3D-power图的快速生成方法

∩P wΒιβλιοθήκη j为线段
或
点
；而
在
3D
空
间
，power
区
域
为
凸
多
面
体
，P
w i
i
∩
P wj j
为
平
面
、线
段
或
点
。
如
图
1
所
示 ，定 义 eij 为 相 邻 站 点 xi 和 xj 间 的 距 离 ，A ij 为
P wi i
∩
P wj j
的面积。对
power
区域
P
w i
i，有
n
∪ P wi i
∩
P wj j
第 48 卷第 4 期 2021 年 7 月
浙 江 大 学 学 报（理学版） Journal of Zhejiang University（Science Edition）
http：///sci
Vol. 48 No. 4 Jul. 2021
DOI：10.3785/j.issn.1008-9497.2021.04.003
GOES 等［6］实 现 了 基 于 VORO++［21］的 线 程 安 全 的 并 行 power 图 构 造 算 法 ，计 算 效 率 得 到 较 大 提 高 ；ZHAI 等［8］根 据 VORO++ 提 出 了 一 种 基 于 GPU 的裁切并行算法。这些算法适用于站点分布 较为均匀的情况，如流体仿真的 power 图，对随机分 布 的 站 点 表 现 不 佳 。 GOLIN 等［22］证 明 了 在 N 个 随 机 站 点 中 3D-Voronoi 图 的 复 杂 度（即 顶 点 、边 和 面 的 数 量）达 到 O（n2），而 如 果 站 点 均 匀 独 立 分 布 ，则 复杂度可降至 O（n）。对于随机分布的站点，目前比 较 稳 定 和 有 效 的 是 基 于 CGAL 和 VORO++ 的 power 图构造方法。
质 心 容 量 限 制 power 图 （centroidal capacity constrained power diagram，CCCPD）。
Power 图因其优良的特性被广泛应用于 2D 平 面 中 的 采 样 和 点 画［1］、蓝 噪 声［2-4］、计 算 机 动 画［5］、3D 空间流体仿真 等 ［6-8］ 。
定 义 Voronoi 图 在 域 Ω ∈ E d 内 ，基 于 直 线 距 离
d ( x，xi ) = ‖x - x‖i 对 站 点 集 X = { xi| xi ∈ Ω，i = 1，2，⋯，n } 进 行 区 域 划 分 。 每 个 Voronoi 区 域 vi 定 义为
| vi = { x ∈ vi ‖x - x‖i ≤ ‖x - x‖j ，
3D-power 图的快速生成方法
桂 志 强 ，姚 裕 友 ，张 高 峰 ，徐 本 柱 ，郑 利 平 *
（合肥工业大学 计算机与信息学院，安徽 合肥 230009）
摘 要：3D-power 图在图形学和流体仿真等领域应用广泛。为解决已有的 3D-power 图计算方法时间性能较差的 问题，提出了基于 GPU 的 power 图构造算法，给出了一种用于计算 power 图各区域之间的面积估值方法，使基于 GPU 的 构 造 算 法 与 Lloyd 算 法 、 牛 顿 法 相 结 合 ， 生 成 满 足 约 束 条 件 的 3D 质 心 容 量 限 制 power 图 （3D-centroidal capacity constrained power diagram，3D-CCCPD）。结果表明，本文算法的时间性能较已有的 3D-power 图构造方 法提高了几个数量级。
=
∅，
i
≠
j，
P wi i
=
Ω。
i=1
图 1 3D-power 区域 Fig.1 3D-power cell
值 得 注 意 的 是 ，当 各 站 点 权 重 相 等 时 ，power 图 便退化为 Voronoi 图［9］。 2.2 质心容量限制 power 图
本文的主要贡献： （1） 将 JFA 扩 展 应 用 于 3D 空 间 power 图 的 生成。 （2）提出一种估值算法，计算离散 3D-power 图 中 各 区 域 的 面 积 ，与 Lloyd 算 法 和 牛 顿 法 结 合 优 化
生成 3D-CCCPD。
2 相关工作
2.1 Voronoi 图与 power 图
Key Words: 3D-power diagram; GPU accelerate; centroidal; capacity
0引言
Voronoi 图在日常生活和自然界中普遍存在，因 其 优 良 的 几 何 特 性 ，被 广 泛 应 用 于 可 视 化 、几 何 建 模 、建 造 设 计 等 领 域 。 power 图 是 Voronoi 图 的 扩 展 ，即 对 Voronoi 图 站 点 引 入 权 重 概 念 ，并 重 新 定 义 距 离 。 对 power 图 的 区 域 施 加 容 量 限 制 ，得 到 容 量 限 制 power 图（capacity constrained power diagram， CCPD）。进一步对 CCPD 站点施加质心限制，得到
RONG 等 提 ［23-24］ 出 了 基 于 GPU 的 跳 转 泛 洪 算 法（jump flooding algorithm ，JFA）构 造 Voronoi 图 ；ZHENG 等［25］将 其 扩 展 至 2D 平 面 power 图 ， 用 连 通 域 算 法 提 取 power 图 的 顶 点 和 边 以 优 化 生 成 CCCPD ，算 法 的 时 间 效 率 较 高 ，可 扩 展 至 3D 空 间 ，但 因 3D-power 图 远 较 2D 平 面 图 复 杂 ，连 通 域 算 法 并 不 适 合 计 算 3D-power 图 中 的 顶 点 、 边 和 面 。 因 此 ，本 文 以 ZHENG 等［25］提 出 的 基 于 GPU 的 构 造 算 法 为 基 础 ，将 其 扩 展 至 3D 空 间 ，并 提 出 了 一 种 新 的 估 值 算 法 ，以 优 化 生 成 3DCCCPD 。
1，2，⋯，n }，将在域 Ω ∈ E d 内的 power 划分定义为
| P wi i
={
x
∈
P wi i
d ( x，xi ) ≤ d ( x，xj )，
i = 1，2，⋯，n， i ≠ j } 。
（3）
在 2D 平 面 ，站 点 xi 和 xj 的 power 区 域 为 凸 多 边 形 ，
P wi i
相 对 2D 领 域 ，3D-power 图 的 生 成 复 杂 性 大 幅 提 升 ，目 前 大 部 分 研 究 聚 焦 于 3D-Voronoi 图 ， ［15-16］ 并 未 将 其 推 广 至 power 图 领 域 ，其 可 能 性 和 适 应 性 也未得到充分证明；YAN 等［17］提出了一种以计算几 何 算 法 库 （computational geometry algorithms library，CGAL）［18］为基础，用边界剪裁方法计算 3DVoronoi 图 的 算 法 ；RAY 等［19］提 出 了 无 网 格 3DVoronoi 图 的 图 形 处 理 器（graphics processing unit， GPU）算 法 ；LIU 等［20］在 YAN 等［17］的 基 础 上 提 出 了 基于 GPU 的 3D-Voronoi 图计算算法。
i = 1，2，⋯，n，i ≠ j }。
（1）
Power 图 作 为 Voronoi 图 的 扩 展 ，为 每 个 Voronoi 站
点 xi 赋 予 权 重 w i，本 文 用 欧 氏 距 离 平 方 重 新 定 义 距 离 d：
d ( x，xi ) = ‖x - x‖i 2 - w i。
（2）
对 于 新 站 点 集 ( X，W) = { ( x，xi) |i =
AURENHAMMER 提 ［9-10］ 出 power 图 的 概 念 ， 并 对 power 图 的 性 质 、应 用 进 行 了 总 结 ，提 出 用 分 治 法 构 建 power 图 ；BALZER 等 提 出 用“ 试 位 法 ”优 化 容 量 约 束 ，给 出 有 限 区 域［11］和 连 续 区 域［12］的 CCPD 算 法 ，但 时 间 复 杂 度 较 高 ，且 收 敛 性 差 ；
第4期
桂志强，等：3D-power 图的快速生成方法
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GOES 等［2］ 提 出 用 牛 顿 法 优 化 权 重 ，并 结 合 MULLEN 等［13］提 出 的 自 适 应 步 长 梯 度 下 降 法 优 化 质 心 位 置 ，二 者 交 替 迭 代 ，生 成 CCCPD，但 优 化 过 程 中 存 在 相 互 干 扰 ，收 敛 速 度 较 慢 ；XIN 等［14］提 出 一 种 超 线 性 收 敛 算 法 ，将 L-BFGS 与 牛 顿 法 相 结 合 ，生 成 CCCPD。
收 稿 日 期 ：2 02 0 ⁃0 9⁃2 3 . 基 金 项 目 ：国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目（61972 12 8 ，61 702 155）；安 徽 省 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目（1808085M F 1 7 6）. 作者简介：桂志强（1995—），ORCID：https：///0000-0002-9071-1070，男，硕士，主要从事计算机图形学与计算机辅助设计研究 . *通 信 作 者 ，O R C ID ：https：//orcid .org/0000- 0001- 5071- 9628 ，E - m ail：zhenglp@ .
关 键 词：3D-power 图；GPU 加速；质心；容量
中图分类号：TP 391.41
文 献 标 志 码 ：A
文 章 编 号 ：1008⁃9497（2021）04⁃410⁃08
GUI Zhiqiang, YAO Yuyou, ZHANG Gaofeng, XU Benzhu, ZHENG Liping ( School of Computer Science and Information Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China) An efficient computation method of 3D-power diagram. Journal of Zhejiang University (Science Edition), 2021, 48(4):410⁃417 Abstract: 3D-power diagrams have a wide range of applications in the fields of graphics and fluid simulation. To overcome the poor time performance of the existing 3D-power diagram construction algorithms, a novel GPU-based construction algorithm is proposed. We introduce an estimation algorithm for computing the area between power cells. The estimation algorithm enables the construction algorithm to be coupled with the Lloyd algorithm and Newton's algorithm to generate a 3D-centroidal capacity constrained power diagram(3D-CCCPD). Experiment results show that our approach raises the efficiency of the 3D-power diagram construction up to several orders of magnitude.