D
2. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所
得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）
A． B． C. D.
参考答案：
C
3. 为得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，可由函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
参考答案：
B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用两角差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：∵函数y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴把函数y=sin2x的图象向右平移个单位，可得函数y=sin2x﹣cos2x的图象，
故选：B．
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的简单应用，属于基础题．
4. 已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相较于
两点，且，则圆的方程为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
直线与直线的交点为，所以圆的圆心为，设半径为，由题
意可得，解得，所以圆的方程为.故答案为A.
5. 已知等差数列的通项公式是，其前n项和为，则数列的前项和为( )
A． B. C.
D.
参考答案：
C
略
6. 下列四个结论：
⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为（）
A.0 B． C． D．
参考答案：
A
略
7. 如图所示，点A（x1，2），B（x2，﹣2）是函数f（x）=2sin（ωx+φ）
（ω＞0，0≤φ≤）的图象上两点，其中A，B两点之间的距离为5，那么
f（﹣1）=（）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．以上答案均不正确
参考答案：
A
试题分析：根据A，B两点之间的距离为5，求出|x1﹣x2|=3，进而求出函数的周期和ω，利用f（0）=1，求出φ，即可得到结论．
解：|AB|==5，
即（x1﹣x2）2+16=25，
即（x1﹣x2）2=9，
即|x1﹣x2|=3，
即=|x1﹣x2|=3，
则T=6，
∵T==6，∴ω=，
则f（x）=2sin（x+φ），
∵f（0）=1，
∴f（0）=2sinφ=1，
即sinφ=，
∵0≤φ≤，
解得φ=，
即f（x）=2sin（x+），
则f（﹣1）=2sin（﹣+）=2sin（﹣）=2×=﹣1，
故选：A
8. 设Ｐ为△ABＣ内一点，且,则△ＰBＣ与△ABＣ的面积之比为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
9. 要得到的图像, 需要将函数的图像 ( )
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
参考答案：
D
10. 已知
A. B. C. D.1参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的定义域为
参考答案：
12.
已知函数,那么之间的大小关系为________.
参考答案：
13. 已知，那么= ．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】计算题．
【分析】若，则，结合向量模的计算公式可得答案．
【解答】解：因为，
所以||=．
故答案为．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握向量的坐标表示，以及掌握向量模的计算公式．
14. 在等式的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个
锐角是▲
参考答案：
15. 对于映射我们通常把A中的元素叫原象，与A中元素对应的B中的元素叫象。

若
（x,y）在一个映射的作用下的象是（x+y,xy）,则（2，-3）的原象是
参考答案：
或
16. 从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布
直方图（如右上图），估计这次环保知识竞赛的及格率________（60分及以上为及格）．
参考答案：
75%
17. 在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则=
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这
两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm．
（1）设矩形栏目宽度为xcm，求矩形广告面积S（x）的表达式
（2）怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？
参考答案：
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）设矩形栏目宽度为xcm，高为，利用两栏的面积之和为18000cm2，建立方程，即可写出矩形广告面积S（x）的表达式；
（2）根据基本不等式的性质求得广告面积的最小值．根据等号成立的条件确定广告的高和宽．
【解答】解：（1）设矩形栏目宽度为xcm，高为…
…
（2）根据题意得：
等号成立的条件是：x=75，y=120…
答：当广告的高为75cm，宽为120cm时，矩形广告的面积最小．…
19. 计算下列各式：
⑴；⑵(a>0).
参考答案：
解析：⑴原式=
=；
⑵原式=.
20. （本小题满分10分)
已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n。

参考答案：
a n＝2n＋1，S n＝n2＋2n.
(1)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.，由解得
所以a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1，S n＝n2＋2n. …10分
21. （本小题满分14分）经市场调研，某超市一种玩具在过去一个月（按30天）的销售量（件）与价格（元）均为时间x（天）的函数，且销售量近似满足，价格近似满足。

（1）试写出该种玩具的日销售额y与时间x（，）的函数关系式；
（2）求该种玩具的日销售额y的最大值。

参考答案：
解：（1）由题意，得
……………………………………6分
（2）当，时，，而，又，所以当时，
；……………………10分
当，时，，则函数
在(20,30]上单调递增，所以当时，。

…………13分
综上所述，当时，该种玩具的日销售额的最大值为1408元。

……………………14分
22. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．
（1）证明：AD⊥平面PBC；
（2）求三棱锥D﹣ABC的体积．
参考答案：
【考点】直线与平面垂直的判定；由三视图还原实物图．
【分析】（1）由PA⊥平面ABC，知PA⊥BC，由AC⊥BC，知BC⊥平面PAC，从而得到BC⊥AD．由此能够证明AD⊥平面PBC．
（2）由三视图得BC=4，由（1）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC，由此能求出三棱锥的体积．
【解答】.（本小题满分12分）
解：（1）因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD．
由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，所以AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC，
（2）由三视图可得BC=4，
由（1）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC，
又三棱锥D﹣ABC的体积即为三棱锥B﹣ADC的体积，
所以，所求三棱锥的体积．。